2021版高考数学一轮复习第二章函数2.6指数与指数函数教学案苏教版

2021版高考数学一轮复习第二章函数 2.4 函数性质的综合问题教学案苏教版

第四节函数性质的综合问题考点1 函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．(1)(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )(2)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](1)C (2)D [(1)∵f (x )是定义域为R 的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又∵log 34＞log 33＝1，且1＞2-23＞2-32＞0， ∴log 34＞2-23＞2-32＞0.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2-32)＞f (2-23)＞f (log 34)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314.故选C.(2)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.][逆向问题] 设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )A ．[－3,3]B ．[－2,4]C ．[－1,5]D ．[0,6]B [因为f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6,0]上为增函数，得f (x )在(0,6]上为减函数，故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.](1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)＞f (x 2)的形式，再结合单调性脱去法则“f ”变成常规不等式，如x 1＜x 2(或x 1＞x 2)求解．1.已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝1－|x |C ．f (x )＝－x 3D ．f (x )＝ln(x 2＋3)C [由条件①可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A 、D 选项，由条件②可知，f (x )为奇函数，则可排除B 选项，故选C.]2．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B [∵函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数y ＝f (x )在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，∴f (1)＝f (3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.]3．(2019·滨州模拟)设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f x －2f －x5x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [∵奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x )的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(－1,0)，且f (x )在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x )的大致图象如图所示．∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式3fx －2f －x5x＜0可化为f xx＜0，即xf (x )＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x 的范围，据图象可知x ∈(－1,0)∪(0,1)．]考点2 函数的周期性与奇偶性已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．(2019·福州质量检测)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.－2 [依题意，f (－x )＝－f (x )，f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2.]解奇偶性、周期性的综合性问题的2个关键点(1)利用奇偶性和已知等式求周期．(2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________.－2 [因为f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．所以f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2) [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，∴f (5)＝2a －3＜1，即a ＜2.]考点3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 C [法一：(直接法)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：(特例法)由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.](1)函数的奇偶性与对称性的关系①若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则其函数图象关于直线x ＝a 对称；当a ＝0时可以得出f (x )＝f (－x )，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．②若函数f (x )满足f (2a －x )＝2b －f (x )，则其函数图象关于点(a ，b )对称；当a ＝0，b ＝0时得出f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．(2)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与直线x ＝b 对称，那么函数的周期是2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b －a |. ③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b －a |. (3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a ≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题](1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数(2)已知定义在R 上的连续奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，有下列命题：①函数f (x )的图象关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z )对称； ②函数f (x )的单调递增区间为[8k －6,8k －2](k ∈Z )； ③函数f (x )在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；④若关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(1)D (2)C [(1)根据题意，因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.又因为f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，所以函数f (x )在[0,1]上是增函数，所以函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，所以f (x )在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.(2)①正确，∵定义在R 上的连续奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝f (x )，即f (x －8)＝f (x )，∴f (x )是以8为周期的周期函数，8k (k ∈Z 且k ≠0)也是其周期．又f (x )为R 上的连续奇函数，由f (x －4)＝－f (x )，即f (x )＝－f (x －4)，得f (x )＝f (4－x )，∴函数f (x )的一条对称轴为x ＝42＝2.又8k (k ∈Z 且k ≠0)是f (x )的周期， ∴f (x )＝f (x ＋8k )＝f (4－x )，∴函数的对称轴为x ＝8k ＋42＝4k ＋2(k ∈Z 且k ≠0)．综上，函数f (x )的图象关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z )对称，故①正确； ②错误，作图如下：由图可知，函数f (x )的单调递减区间为[8k －6,8k －2](k ∈Z )，故②错误；③正确，由图可知，f (x )在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016,2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018,2 018)上有1 008个极值点，③正确；④正确，由图中m 1，m 2，m 3，m 4，m 5五条直线可知，关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．综上所述，①③④正确，故选C.]1.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4mB [函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝2，可得f (x )的图象关于点(0,1)对称，函数y ＝x ＋1x ，即y ＝1＋1x 的图象关于点(0,1)对称，∴函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.当交点不在对称轴上时，m 为偶数，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0×m 2＋2×m2＝m ；当有交点在对称轴上时，m 为奇数，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0×m －12＋0＋2×m －12＋1＝m .综上，∑mi ＝1(x i ＋y i )＝m .]2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．]课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.2 [显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.]【素养提升练习】已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2D [设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，易知函数的定义域为R ，关于原点对称，∵g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－3x )(1＋9x 2＋3x )＝ln 1＝0，∴g (x )为奇函数，∴g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋g (－lg 2)＝0，又∵f (x )＝g (x )＋1，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1＝2.]抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f x(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 【例2】已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.]【素养提升练习】 (2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1fx ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________.52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.]抽象函数的对称性已知函数f (x )(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．【例3】函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．4 [因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )是R 上的奇函数，则f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.]【素养提升练习】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点也关于直线x ＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f (x )不过点(1,4)时，∑mi ＝1x i ＝m2×2＝m ，当f (x )过点(1,4)时，∑mi ＝1x i ＝m －12×2＋1＝m .综上，∑mi ＝1x i ＝m .]。

