2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测一集合含
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十四)抛物线 Word版含解析
课时跟踪练(五十四)A 组 基础巩固1．(2019·黄山模拟)若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)解析：设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，则y P ＝±8，所以点P 的坐标为(8，±8)．故选C.答案：C2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上2一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为( )2A ．2B ．2C ．2D ．423解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋＝4，得x 0＝3，222代入抛物线方程得，y ＝4×3＝24，所以|y 0|＝2，20226所以S △POF ＝|OF ||y 0|＝××2＝2.1212263答案：C3．(2019·茂名模拟)若动圆的圆心在抛物线y ＝x 2上，且与直112经y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)解析：直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．答案：C4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝(O 为坐标原点)，则·32OM → ＝( )MF →A ．－B. C. D ．－74749494解析：不妨设M (m ，)(m >0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐2pm 标为，因为|MO |＝|MF |＝，所以解得m ＝，p ＝(p 2，0)32{m 2＋2pm ＝94，m＋p 2＝32，)122，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.OM → (12，2)MF → (12，－2)OM → MF → 1474故选A.答案：A5．(2019·长沙模拟)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．2－1B ．255C ．3D ．4解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共（1＋2）2＋42线且点Q 在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.答案：C6．(2019·福州模拟)函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是________________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意知点P 的坐标为(1，1)，代入y 2＝mx ，可得m ＝1，所以焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是y 2＝x .答案：y 2＝x7．(2019·玉溪模拟)已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，|MF |＋|NF |＝3，则线段MN 的中点到x 轴的距离为________．解析：抛物线的焦点为，准线为y ＝－，过M ，N 作准线(0，14)14的垂线，垂足分别为M ′，N ′，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝3，设线段MN 的中点为P ，过P 作准线的垂线，垂足为P ′，则|PP ′|＝＝，|MM ′|＋|NN ′|232所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－＝－＝.14321454答案：548．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若＝4，CB → BF →则＝________．|AF ||BF |解析：根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ，因为＝4，所以|CB |＝4|BF |，即|CB |＝4|BN |，CB → BF →又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即4b ＋b ＋a ＝4a ，变形可得＝，a b 53即＝.|AF ||BF |53答案：539．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px的准线为x ＝－，于是4＋＝5，p 2p2所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝.43因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－，34所以FA 的方程为y ＝(x －1)，①43MN 的方程为y ＝－x ＋2，②34由①②联立得x ＝，y ＝，8545所以点N 的坐标为.(85，45)10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为2的直线交2抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λOC → OA → OB →的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，2(x －p2)与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由(1)知p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，又x 1＜x 2，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4，4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，OC →2222又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0232或λ＝2.B 组 素养提升11．(2019·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝|AB |，则∠AFB 的最大值为( )233A. B. C. D.π33π45π62π3解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n ，因为|AF |＋|BF |＝|AB |，233所以|AB |≥2，所以mn ≤|AB |2，233mn 13在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝≥－，（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn13|AB |2－2mn 2mn 12所以∠AFB 的最大值为.故选D.2π3答案：D12．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A.B ．2C ．2D ．35233解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝(x －1)．3联立得方程组{y ＝3（x －1），y 2＝4x ，)解得或{x ＝13，y ＝－233，){x ＝3，y ＝23.)因为点M 在x 轴的上方，所以M (3，2)．3因为MN ⊥l ，所以N (－1，2)．3所以|NF |＝＝4，（1＋1）2＋（0－23）2|MF |＝|MN |＝＝4.（3＋1）2＋（23－23）2所以△MNF 是边长为4的等边三角形．所以点M 到直线NF 的距离为2.3故选C.答案：C13．(2019·衡水中学月考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________．解析：因为直线l 与圆相切，所以＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直|t ＋1|1＋k 2线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t ＝16t (t ＋3)>0，解得t >0或t <－3.答案：t >0或t <－314．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若＝2，求直线AB 的斜率；AF → FB →(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为＝2，所以y 1＝－2y 2.AF → FB →联立上述三式，消去y 1，y 2，得m ＝±.24所以直线AB 的斜率是±2.2(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×·|OF |·|y 1－y 2|12＝＝4，（y 1＋y 2）2－4y 1y 21＋m 2所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(二十九)平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析
可得
解析：如图，
B.1A→C＋1A→B 26
D.1A→C＋3A→B 62
→→ 因为EC＝2AE，
→ → → 2→ 1→ 2→ 1 → → 1→ 1
所以EM＝EC＋CM＝ AC＋ CB＝ AC＋ (AB－AC)＝ AB＋
3232
26
→ AC.
