高一数学第五讲--函数的定义域与值域
函数值域定义域方法总结
1、 ；
解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷： (或利用对勾函数图像法)
2、
0<y 5.
3、求函数的值域
① ；②
解：①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ].
②解：令t=4x 0得0 x 4
在此区间内(4x ) =4，(4x ) =0
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域
解：（平方法）函数定义域为：
例6（选不要求）求函数 的值域
解：（三角换元法） 设
小结：（1）若题目中含有 ，则可设
（2）若题目中含有 则可设 ，其中
（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中
（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中
（5）若题目中含有 ，则可设
其中
例7求 的值域
解法一：（图象法）可化为 如图，
观察得值域
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
高一值域和定义域的知识点
高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。
理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。
一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。
首先，定义域指的是自变量的取值范围。
也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。
1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。
例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。
所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。
例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。
1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。
其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。
最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。
二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。
值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。
2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。
例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。
在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。
2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。
对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。
例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。
函数的定义域及值域
函数的定义域及值域
函数的定义域和值域是函数的两个基本概念，也是学习函数的重要内容之一。
下面将详细介绍函数的定义域和值域。
函数的定义域指函数自变量的取值范围。
也就是说，在函数中，自变量只能取定义域中的值。
定义域可以是一个数集，也可以是多个数集的交集。
对于一些函数，其定义域可能需要满足一些额外的条件，例如函数的分母不能为零。
下面是一些常见的函数定义域：
（1）多项式函数的定义域是实数集R。
（2）有理函数的定义域是除去使分母为零的实数集的补集。
（3）指数函数、对数函数、三角函数等的定义域都要满足一定条件，例如指数函数的定义域是实数集，对数函数的定义域是(0,+\infty)。
函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值所形成的集合。
也就是说，值域是函数的因变量的取值范围。
对于函数的值域，通常需要考虑函数的单调性、奇偶性、周期等性质。
下面是一些常见的函数值域：
（2）对于三角函数sinx和cosx，它们的值域都是[-1,1]。
（3）对于指数函数y=a^x，其中a>0且a!=1，其值域是(0,+\infty)。
需要注意的是，在求解函数的值域时，需要考虑函数的定义域。
如果函数的定义域不是实数集，那么需要剔除定义域外的值。
综上所述，函数的定义域和值域是函数的两个基本概念。
在学习函数时，我们需要认真理解它们的含义，并学会合理运用。
高一函数定义域和值域知识点
高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。
这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。
因此，这个函数的定义域是所有非负实数。
我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。
同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。
因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。
另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。
我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。
二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。
因此，该函数的值域是所有非负实数。
我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。
同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。
因此，该函数的值域是[-1, 1]。
另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。
因此，该函数的值域是大于0的所有实数。
我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。
总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
高中数学知识点：函数的定义域、值域
高中数学知识点：函数的定义域、值域
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足的x的集合。
设y=f[g（x）]的定义域为P，则。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。