2021届高考数学一轮复习第二章09指数与指数函数练案【含解析】

2021届高考数学一轮复习第二章09指数与指数函数练案【含解析】A 组基础巩固一、单选题1．化简：(a 23 b 12 )·(3a 12 b 13 )÷(13a 16 b 56 )等于( C )A ．6aB ．－aC ．9aD ．9a 2[解析] 原式＝313×a 23＋12－16b 12＋13－56＝9a .故选C.2．(2020·海南中学模拟)已知函数f (x )＝4＋2a x －1(a >1且a ≠1)的图象恒过点P ，则点P的坐标是( A )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)[解析] 当x ＝1时，f (1)＝6，与a 无关，所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过点P (1,6)．故选A.3．(2020·德州一模)已知a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)25，则( D )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] 因为y ＝(25)x 在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D.4．(2020·山东菏泽联考)函数y ＝(12)2x －x 2的值域为( A )A ．[12，＋∞)B ．(－∞，12]C ．(0，12]D ．(0,2][解析] 设t ＝2x －x 2，t ≤1，所以y ＝(12)t ，t ≤1，所以y ∈[12，＋∞)，故选A.5．(2020·辽宁模拟)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0,0≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( B )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][解析] 由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝(13)|2x －4|.因为y ＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B.二、多选题6．(2020·河北保定调研改编)函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值不可以是( ACD )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] 由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3，故选A 、C 、D. 7．函数f (x )＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象不可能是( ABC )[解析] 通解：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x－1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x－1a的图象，而1a大于1，故选A 、B 、C.优解：函数f (x )的图象恒过点(－1,0)，只有选项D 中的图象符合． 8．(2020·安徽江淮名校联考改编)已知函数f (x )＝1e x＋1－12，则f (x )是( AC ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．在R 上是减函数 D ．在(0，＋∞)上是增函数[解析] 函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝1e －x ＋1－12＝e xe x ＋1－12，则f (－x )＋f (x )＝0，所以f (x )是奇函数，函数f (x )＝1e x＋1－12显然是减函数．故选A 、C. 三、填空题9．(2020·保定模拟)函数f (x )＝12x－2的定义域是__(－∞，－1]__.[解析] 若使函数f (x )＝12x－2的有意义，自变量x 须满足：(12)x－2≥0，解得：x ∈(－∞，－1]，故函数f (x )＝12x－2的定义域为：(－∞，－1]．10．(2020·日喀则模拟)函数f (x )＝a x(0<a <1)在[1,2]内的最大值比最小值大a2，则a 的值为 12.[解析] 因为0<a <1，所以函数f (x )＝a x在[1,2]内是减函数，因为函数f (x )＝a x(0<a <1)在[1,2]内的最大值比最小值大a2，所以f (1)－f (2)＝a －a 2＝a2，解得a ＝12，或a ＝0(舍)．11．若函数y ＝(a 2－1)x在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 a >2或a <－ 2 . [解析] 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，得a 2－1>1，解得a >2或a <－ 2.12. (2020·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝__－2x(x <0)__.[解析] 依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝(12)x，x >0.当x <0时，－x >0.所以g (x )＝－f (－x )＝－(12)－x ＝－2x .故填－2x (x <0)．四、解答题13．已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．[解析] (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)． (2)由于f (x )的最大值是94，且94＝(23)－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.14．(2020·吉林汪清第六中学月考)已知函数f (x )＝k ·a －x(k ，a 为常数，a >0，且a ≠1)的图象过点A (0,1)，B (3,8)．