答案：C
8．(2019·南昌十校二模)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，
D．2
解析：因为 a∥b，所以 a＝λb，即 me1＋2e2＝λ(＝－2.
n
答案：C
→ 7．已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC＝2
→
→
AE，则向量EM＝( )
A.1A→C＋1A→B 23
C.1A→C＋1A→B 62
→→ 解析：因为点 C 是线段 AB 上一点，且|BC|＝2|AC|，
→
→
所以BC＝－2AC.
设点 B 为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．
{ ) { ) 所以 2－x＝－2， 解得 x＝4，
3－y＝－4，
y＝7.
→ 所以向量OB的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
( ) 1
11．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)向量 a＝ ，tan α ，b＝(cos 3
( ) ( ) → 1→ 1
→1
所以OC＝ AC＝ ，5 ，所以CO＝ － ，－5 .
2
2
2
答案：D
3．已知向量 a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数 λ 满足 a＋b＝
λc，则λ＋m 等于( )
A．5
B．6
C．7
浙江专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十八空间点线面之间的位置关系含解析20190614365
课时跟踪检测（三十八）空间点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK . ∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点， 由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt△CKN 中，CK ＝22＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝22＋22－322×2×22＝78. 答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 如图，连接C1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确； 因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ， 所以MN 与AC 垂直，故B 正确； 因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ， 所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75°D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角． 解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34， GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角． 同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ， 所以∠GHF ＝90°， 所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1. 在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2， 所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值． 解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2， 连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22， 又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， 即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26， ∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴V 1A ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863.(2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)． ∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋62＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414，即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小． 解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ， ∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3， ∴PA ＝32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC . 由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点， ∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角． ∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ， 又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB .∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°. 在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°. 故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，32， 设异面直线PB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22，∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ， 所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点． 法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q. 因为EC ＝2FB ＝2， 所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ， 因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ， 所以平面PB Q ∥平面AEF . 又因为B Q ⊂平面PB Q ， 所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ， 所以cos ∠OFE ＝OFEF＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
高考数学一轮专项复习练习卷-通用版题型模拟精练-集合(原卷版和解析版)
集合（八大题型+模拟精练）目录：01集合的概念02元素与集合03集合中元素的特性04集合的方法、求集合（个数）05集合的基本关系06Venn图07集合的基本运算08高考压轴新考法——新定义集合综合
01集合的概念1．（21-22高一上·广东广州·阶段练习）下列说法中正确的是（）A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等边三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合2．（21-22高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中，其中真命题的个数为（）①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②21,(1)表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；④任何一个非空集合至少有两个子集．A．0个B．1个C．2个D．3个3．（（21-22高一上·河南商城·阶段练习）下列命题中正确的是（）
①与0表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1
③方程2(1)(2)0xx
的所有解的集合可表示为
1,1,2
④集合{45}xx∣可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对4．（21-22高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（）
A．{(3,2)}M，{(2,3)}NB．(,)1Mxyxy，1Nyxy
C．{1,2}M，{(1,2)}ND．2|3Myyx，|3Nxyx5．（2020高三·全国·专题练习）设,abR，集合{1,,}0,,bababa，则ab（）
A．1B．－1C．0D．－202元素与集合6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合2{|0}Axxx，则1与集合A的关系为（）A．1AB．1AC．1AD．1A
2020高考数学(文)一轮复习课时检测函数的图象及其应用
课时跟踪检测(十一) 函数的图象及其应用[A级保分题准做快做达标]1.若函数y= f(x)的图象如图所示，则函数y=—f(x + 1)的图象大致为()要想由y= f(x)的图象得到y=—f(x+ 1)的图象，需要先将y= f(x)的图象y=- f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y= —f(x+ 1)的图象,中山一中统测)如图所示的函数图象对应的函数可能是()解析：选C 关于x轴对称得到根据上述步骤可知C正确.2. (2018全国卷n )函数e x—e—xf(x) = x2 的图象大致为(解析：选 B ••• y= e x—e八A2 e —ey= x 是偶函数，••• f(x)=是奇函数，图象关于原点对称, 排除A选项.当x= 1时,1 f(1)= e- e>0，排除D选项.又1e—e>1，排除C选项.故选B.3. (20佃—x是奇函数,2x sin xB y= 7TTC. y= (x2—2x)e xxD. y=i7^解析：选C A选项中，当x =—1时，y= 2x—x2—1 = 1—1—1=—3<0，不符题意；Bn . |X . 2 —2X sin —2 sin x 2 选项中，当x=—孑时，y= x+ 4 =2 4+14—2+1n2 —2一—<0,不符题意;4 — 2+ 1D选项中,当x<0时，y=^无意义，不符题意.故选C.4. (2019辽宁重点高中协作校阶段考试)已知f(x) = ：；［—1 ,则下列选项错误的是(②是f(—X)的图象B.A .①是f(x—1)的图象f(|x|)的图象解析：选D作出函数C .③是④是|f(x)|的图象f(x)的图象，如图所示.f(x—1)的图象是由函数f(x)的图象向右平移一个单位长度得到的，A正确；f( —x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，B正确；对于f(|x|)的图象，当x>0时，与f(x)的图象相同，当xvO时，与f(x)在［0,1］上的图象关于y轴对称，C正确；因为JiH o\' i ■-•f(x)>0，所以|f(x)|的图象与函数f(x)的图象相同，所以D不正确.故选D.(2019山西四校联考)已知函数f(x)=|x2—1|,若Ovavb且f(a) = f(b)，贝V b的取值范5.