2.2函数的定义域与值域

第二节 函数的定义域和值域

[备考方向要明了]

考什么

怎 么 考

会求简单函数的定义域和值域. 1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题．

2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.

[归纳·知识整合]

1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .

(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (6)y ＝tan x 的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .

(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a >0时，值域为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥

4ac －b

2

4a ； 当a <0时，值域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

y |y ≤

4ac －b

2

4a . (3)y ＝k

x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．

(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .

[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1

x

；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？

提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1

x 是圆满函数；②y

＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．

2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．

[自测·牛刀小试]

1．函数f (x )＝

4－x

x －1

的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)

D ．(－∞，1)∪(1,4]

解析：选D 要使函数f (x )＝4－x

x －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ≥0，x －1≠0，即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≤4，x ≠1.所以函数的

定义域为(－∞，1)∪(1,4]．

2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )

x

0

10≤x <15

15≤x ≤20

y

2

3

4

5

A ．[2,5]

B ．N

C ．(0,20]

D ．{2,3,4,5}

解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝

1

log 12

(2x ＋1)

，则f (x )的定义域为( )

A.⎝⎛⎭⎫－1

2，0 B.⎝⎛⎦⎤－1

2，0 C.⎝⎛⎭

⎫－1

2，＋∞ D ．(0，＋∞)

解析：选A 根据题意得log 12

(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得x ∈⎝⎛⎭

⎫－1

2，0. 4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．

解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)， 值域为[0，＋∞)．

答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)

5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4.

又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)

考点一

求函数的定义域

[例1] (1)函数f (x )＝

1

ln (x ＋1)

＋

4－x 2的定义域为( )

A ．[－2,0)∪(0,2]

B ．(－1,0)∪(0,2]

C ．[－2,2]

D ．(－1,2] (2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1>0，x ＋1≠1，

4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪

⎧

x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.

解得－1

∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8. ∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]

本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，

解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，

所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．

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—————————————— 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：