(1)求实数k ，a 的值； (2)若函数g (x )＝f x －1f x ＋1，试判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧k ·a 0＝1，k ·a －3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1a ＝12.(2)g (x )＝12x－112x＋1，因此 g (－x )＝12－x－112－x＋1＝[12－x－1]12x[12－x＋1]12x＝1－12x1＋12x＝－g (x )，所以g (x )＝12x－112x＋1为奇函数． B 组能力提升1．(2020·吉林省实验中学期中)设函数f (x )＝(12)|x |，则使得f (－3)<f (2x －1)成立的x的取值范围是( B )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)[解析] ∵f (x )＝(12)|x |，∴函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．∵f (－3)<f (2x －1)，∴|－3|>|2x －1|，∴－3<2x －1<3，解得－1<x <2，∴x 的取值范围是(－1,2)．2．已知(12)x ＋(12)－y >(12)－x ＋(12)y，则下列关系式正确的是( A )A ．x <yB ．x >yC ．x <－yD ．x >－y[解析] 不等式可化为(12)x －(12)－x >(12)y －(12)－y ，又f (x )＝(12)x －(12)－x在R 上单调递减，故必有x <y .故选A.3．(2020·陕西宝鸡月考)若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，12)[解析] 方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a <1时，如图1，∴0<2a <1时，即0<a <12.②当a >1时，如图2，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.故选D.4．函数f (x )＝(14)x －(12)x ＋1在[－3,2]上的值域是 [34，57] ，单调增区间为__[1,2]__.[解析] 因为x ∈[－3,2]，若令t ＝(12)x ，则t ∈[14，8]，y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.当t＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为[34，57]．又t ＝(12)x 为减函数，y ＝t 2－t ＋1的减区间为[14，12]由14≤(12)x ≤12得，1≤x ≤2， ∴f (x )的单调增区间为[1,2]．5．(2020·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当x <0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·(2x )2－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当x ∈[1,2]时，不等式为2t (22t －122t )＋m (2t－12t )≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为t ∈[1,2]，所以22t－1>0，所以m ≥－(22t＋1)．而t ∈[1,2]时，－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

2021版高考数学一轮复习第二章函数 2.7 对数与对数函数教学案苏教版

第七节对数与对数函数［最新考纲] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。

2。

理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，错误!的对数函数的图象。

3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4。

了解指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质（1）对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a＞0，且a≠1）．(2)换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于1，b＞0）．(3）对数的运算性质:如果a＞0，且a≠1,M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N）＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域:（0,＋∞）值域:R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当0＜x＜1时,y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时,y＜0在（0,＋∞）上为增函数在（0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!1．换底公式的两个重要结论(1）log a b＝错误!;(2)log am b n＝错误!log a b。

其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m,n∈R,m≠0。

2．对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析(正确的打“√",错误的打“×")(1）函数y＝log2(x＋1)是对数函数．（）(2)log2x2＝2log2x. ( )（3)函数y＝ln 1＋x1－x与y＝ln(1＋x）－ln（1－x)的定义域相同．( )（4)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0),且过点（a,1)，错误!，函数图象不在第二、三象限．（）［答案]（1）×(2)×(3）√（4）√二、教材改编1．（log29)·(log34)＝（)A。