围是((0, )(1, 2) D. (1,2)解析：选C 作出函数f(x)= |x2—1|在区间(0, +8)上的图象如图所示，作出直线y= 1,交f(x)的图象于B点，由x2—1= 1可得xB=2, 结合函数图象可得b的取值范围是(1, 2)，故选C.6. (2019汉中模拟)函数f(x)=B. (1 ,+^ )yL1N .7......V . rJ 2 x—1 I •in x的图象大致为7. (2019西安第一中学期中)设函数f(x)= "i3x + 4, x<0,X 2, X 3，满足 f(X 1)= f(X 2)= f(X 3)，贝V X 1+ X 2+ X 3 的取值范围是(A. 131, 6不妨设x 1<x 2<x 3，贝y X 2, x 3关于直线x = 3对称，故x 2+ x 3= 6，且X p 满足—7<x 1<0 ,7 11 则一3+ 6<X 1 + X 2 + X 3<0 + 6, 即卩 X 1+ X 2+ X 3 3 ,8. (2019昆明检测)已知定义在 R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(一R, 0)上是减函 数，f(2) = 0, g(x)= f(x + 2)，则不等式 xg(x )w 0 的解集是 _______________________ .解析：如图所示，虚线部分为f(x)的草图，实线部分为g(x )的草图,解析：选Af(2)=sin x = f(x), •••函数f(x)为偶函数，故排除 —1 ；sin 2v 0,故排除 B ,选 A.C 、D ;当 x = 2 时,-2x — 6x + 6, x >0,解析：选D 函数f(x)=*i3x + 4, x<0x 2— 6x + 6, x 》0,的图象如图,若互不相等的实数X i ,311 6 .故选D.x > 0,则 xg(x) w 0?Ig (x 尸 0或 X "0，gx >0,由图可得xg(x)< 0的解集为(一a,— 4] U [-2 ,+s ). 答案：(一a, — 4] U [ — 2,+a )9. (2019合肥质检)对函数f(x),如果存在0,使得f(x °)=— f(— x o ),则称(x o , f(x 。
【新课改】2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测：二项分布与正态分布(含解析)
课时跟踪检测（六十三） 二项分布与正态分布1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.故选C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )A.34B.23C.57D.512解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝512，故选D.3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25 B.35 C.18125D.54125解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125.4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29 B.49 C.23D.79解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P (100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为 1 000×25＝400.故选A.6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A.110B.15C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P ABP A ＝1512＝25.故选C.7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4 )A ．0.977 2B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.954 4解析：选A ∵X ～N (800,502)，∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4，∴P (X ＞900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.8．(2019·茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587解析：选D ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，∴P (0＜X ＜2)＝68.26%，则P (1＜X ＜2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.9．(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )A ．0.05B ．0.007 5C ．13D ．16解析：选C 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P ABP A＝0.050.15＝13.故选C. 10．(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413解析：选B 对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3＜X ＜1)－P (－2＜X ＜0)]＝12×[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.11．(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝1513＝35. 答案：3512．(2019·郑州一中月考)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为________．解析：甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×34＝364. 