（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）。
高一数学函数的定义域和值域[高一数学必修知识点函数的定义域]
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高一数学函数的定义域和值域[高一数学必修知识点函数
的定义域]
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定义域
（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(某)，某属于集合A。
其中，某叫作自变量，某的取值范围A叫作函数的定义域；
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等关于函数值域误区
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。
也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
函数定义域值域及表示
函数定义域值域及表示 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT函数定义域值域及表示(1)函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：⑴y=⑵y=（3）x x x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x[例2] 求抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
函数的定义域与值域
函数的定义域与值域函数是数学中一个非常重要的概念，在各个数学分支中都有应用。
函数的定义域和值域是函数研究的基本内容之一。
本文将详细介绍函数的定义域与值域的概念及其应用。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中自变量（x）的取值范围。
简单来说，定义域就是使函数有意义的所有可能自变量值的集合。
如果自变量取值超出定义域，则函数无法计算。
下面通过几个例子来说明。
例子1：考虑函数f(x) = √x由于方根函数的自变量必须是非负实数，所以其定义域为x ≥ 0。
任何小于0的自变量将使得函数无法计算。
例子2：考虑函数 g(x) = 1/x在这种情况下，我们不能让自变量 x 等于0，因为除数不能为0。
所以函数 g(x) 的定义域为x ≠ 0。
其他所有实数都是函数的定义域。
函数的定义域可以是一个具体的数轴区间，也可以是由多个区间组成的集合。
定义域的范围可以是全体实数，也可以是局限于特定范围内。
二、函数的值域函数的值域是函数所有可能输出值的集合。
也就是说，如果我们遍历自变量的所有可能取值，函数的值域就是对应的函数值的集合。
同样地，我们使用几个例子来说明。
例子1：考虑函数 f(x) = x^2对于这个函数，自变量可以取任何实数值。
但是根据平方函数的图像，我们可以看出函数的值域是y ≥ 0。
因为平方的结果不会为负数。
例子2：考虑函数 g(x) = sin(x)由三角函数的周期性可知，对于任何自变量，都存在对应的函数值。
因此，函数 g(x) 的值域是 (-1, 1) 的闭区间。
有时候，函数的值域是一个区间，也可以是由多个不相交区间组成的集合。
三、定义域与值域的应用函数的定义域和值域在数学中广泛应用于各个领域。
例如，在微积分中，对函数进行求导和积分时，必须要考虑函数的定义域。
此外，在解方程和不等式时，也要考虑函数的定义域和值域。
在实际问题中，函数的定义域和值域还可以帮助我们理解现象的范围和取值情况。
例如，当我们研究某种物理模型时，函数的定义域可以帮助我们确定变量的有效范围，而函数的值域则可以帮助我们计算物理量的可能取值。
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第五讲 函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。
函数值的集合{f(x)│x ∈A}叫做函数的值域。
（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于0[2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a<x<b 求得g(x)的值域，则g(x)的值域即是f(x)的定义域。
②已知f(x)的定义域为x ∈（a,b ）求f[g(x)]的定义域,方法是：由a<g(x)<b 求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。
2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
:4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等 }二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）21x y += （2）lgcos y x (3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)[解析] （1）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 4112052log 31x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃ {（3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即xa kb ⎛⎫> ⎪⎝⎭①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a bx k > 定义域为{x|log a bx k >}(Ⅱ)若0<a<b ，则log a bx k <， 定义域为{x|log a bx k <}(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。
【例2】设y=f(x)的定义域为[0，2]，求（1）f(x 2+x)； (2)f(|2x-1|)； (3)f(x+a)-f(x-a) (a>0)的定义域 ~分析：根据若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b 的解集，来解相应的不等式（或不等式组） 解：（1）由0≤x 2+x≤2得2202x x x x ⎧+≥⎪⎨+≤⎪⎩ ∴0121x x x ≥≤-⎧⎨-≤≤⎩或 ∴定义域为[-2,-1]∪[0,1](2)由│2x -1│≤2，得 -2≤2x -1≤2 所以定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）由0202x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 得22a x aa x a -≤≤-⎧⎨≤≤+⎩又因a ＞0， 若2-a≥a ，即0＜a≤1时，定义域为{x|a≤x≤2-a} 若2-a ＜a ，即a ＞1时，x ∈φ，此时函数不存在变式:已知函数f(x+1)的定义域是[0，1]，求函数f(x)的定义域。