2021版高考数学一轮复习第二章函数2.4函数性质的综合问题教学案苏教版

第四节函数性质的综合问题考点1 函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．(1)(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )(2)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](1)C (2)D [(1)∵f (x )是定义域为R 的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又∵log 34＞log 33＝1，且1＞2-23＞2-32＞0， ∴log 34＞2-23＞2-32＞0.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2-32)＞f (2-23)＞f (log 34)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314.故选C.(2)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.][逆向问题] 设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )A ．[－3,3]B ．[－2,4]C ．[－1,5]D ．[0,6]B [因为f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6,0]上为增函数，得f (x )在(0,6]上为减函数，故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.](1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)＞f (x 2)的形式，再结合单调性脱去法则“f ”变成常规不等式，如x 1＜x 2(或x 1＞x 2)求解．1.已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝1－|x |C ．f (x )＝－x 3D ．f (x )＝ln(x 2＋3)C [由条件①可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A 、D 选项，由条件②可知，f (x )为奇函数，则可排除B 选项，故选C.]2．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B [∵函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数y ＝f (x )在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，∴f (1)＝f (3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.]3．(2019·滨州模拟)设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f x －2f －x5x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [∵奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x )的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(－1,0)，且f (x )在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x )的大致图象如图所示．∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式3fx －2f －x5x＜0可化为f xx＜0，即xf (x )＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x 的范围，据图象可知x ∈(－1,0)∪(0,1)．]考点2 函数的周期性与奇偶性已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．(2019·福州质量检测)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.－2 [依题意，f (－x )＝－f (x )，f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2.]解奇偶性、周期性的综合性问题的2个关键点(1)利用奇偶性和已知等式求周期．(2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________.－2 [因为f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．所以f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2) [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，∴f (5)＝2a －3＜1，即a ＜2.]考点3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 C [法一：(直接法)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：(特例法)由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.](1)函数的奇偶性与对称性的关系①若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则其函数图象关于直线x ＝a 对称；当a ＝0时可以得出f (x )＝f (－x )，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．②若函数f (x )满足f (2a －x )＝2b －f (x )，则其函数图象关于点(a ，b )对称；当a ＝0，b ＝0时得出f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．(2)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与直线x ＝b 对称，那么函数的周期是2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b －a |. ③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b －a |. (3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a ≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题](1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数(2)已知定义在R 上的连续奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，有下列命题：①函数f (x )的图象关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z )对称； ②函数f (x )的单调递增区间为[8k －6,8k －2](k ∈Z )； ③函数f (x )在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；④若关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(1)D (2)C [(1)根据题意，因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.又因为f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，所以函数f (x )在[0,1]上是增函数，所以函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，所以f (x )在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.(2)①正确，∵定义在R 上的连续奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝f (x )，即f (x －8)＝f (x )，∴f (x )是以8为周期的周期函数，8k (k ∈Z 且k ≠0)也是其周期．又f (x )为R 上的连续奇函数，由f (x －4)＝－f (x )，即f (x )＝－f (x －4)，得f (x )＝f (4－x )，∴函数f (x )的一条对称轴为x ＝42＝2.又8k (k ∈Z 且k ≠0)是f (x )的周期， ∴f (x )＝f (x ＋8k )＝f (4－x )，∴函数的对称轴为x ＝8k ＋42＝4k ＋2(k ∈Z 且k ≠0)．综上，函数f (x )的图象关于直线x ＝4k ＋2(k ∈Z )对称，故①正确； ②错误，作图如下：由图可知，函数f (x )的单调递减区间为[8k －6,8k －2](k ∈Z )，故②错误；③正确，由图可知，f (x )在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016,2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018,2 018)上有1 008个极值点，③正确；④正确，由图中m 1，m 2，m 3，m 4，m 5五条直线可知，关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．综上所述，①③④正确，故选C.]1.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1(x i ＋y i )＝( ) A ．0 B ．m C ．2mD ．4mB [函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝2，可得f (x )的图象关于点(0,1)对称，函数y ＝x ＋1x ，即y ＝1＋1x 的图象关于点(0,1)对称，∴函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点也关于(0,1)对称，关于(0,1)对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为2.当交点不在对称轴上时，m 为偶数，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0×m 2＋2×m2＝m ；当有交点在对称轴上时，m 为奇数，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0×m －12＋0＋2×m －12＋1＝m .综上，∑mi ＝1(x i ＋y i )＝m .]2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．]课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.2 [显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.]【素养提升练习】已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2D [设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，易知函数的定义域为R ，关于原点对称，∵g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－3x )(1＋9x 2＋3x )＝ln 1＝0，∴g (x )为奇函数，∴g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋g (－lg 2)＝0，又∵f (x )＝g (x )＋1，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1＝2.]抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f x(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 【例2】已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.]【素养提升练习】 (2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1fx ，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________.52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.]抽象函数的对称性已知函数f (x )(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．【例3】函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．4 [因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )是R 上的奇函数，则f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.]【素养提升练习】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2－2x －3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点也关于直线x ＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f (x )不过点(1,4)时，∑mi ＝1x i ＝m2×2＝m ，当f (x )过点(1,4)时，∑mi ＝1x i ＝m －12×2＋1＝m .综上，∑mi ＝1x i ＝m .]。