答案：36413．(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X ＞0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________.解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，∴正态曲线关于x ＝1对称，∴P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X ＞0)＝0.2.答案：0.214．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.答案：0.0915．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列．解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625. 所以X 的分布列为16．(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681.(2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.17．(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51＜T＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.24≈0.49.解：(1)μ＝0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)＝2，从而T服从N(2,0.24)，又σ＝0.24≈0.49，从而P(1.51＜T＜2.49)＝P(μ－σ＜T＜μ＋σ)＝0.682 6.(2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P(2＜T＜2.98)＝P(μ＜T＜μ＋2σ)＝12P(μ－2σ＜T＜μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2.由题意知X服从B(10 000,0.477 2)，所以EX＝10 000×0.477 2＝4 772.(ⅱ)X服从B(10 000,0.477 2)，P(X＝k)＝C k10 0000.477 2k(1－0.477 2)10 000－k＝C k10 0000.477 2k·0.522 810 000－k(k＝0,1,2，…，10 000)．设当X ＝k (k ≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，PX ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k ＝4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大．。
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．命题∧，∨，綈的真假判断∧∨綈真真真真假假假真假真假假假．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对中的任意一个，有()成立存在中的一个，使()成立，∃∈∈∀()简记()，，綈∈∃()∀∈否定()，綈[小题体验]．(·启东中学期末检测)在“綈”，“∧”，“∨”形式的命题中，若“∨”为真，“∧”为假，“綈”为真，则，的真假为，.解析：∵“∨”为真，∴，至少有一个为真．“∧”为假，∴，至少有一个为假，而“綈”为真，∴为假，为真．答案：假真．(·盱眙中学检测)命题“存在实数，使＞”的否定是．答案：对于任意的实数，使得≤．已知命题：对任意∈，总有＞；：“＞”是“＞”的充分不必要条件，则下列命题：①∨；②綈∧綈；③綈∨；④∧綈.其中为真命题的序号是．解析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以綈是假命题，綈是真命题；所以∨是真命题，綈∧綈是假命题，綈∨是假命题，∧綈是真命题，故①④正确．答案：①④．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]．命题“若＝，则＝或＝”，其否定为．答案：若＝，则≠且≠．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等全称命题与存在性命题)[题组练透]．已知命题：∀∈，(＋)≤，则命题的否定是“”．答案：∃∈，(＋)＞．(·淮安期末)若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．解析：若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，即“∃∈，使得λ＞＋成立”是假命题，所以“∀∈，都有λ≤＋成立”是真命题．由∈，得函数＝＋≥ ＝，当且仅当＝时等号成立．所以λ≤，即实数λ的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]．已知函数()＝＋，()＝＋，若∀∈，∃∈[]，使得()≥()，则实数的取值范围是．解析：由题意知，()≥()(∈[])，因为()＝＋，所以′()＝－，所以()在上单调递减，所以()＝()＝，又因为()在[]上的最小值为()＝＋，所以≥＋，即≤.答案：(－∞，]．(·南通中学调研)已知命题：“∀∈[]，≥”，命题：“∃∈，＋＋＝”，若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：若命题：“∀∈[]，≥”为真命题，则≥；若命题：“∃∈，＋＋＝”为真命题，则Δ＝－≥，即≤，所以若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是[]．答案：[][谨记通法]．全称命题与存在性命题的否定()改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．()否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．