优化方案2017高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式应用案巩固提升新人教A版必修5

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【优化方案】2017高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时
等差数列的概念及通项公式应用案巩固提升 新人教A版必修5
[A 基础达标]
1．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析：选B.依题意可得m＋2n＝8，2m＋n＝10，故3m＋3n＝18⇒m＋n＝6，故m和n的
等差中项是3.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 016等于( )
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析：选C.因为数列{an}中，an＋1＝an＋1，
所以an＋1－an＝1，
所以{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列，
故an＝1＋(n－1)＝n，
所以a2 016＝2 016.
3．数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2，首项为7的等差数列
B．是公差为5，首项为7的等差数列
C．是公差为7，首项为2的等差数列
D．是公差为2，首项为5的等差数列
解析：选A.因为a1＝2×1＋5＝7，an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，所以
{an}是公差为2，首项为7的等差数列．
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64

解析：选A.设数列{an}的首项为a1，公差为d，由条件得a1＋6d＋a1＋8d＝16，a1＋3d＝1，解得
2






a
1
＝－174，

d
＝74，

则a12＝a1＋11d＝－174＋11×74＝15.
5．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A．－2 B．－12
C.12 D．2
解析：选B.根据题意得，
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d
)

＝－a1＝－1，
所以a1＝1.
又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
所以d＝－12.
6．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，则a7＝________．

解析：由题意可知a5＝a1＋4d＝10，a12＝a1＋11d＝31，

解得a1＝－2，d＝3，
则an＝3n－5，a7＝3×7－5＝16.
答案：16
7．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________．
解析：由已知a2n＋1－a2n＝4，
所以{a2n}是等差数列，
且首项a21＝1，公差d＝4，
所以a2n＝1＋(n－1)·4＝4n－3.
又an>0，
所以an＝4n－3.
答案：4n－3
8．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交
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点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函数的图象与x轴的交点有1
或2个．
答案：1或2
9．已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
(1)求{an}的通项公式；
(2)135，4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？若是，分别是第几项？
解：(1)设数列{an}的公差为d.
依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，
所以an＝3＋4(n－1)＝4n－1.
(2)令4n－1＝135，得n＝34，
所以135是数列{an}中的项，是第34项．
因为4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，
所以4m＋19是数列{an}中的项，是第m＋5项．
10．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求
数列{an}的通项公式．

解：由题意知，a1＋a2＝a3，a1a2＝a4，

所以2a1＋d＝a1＋2d，a1（a1＋d）＝a1＋3d.
解得a1＝2，d＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
[B 能力提升]
1．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等
差数列，则a2－a1b2－b1等于( )
A.mn B.m＋1n＋1
4

C.nm D.n＋1m＋1
解析：选D.设这两个等差数列的公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个
数列共(m＋2)项，所以d1＝y－xm＋1；第二个数列共(n＋2)项，所以d2＝y－xn＋1.这样可求出
a2－a
1

b2－b
1

＝d1d2＝n＋1m＋1.

2．若等差数列{an}的公差为整数，首项为19，从第6项开始为负值，则公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d(d∈Z)，依题意得a6＝a1＋5d＝19＋5d<0，即d<－195，
a5＝a1＋4d＝19＋4d≥0，即d≥－194，所以－194≤d＜－195，又d∈Z，所以d
＝－4.

答案：－4
3．已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2，
(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；
(2)求通项公式an.
解：(1)数列1an是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝2anan＋2，
所以1an＋1＝an＋22an＝12＋1an.
所以1an＋1－1an＝12.
即1an是以首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．
(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，所以an＝2n.
4．(选做题)已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：1xn是等差数列；
(2)当x1＝12时，求x2 016.
解：(1)证明：因为xn＝f(xn－1)＝3xn－1xn－1＋3(n≥2且n∈N*)，所以1xn＝xn－1＋33xn－1＝13＋1xn－1，
所以1xn－1xn－1＝13(n≥2且n∈N*)，所以1xn是等差数列．
(2)由(1)知1xn＝1x1＋(n－1)×13＝2＋n－13＝n＋53.
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所以1x2 016＝2 016＋53＝2 0213.
所以x2 016＝32 021.