2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.5 指数与对数 (含解析)

§2.5指数与对数1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝x n，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一n a 0的n次实数方根是0 个正数，负数的n次实数方根是一个负数当n为偶数时，正数的n次实数方根有两n a 负数没有偶次方根个，它们互为相反数±(2)两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na-＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t ＝a s ＋t (a >0，t ，s ∈Q )； ②(a s )t ＝a st (a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t ＝a t b t (a >0，b >0，t ∈Q )． 3．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． ②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N ＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a(a ，b 均大于零且不等于1)． (3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝nmlog a M . 概念方法微思考根据对数的换底公式， (1)思考log a b 与log b a 的关系；(2)化简logmnab.提示(1)log a b·log b a＝1；(2)logmnab＝nm log a b.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)n a n＝(n a)n＝a(n∈N*)．(×)(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．(×)(3)2a·2b＝2ab.(×)(4)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)(5)若lg x2＝1，则x＝10.(×)题组二教材改编2．计算：1294⎛⎫⎪⎝⎭＋(－9.6)0－23278-⎛⎫⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫322＝________.答案3 23．计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝________. 答案 14．已知lg 6＝a ，lg 12＝b ，那么用a ，b 表示lg 24＝________. 答案 2b －a 题组三易错自纠5．计算：3(1＋2)3＋4(1－2)4＝________. 答案 2 2 6．下列各式：①na n ＝a ；②(a 2－2a －3)0＝1；③3－3＝6(－3)2；④log 318－log 32＝2. 其中正确的是________．(填序号) 答案 ④ 解析na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，①错误；当a 2－2a －3≠0时，(a 2－2a －3)0＝1，②错误；3－3＝－33，6(－3)2＝632＝33，③错误；log 318－log 32＝log 39＝2，④正确．7．(多选)下列运算结果中，一定正确的是( ) A ．a 3a 4＝a 7 B ．(－a 2)3＝a 6 C.8a 8＝a D.5(－π)5＝－π答案 AD解析 a 3a 4＝a 3＋4＝a 7，故A 正确；当a ＝1时，显然不成立，故B 不正确；8a 8＝|a |，故C 不正确； 5(－π)5＝－π，D 正确．指数幂的运算1.a3a·5a4(a>0)的值是________．答案17 10 a解析a3a·5a4＝34152·aa a＝14325a--＝1710a.2．计算23×31.5×612＝________. 答案 6解析原式＝11 1362323122⎛⎫⨯⨯⨯⎪⎝⎭1111133632=233232-⨯⨯⨯⨯⨯ 11111236332326.++-+⨯⨯＝＝3.12133214(0.1)()a b --⎛⎫⎪⎝⎭⋅⋅＝________. 答案 85解析原式＝33322233222410a ba b--⋅＝85. 4．若1122+=3x x -，则33222232x x x x --+-+-＝________.答案 13解析由1122+=3x x-，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47. ∴x 2＋x －2－2＝45.3322+x x -＝11113312222()+()=(+)(1+)x x x x x x ----＝3×(7－1)＝18.33222231=23x x x x --+-.+-∴思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．对数的运算1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.答案10解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________.答案－20解析原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg 10.1 D ．10－10.1答案 A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lg E 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．指数与对数的综合运算例 (1)已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z ，且1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解令a x ＝b y ＝c z ＝k . 由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k . 因为1x ＋1y ＋1z＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k＝0. 故lg(abc )＝0，得abc ＝1.(2)设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC的值．解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎨⎧1log C a ＋1log C b＝3，1log Ca ·log Cb＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝±5.于是log a bC＝⎝⎛⎭⎫log C a b －1＝1log C a －log C b＝±55. 思维升华指数、对数的综合运算，要充分利用指数、对数的定义、运算性质、换底公式，建立已知条件和所求式子间的联系．跟踪训练 (1)(2019·南京模拟)若a log 23＝1，b log 35＝1，则9a ＋5b ＝________. 答案 7解析 a ＝log 32，b ＝log 53，于是9a ＋5b ＝353log 2log 32log 29533＋＝＋＝3log 43＋3＝4＋3＝7.(2)方程33x －56＝3x －1的实数解为________．答案 x ＝log 32解析原方程可化为2(3x )2＋5·3x －18＝0，即(3x －2)(2·3x ＋9)＝0,3x ＝2(2·3x ＝－9舍去)，得x ＝log 32.(3)若log 2log 3x ＝log 3log 2y ＝log 2log 2z ＝1，则x 2，y 3，z 4从小到大的排列为________．答案x2<z4<y3解析由题设得log3x＝2，log2y＝3，log2z＝2，即x＝32，y＝23，z＝22，故x2＝34，y3＝29，z4＝28，所以x2<z4<y3.。