含有逻辑联结词的命题的真假判断)[典例引领](·泰州模拟)已知命题：函数＝－－在上为增函数，：函数＝＋－在上为减函数，则在命题①∨；②∧；③(綈)∨；④∧(綈)中，真命题的序号是．解析：因为＝在上为增函数，＝－＝在上为减函数，所以＝－－＝－在上为增函数，所以＝－－在上为增函数，故是真命题．＝＋－在上为减函数是错误的，故是假命题，所以①∨是真命题；②∧是假命题；③(綈)∧是假命题；④∧(綈)是真命题．答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的个步骤()先判断简单命题，的真假．()再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]．(·启东期末)命题：∈*，命题：∈，则“或”是命题．(填“真”“假”)解析：命题：∈*，为假命题；命题：∈，为真命题，则命题“或”为真命题．答案：真．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①∧；②∨；③∧(綈)；④(綈)∨中，是真命题的序号是．解析：由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①∧为假命题；②∨为真命题；③綈为真命题，则∧(綈)为真命题；④綈为假命题，则(綈)∨为假命题．答案：②③根据命题的真假求参数的取值范围)[典例引领](·无锡天一中学月考)已知命题：∃∈[－，]，使不等式－＋≥＋成立；命题：＋＋＝有两个负数根，若∨为真，∧为假，求实数的取值范围．解：因为∨为真，∧为假，所以，一真一假．由题设知，对于命题，因为∈[－]，所以＋∈[]，所以不等式－＋≥成立，所以－＋≥，解得≤或≥.对于命题，因为＋＋＝有两个负数根，所以(\\(Δ＝－≥，＋＝－＜，))所以≥.若真假，则≤；若假真，则≤＜，所以实数的取值范围为(－∞，]∪[，)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤()先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；()然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；()最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]．(·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃∈[]，使＋＋≥”为真命题，则实数的取值范围是．解析：当∈[]时，＋＝(＋)－是增函数，所以≤＋≤，由题意得＋≥，所以≥－.答案：[－，＋∞)．(·海门中学检测)已知命题：∀∈，＋＞，命题：∀∈，＋＜，且∧为假命题，则实数的取值范围为．解析：由已知可得：命题为真命题，∵∧为假命题，∴为假命题．若为真，则＞＋对∀∈恒成立，∵＋＝且正弦函数＝的值域为[－]，∴＋＝的最大值为，∴＞.∵为假命题，∴≤，∴实数的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·南通中学高三检测)命题“∃∈(，＋∞)，＝－”的否定是“”．答案：∀∈(，＋∞)，≠－．(·镇江模拟)已知命题：函数＝＋＋(＞且≠)的图象恒过点(－)；命题：已知平面α∥平面β，则直线∥α是直线∥β的充要条件，则有下列命题：①∧；②(綈)∧(綈)；③(綈)∧；④∧(綈)．其中为真命题的序号是．解析：由指数函数恒过点()知，函数＝＋＋是由＝先向左平移个单位，再向上平移个单位得到．所以函数＝＋＋恒过点(－)，故命题为真命题；命题：与β的位置关系也可能是⊆β，故是假命题．所以∧(綈)为真命题．答案：④．若“∈[]或∈(－∞，)∪(，＋∞)”是假命题，则的取值范围是．解析：根据题意得“∉[]且∉(－∞，)∪(，＋∞)”是真命题，所以(\\(＜或＞，≤≤，))解得≤＜，故∈[)．答案：[)．已知函数()＝＋＋，若命题“∃＞，()＜”为真，则的取值范围是．解析：因为函数()＝＋＋的图象过点()，若命题“∃＞，()＜”为真，则函数()＝＋＋的图象的对称轴必在轴的右侧，且与轴有两个不同交点，所以(\\(Δ＝－＞，,－()＞，))解得＜－，所以的取值范围是(－∞，－)．答案：(－∞，－)．(·南京外国语学校模拟)已知命题：∃∈，使＝，命题：－＋＜的解集是{＜＜}，给出下列结论：①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．其中正确的是．解析：命题：∃∈，使＝是真命题，命题：－＋＜的解集是{＜＜}也是真命题，所以，①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④．(·海门实验中学检测)命题：∃∈[－]，使得＜成立；命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立．若命题∧为真，则实数的取值范围为．解析：由∈[－]可知，当＝－时，取得最小值，若命题：∃∈[－]，使得＜成立为真，则＞.若命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立为真，即∀∈(，＋∞)，＜＋恒成立为真，当＝时，＋取最小值，故＜.因为命题∧为真，所以∈.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是．解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是“∃∈*，()∉*或()＞”．答案：∃∈*，()∉*或()＞．(·海安中学测试)若命题“∀∈[]，－＋≤”是真命题，则实数的取值范围是．解析：令()＝－＋，根据题意可得(\\(＝－＋≤，＝－＋≤，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．(·南通大学附中月考)已知命题：“任意∈[]，－≥”，命题：“存在∈，使＋＋－＝”．若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：由题意知，：≤，：≤－或≥.因为“∧”为真命题，所以，均为真命题，所以≤－或＝.答案：(－∞，－]∪{}．(·沙市区校级期中)函数()＝－＋，()＝－，若对∀∈[－]，∃∈[]，()≥()，则实数的最小值是．