等腰直角三角形在解题中的应用

等腰直角三角形在解题中的应用

等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它集等腰三角形和直角三角形的性质于一身，此外还形成了自己的独特性质，正是等腰直角三角形的这些特殊性质，使其应用非常的广泛.下面就其应用作出归纳，供学习时借鉴.

1.直角顶点在正方形的中心旋转生成等腰直角三角形

例1 （2018•遵义）如图1，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 分别在AB 、BC 上（AE ＜BE ），且∠EOF=90°，OE 、DA 的延长线交于点M ，OF 、AB 的延长线交于点N ，连接MN ．

（1）求证：OM=ON ．

（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．

解析：（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

所以∠OAM=∠OBN=135°，因为∠AOM+∠BOM =90°，∠BON+∠BOM =90°，所以∠AOM=∠BON ， 所以△OAM ≌△OBN （ASA ），所以OM=ON ；

（2）如图1，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，因为正方形的边长为4，所以OH=HA=AM=2， 解法1 ：

因为E 为OM 的中点，所以HM=4，则OM=2242+=25，所以MN=2OM=210． 解法2 ：因为△OAM ≌△OBN ，所以AM=BN=2，所以AN=AB+BN=6,

所以MN=2262+=210．

点评：第一问的解答抓住一个要点即充分利用已知的直角和正方形对角线构成的直角，构造符合同角的余角相等的原理等式，为三角形的全等提供一个有力的 “角”要素.

第二问实质是不论三角形MON 怎样运动，三角形MON 都是等腰直角三角形,这一点很重要. 在求斜边MN 的长时，可以选择不同方法，为变式思维训练提供“场所”.

2.直角三角形在平移中生成等腰直角三角形

例2 （2018•呼和浩特）如图2，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=2HM；

③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为．

解析：由题可得，AM=BE，所以AB=EM=AD，因为四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，

所以∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=∠EAH=45°，所以EH=AH，所以△MEH≌△DAH（SAS），

所以∠MHE=∠DHA，MH=DH，所以∠MHD=∠AHE=90°，所以△DHM是等腰直角三角形，

所以DM=2HM，所以②正确；

当∠DHC=60°时，由∠HCD=45°,得∠HDC=75°,所以∠HDA=15°，

所以∠ADM=45°﹣15°=30°，所以在Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，所以①正确；

因为∠CHM是△HAM的一个外角，且∠HAM=135°，根据三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，所以∠CHM＞∠HAM，所以∠CHM＞135°，所以③正确；所以答案为：①②③．

点评：表面看是两个直角三角形在平移运动，细心观察，才发现还有两个更特殊的等腰直角三角形在背后助阵，一个是等腰直角三角形AHE，一个是等腰直角三角形DHM，且它们的形状不会因为点M的变化而改变，多么奇妙的组合.

3.矩形中延长线段生成等腰直角三角形

例3 如图1，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1, ∠CAE=15°,则BE=（）

A.

3

3

B.

2

2

23-1

（2018年全国数学联赛9年级试题）

解法1：延长AE交BC于点F，过点E作BC的垂线，垂足为点G，由题意，得∠BAF=∠FAD=∠AFB=∠GEF=45°,BF=AB=1, ∠EBG=∠ACB=∠CAD=30°,

设BE=x，则EG=GF=x

2

，BG=

3

2

x，因为BG+GF=BF,所以

x

2

+

3

2

x=1，

解得x=3-1即BE=3-1,所以选D.

点评：构造两个等腰直角三角形是解题的关键，其次，熟练运用30°角的性质也是解题的一个突破口.

解法2：因为∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1, ∠CAE=15°,所以∠DAC=30°,

所以AC=2,AD=3,根据引理，得BE

ED

=

BA

AD

,所以

BE

BD

=

1

1+3

，

所以BE=

2

1331

AC

=

++

=3-1,所以选D.

点评：先利用30°角的性质求得矩形长与对角线的长，后利用角的平分线分线段成比例定理可完美解答.

解法3：如图2，延长AE交BC于点F，由题意，得

∠BAF=∠FAD=∠AFB=∠GEF=45°,BF=AB=CD=1, ∠EBG=∠ACB=∠CAD=30°,

所以AC=BD=2,AD=3，因为AD∥BF，所以△AED∽△FEB，

所以BE BF

=

ED AD

,所以

BE BF

=

ED+BE BF+AD

,所以

BE BF

=

BD BF+AD

,所以

BE1

=

231

+

,

所以BE=3-1,所以选D.