2021版高考数学一轮复习第二章函数 2.9 函数与方程教学案苏教版

第九节函数与方程[最新考纲] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点零点个数210 [常用结论]有关函数零点的3个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点． ( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6则函数y ＝f (x )A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．]2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是________．1 [由已知得f ′(x )＝e x＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，因此函数f (x )有且只有一个零点．]4．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________． 1 [作函数y 1＝x 12和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示．由图象知函数f (x )有1个零点．]考点1 函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)零点存在性定理．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．1.函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [由题意知函数f (x )是增函数，因为f (1)＜0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点；又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝________.5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.](1)f (a )·f (b )＜0是连续函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，且f (x )的图象连续不断，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个零点．考点2 函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有(1)直接法，令f (x )＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点． (2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)B (2)D (3)C [(1)由f (x )＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·(1－cos x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D.(3)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.](1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．1.函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x. 在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．3 [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0， ①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0. ②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]考点3 函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________．(0,1)∪(9，＋∞) [设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x 有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a )2－4a ＞0，即a 2－10a ＋9＞0，解得a ＜1或a ＞9.又由图象得a ＞0，∴0＜a ＜1或a ＞9.]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m的取值范围是________．(－∞，0]∪(1，＋∞) [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x 轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12[依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －1·f 0＜0，f 1·f 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1＜0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]＜0，解得14＜m ＜12.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．1.函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)C [因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.]2．方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．1 [若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ＝a －2x 有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x≥1，故a 的最小值为1.]3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．(－1,0)[关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y2＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．]。

2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数课件

7－2－1＝98.
3212
54
(2)原式＝
a2 a
b b2
2
a6
1
a3
b6
1
b3
a3 b3
27
a3 b3
a. b
【题后反思】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴
上.令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得01＜－ab＜＜10，，
解得0b＜＞a1＜，1，故 ab∈(0，1). 答案：(0，1)
考点三指数函数的性质及应用考向 1 利用指数函数的单调性比较大小通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入 “1”等中间量比较大小.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理问题.
解指数函数的概念.
2.题型一般为选择、填空
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数题，若题型为解答题，
的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点则题目中等偏难
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
即函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)＞f(－x＋2)， ∵函数 f(x)在 R 上单调递增， ∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1， ∴不等式的解集为(1，＋∞).