[1，2]【例3】求下列函数的值域 ,（1）213x y x +=- （2）2231x x y x x -+=-+ （3）y x =-（分析）（1）可分离常数后再根据定义域求值域，也可反解x 求值域（2）常数后再利用配方法求解，也可采用判别式法 （3）可以用换元法或者单调性法 解：（1）方法一：分离常数法 ∵213x y x +=-2(3)77233x x x -+==+-- 由703x ≠-，得2y ≠∴函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）方法二：反函数法(由213x y x +=-得(3)21(3)x y x x -=+≠，整理得：（y-2）x=3y+1，若y-2=0，有3y+1=0 ，与y-2=0矛盾 若y-2≠0，有312y x y +=-，∴y≠2 ∴函数的值域为{y| y≠2} (2) 方法一：配方法∵2231x x y x x -+=-+2211x x =+-+ 而221331()244x x x -+=-+≥ ∴228013x x <≤-+ ∴1113y <≤ ∴函数的值域为11{|1}3y y <≤ 方法二：判别式法变形得（y-1）x 2-(y-1)x+y-3=0。
当y=1时，此方程无解当y≠1时，∵x ∈R ∴△=（y-1）2—4(y-1)(y-3) ≥0，解得 1≤y≤113又∵y≠1， ∴1113y <≤， ∴函数的值域为11{|1}3y y <≤（3）方法一：换元法t =，则t≥0且212t x -= ∴211(1)122y t =-++≤∴函数的值域为1(,]2-∞方法二：单调性法函数的定义域1(,]2-∞[y x y ==及1(,]2-∞上均是增函数故y x =1(,]2-∞上是增函数∴1122y ≤-= ∴函数的值域为1(,]2-∞变式1：已知函数f(x)的的值域是34[,]89，求()y f x =解：∵34()89f x ≤≤, ∴1112()94f x ≤-≤,∴1132≤≤令t , 则11[,]32t ∈，2211()(1)(1)122y F t t t t ==-+=--+`∵111[,]32∉,∴函数y=F(t)在区间11[,]32上递增∴函数的值域为77[,]98变式2：已知22()1xf x x =+，求()y f x =的值域 【例4】（1）求1132(1)32(1)x x x y x --⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 的值域。
（2）求函数212log (45)y x x =-+的值域。
（分析）（1）分段函数的值域的求法从局部研究，把握局部和整体的关系（2）属复合函数y=f[g(x)]的值域问题，先由函数定义域求出u=g(x)的值域，再在此值域上求出y=f(u)的值域解：（1）若x≤1，则x-1≤0,0<3x-1≤1，有-2<3x-1-2≤-1， $若x>1，则1-x<0, 0<31-x <1， 有-2<31-x -2<-1, 综上有：{y|-2<y≤-1}.（2）函数的定义域为R设u=x 2-4x+5=(x-2)2+1 则12log y u =当x ∈R 时，u ∈[1,+∞)，又∵12log y u =是减函数，∴12log 10y ≤= ∴函数的值域是（-∞，0]点评：求复合函数值域的一般步骤：（1） 正确分析函数的复合过程，抓住中间变量（2） 由x 的取值范围确定中间变量u=g(x)的值域，并逐层确定 （3） …（4）最后确定原函数的值域，整个过程是由内向外逐层解脱。
变式：函数0(0)(0)x y x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩的值域 （-∞，0]【例5】（1）已知函数23log [(21)3]y ax a x =+++的值域是R ，求实数a 的取值范围（2）若函数lg(124)x xy a =++，当x ∈(-∞,2]时有意义，求实数a 的取值范围 （3）函数21()(1)12f x x =-+的定义域和值域都是[1,b] (b>1),求b 的值 解：（1）只要u=ax 2+(2a+1)x+3能取到（0，+∞）上的所有实数，则f(x)的值域为R ，∵当a=0时 u=x+3能取到（0，+∞）上的所有实数。
当a≠0时应有20(21)430a a a >⎧⎨+-⨯≥⎩解得0a a <≤≥)(2)由题意得，当x ∈(-∞，2)时，1+2x +a4x >0,∴x ∈(-∞，2)时，1211()()442x x xx a +>-=--。
∵11(),()42x x y y =-=-在（-∞，2）上是增函数。
最大值是516-∴516a >- （3）∵21()(1)12f x x =-+在[1，b]上是增函数，∴f(x)在[1，b]上的值域是[1,f(b)], 由题意知f(x)在[1，b]上的值域是[1，b]，∴f(b)=b ，即21(1)12b b -+=解得b=1(舍去)或b=3点评：在熟练掌握求函数值域的几种常规方法的基础上要对具体题目做具体分析，应选择最优的方法求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
/变式：设2()()1ax bf x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值 （a=±4，b=3）5.函数的定义域与值域复习题一、选择题：1、已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，那么函数f （x 2－1）的定义域为（ ）A.[0，1]B.[1，2]C.[1，2]D.[－2，－1]∪[1，2] 2、函数y=2-x +1(x>0)的反函数是 （ ） A 21log (1,2)1y x x =-∈- B 21log (1,2)1y x x =∈-&C 21log (1,2]1y x x =∈- D 21log (1,2]1y x x =-∈-3、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞） 4、函数y ＝2－x x 42+-的值域是（ ）A.[－2，2]B.[1，2]C.[0，2]D.[－2，2] 5、值域是（0，＋∞）的函数是（ ） ＝52x －2 ＝（31）x -1 ＝1)21(-x D.|log |22x y =6、函数12)(2+=x xx f 的值域是（ ） ；A.[－1，1]B.[0，1]C.[－1，0]D.[1，2] 7、函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域是（ ）A. [)+∞,3B. (]3,-∞-C. [)+∞,1D. (]1,∞-8、若{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥9、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --￥二、填空题：10．函数xx y -=||1的定义域为__________________ 11．设12)12(-=-x f x ，则f （x ）的定义域是________________ 12．函数y ＝2||1x -的值域为______________________13．函数y=x ＋x -1的值域为____________________14．函数11)(+-=x x e e x f 的反函数)(1x f-的定义域是______________三、解答题：15．若函数3412++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。