2021年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数

2021年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a-mn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 (5)当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)(4－4)4＝－4.(×)(2)(－1)24 ＝(－1)12 ＝－1.(×) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．(×)(4)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14|x |的值域是(－∞，1]．(×)2．已知函数f (x )＝a x(0＜a ＜1)，对于下列命题： ①若x ＞0，则0＜f (x )＜1； ②若x ＜1，则f (x )＞0； ③若f (x 1)＞f (x 2)，则x 1＜x 2. 其中正确的命题( ) A ．有3个 B ．有2个 C ．有1个D ．不存在解析结合指数函数图象可知①②③正确．答案 A3．(xx·陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析 ∵ax ＋y ＝a x·a y，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，∴可先排除A ，C ，又因为f (x )为单调递增函数，故选B. 答案 B4．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0＜a 2－1＜1，∴1＜a 2＜2，即1＜a ＜2或－2＜a ＜－1.答案 (－2，－1)∪(1，2)5．(人教A 必修1P52例4(1)改编)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 23 b 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 12 b 13 ÷ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 16 b 56 ＝________. 答案 4a考点一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)[(0.0641 5)－2.5]23－3338－π0；(2)a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a-23－23ba×a·3a25a·3a.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二指数函数的图象及其应用例2 (1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0(2)已知实数a，b满足等式2 014a＝2 015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0，故选D.(2)设2 014a＝2 015b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案(1)D (2)B规律方法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【训练2】(xx·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案[－1,1]考点三指数函数的性质及其应用例3 (1)下列各式比较大小正确的是( )A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1(2)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析(1)A中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62. C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，∵1.70.3>1,0＜0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.(2)若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案 (1)B (2)14规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可．【训练3】设函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x－a －x. (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x)ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－4(2x －2－x)＝(2x－2－x )2－4(2x －2－x)＋2.令t (x )＝2x－2－x(x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.[思想方法]1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的单调性和底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．4．与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往转化为二次函数的最值问题．[易错防范]1．指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．形如a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式，常借助换元法转化为二次方程或不等式求解，但应注意换元后“新元”的范围．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若x＝log43，则(2x－2－x)2＝( )A.94B．54C.103D．43解析由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3，2－x＝33，所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 答案 D2．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析当x ＝1时，y ＝0，故函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C 符合．答案 C3．(xx·武汉模拟)设a ＝(2)1.4，b ＝332 ，c ＝ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解析 c ＝ln 32＜1＝(2)0＜a ＝(2)1.4＜(2)32 ＜b ＝332 ，故选D.答案 D4．(xx·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )解析 f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1,1)，又由0＝1－1知(1,1)不在函数y＝1－x 的图象上．答案 A5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 答案 B二、填空题 6.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．解析a3a ·5a 4＝a3a 12 ·a 45＝a3－12－45＝a 1710 .答案 a 17107．函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.答案 12或328．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1) 三、解答题9．求下列函数的定义域、值域及单调性．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6＋x －2x 2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.解 (1)函数的定义域为R ，令u ＝6＋x －2x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u .∵二次函数u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，∴函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12498. 又∵二次函数u ＝6＋x －2x 2的对称轴为x ＝14，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞上u ＝6＋x －2x 2是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上是增函数，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u是减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋x －2x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14上是减函数．(2)定义域为x ∈R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1.故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ≥1}．又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |是偶函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫32x x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫23xx ＜0.所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(此题可借助图象思考)10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性．解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)．f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x 4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈－1，0，0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈0，1.(2)设0＜x 1＜x 2＜1，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＋2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 14x 1＋14x 2＋1＝2x 1－2x 21－2x 1＋x 24x 1＋14x 2＋1，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1＋x 2＞20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．函数y ＝a x－b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．无法确定解析函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b∈(0,1)．答案 C12．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析方程|a x－1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．①当0＜a ＜1时，如图(1)，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.②当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1不符合要求．综上，0＜a ＜12.答案 D13．当x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的范围是________．解析 x ∈[－2,2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，若a >1，y ＝a x 是一个增函数，则有a 2<2，可得a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1.综上知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1精品文档实用文档 ∪(1，2)．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) 14．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13. 又因为a ＞0，所以a ＝13. ②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.27507 6B73 歳_:T $28400 6EF0 滰21871 556F 啯38223 954F 镏37776 9390 鎐33758 83DE 菞I36521 8EA9 躩b。

2021版高考数学一轮复习第二章函数2.9函数与方程教学案苏教版

第九节函数与方程[最新考纲] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点零点个数210 [常用结论]有关函数零点的3个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点． ( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6则函数y ＝f (x )A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．]2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是________．1 [由已知得f ′(x )＝e x＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，因此函数f (x )有且只有一个零点．]4．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________． 1 [作函数y 1＝x 12和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示．由图象知函数f (x )有1个零点．]考点1 函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)零点存在性定理．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．1.函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [由题意知函数f (x )是增函数，因为f (1)＜0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点；又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]3．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝________.5 [∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5.](1)f (a )·f (b )＜0是连续函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，且f (x )的图象连续不断，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个零点．考点2 函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有(1)直接法，令f (x )＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点． (2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)B (2)D (3)C [(1)由f (x )＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·(1－cos x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D.(3)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.](1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．1.函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x. 在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．3 [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0， ①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0. ②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]考点3 函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________．(0,1)∪(9，＋∞) [设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x 有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a )2－4a ＞0，即a 2－10a ＋9＞0，解得a ＜1或a ＞9.又由图象得a ＞0，∴0＜a ＜1或a ＞9.]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m的取值范围是________．(－∞，0]∪(1，＋∞) [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x 轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12[依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －1·f 0＜0，f 1·f 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1＜0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]＜0，解得14＜m ＜12.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．1.函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)C [因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.]2．方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．1 [若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122+x ＝a －2x 有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x≥1，故a 的最小值为1.]3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．(－1,0) [关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y2＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．]。

2021年高中数学必修一第二章函数学案课时31：指数函数对数函数幂函数复习(1)(苏教版)

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精品资源·备学备考一、知识回顾指数函数、对数函数、幂函数的定义图像和性质.

二、基础检测 1.若,1|,2|xyxPyyMx则PM .

2.对数式)5(log1aba中，实数a的取值范围是 . 3.计算：120lg5lg2lg325log23 .

4.设,3,21log,212133cba则cba,,的大小关系是 . 5..2),1lg(,2,2)(21xxxexfx则3ff= . 三、合作释疑例1.已知211212xxxf.

（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：0xf.

记录与整理学习目标 1.进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念. 2.能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题. 3.掌握图象的一些变换. 4.能解决一些函数的单调性、奇偶性等问题. 重难点：指对数幂函数的运用.

指数函数、对数函数、幂函数（1）教案讲义·训练检测

精品资源·备学备考例2.已知)(1222·Rxaaxfxx，若xf满足xfxf. （1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性.

四、当堂达标 1.若函数1,2)24(,1,)(xxaxaxfx是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 2.已知函数mxfx121)(（m为常数）是奇函数，则m的值为 .

3.函数xay在1,0上的最大值与最小值的和为3，则a . 4.函数xy2与2xy的图象的交点个数是 . 5.已知函数axya3log在1,0上是减函数，则a的取值范围是 .

记录与整理小结与反思