解析：由′()＝－，可得()在区间[－]上单调递减，在区间[]上单调递增，∴()＝()＝－，∵()＝－是增函数，∴()＝－，要满足题意，只需()≥()即可，解得≥，故实数的最小值是.答案：．已知：－＜，：(－)(－)＞，若綈是綈的充分不必要条件，则实数的取值范围是．解析：由题意知：－＜＜＋，：＜＜，因为“綈”是“綈”的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件．所以(\\(－≤，＋＞))或(\\(－＜，＋≥，))解得－≤≤.答案：[－]．(·杨大附中月考)给出下列命题：①∀∈，＞；②所有可以被整除的整数，末位数字都是；③∃∈，－＋≤；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则上述命题的否定中，真命题的序号为．解析：命题与命题的否定一真一假．①当＝或时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被整除的整数，末位数字是或，所以②是假命题，②的否定是真命题；③－＋＝＋＞恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③．命题的否定是“对所有正数，＞＋”，则命题可写为．解析：因为是綈的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．答案：∃∈(，＋∞)，≤＋．若“∀∈，≤ ＋”为真命题，则实数的最大值为．解析：由∈，可得－≤ ≤，所以≤ ＋≤，因为∀∈，≤ ＋，所以≤，所以实数的最大值为.答案：．(·南京期末)已知∈，设命题：∀∈，＋＋＞；命题：函数()＝－＋－只有一个零点，则使“∨”为假命题的实数的取值范围为．解析：若为真，当＝时，符合题意；当≠时，(\\(＞，,Δ＝－＜，))则＜＜，∴命题为真时，≤＜.若为真，由()＝－＋－，得′()＝－，令′()＝，得＝或＝.∴当∈(－∞，)∪(，＋∞)时，′()＞；当∈()时，′()＜，∴()的单调递增区间为(－∞，)，(，＋∞)，单调递减区间为()．∴()的极大值为()＝－，极小值为()＝－.要使函数()＝－＋－只有一个零点，则－＜或－＞，解得＜或＞.∵“∨”为假命题，∴为假，为假，即(\\(＜或≥，≤≤，))解得≤≤，故实数的取值范围为[]．答案：[]．(·南京一中模拟)给出如下命题：①“≤”是“∃∈[]，使－≥成立”的充分不必要条件；②命题“∀∈(，＋∞)，＞”的否定是“∃∈(，＋∞)，≤”；③若“∧”为假命题，则，均为假命题．其中正确的命题是．(填序号)解析：对于①，由∃∈[]，使－≥成立，可得≤，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“且”为假命题，则，中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②．已知命题：函数＝(＋＋)的定义域为；命题：函数()＝－在(－∞，)上单调递减．()若“∧綈”为真命题，求实数的取值范围；()设关于的不等式(－)(－＋)＜的解集为，命题为真命题时，的取值集合为.若∩＝，求实数的取值范围．解：()若为真命题，则＋＋＞的解集为，则＞且－＜，解得＞.若为真命题，则≥，即≥.因为“∧綈”为真命题，所以为真命题且为假命题，所以实数的取值范围是()．()解不等式(－)(－＋)＜，得－＜＜，即＝(－，)．由()知，＝(，＋∞)．因为∩＝，则⊆，所以－≥，即≥.故实数的取值范围为[，＋∞).．设：实数满足－＋＜(其中＞)，：实数满足＜≤.()若＝，且∧为真，求实数的取值范围；()若綈是綈的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，－＋＜，解得＜＜，即为真时，实数的取值范围是＜＜.若∧为真，则真且真，所以实数的取值范围是()．()綈是綈的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，设＝{()}，＝{()}，则，由－＋＜得(－)(－)＜，因为＞，所以＝()，又＝(]，则≤且＞，解得＜≤.所以实数的取值范围为.．(·启东检测)已知：∃∈(，＋∞)，－≤；：函数＝－＋有两个零点．()若∨为假命题，求实数的取值范围；()若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：若为真，令()＝－，问题转化为求函数()的最小值．′()＝－＝，令′()＝，解得＝，函数()＝－在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故()＝()＝，故≥.若为真，则Δ＝－＞，解得＞或＜－.()若∨为假命题，则，均为假命题，即＜且－≤≤，所以实数的取值范围为[－)．()若∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足(\\(≥，,－≤≤，))即≤≤；若假真，则实数满足(\\(＜，＞或＜－，))即＜－.综上所述，实数的取值范围为(－∞，－)∪[]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·姜堰中学检测)设：函数()＝－－在区间[－]上单调递减；：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．如果∨为真命题，∧为假命题，则实数的取值范围是．解析：若为真，由函数()＝－－在区间[－]上单调递减，得′()＝－≤在区间[－]上恒成立，即≥，当－≤≤时，≤，则≥；若为真，由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，得(\\(－＞，－＞，－＞－，))解得＜＜.如果∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假，若真假，则(\\(≥，≥或≤，))得≥；若假真，则(\\(＜，＜＜，))得＜＜，综上，实数的取值范围是()∪[，＋∞)．答案：()∪[，＋∞)．(·宿迁中学月考)已知命题：∃∈，＋≤，：∀∈，－＋＞，若∨为假命题，则实数的取值范围是．解析：因为∨为假命题，所以，都是假命题．由：∃∈，＋≤为假命题，得綈：∀∈，＋＞为真命题，所以≥.由：∀∈，－＋＞为假命题，得綈：∃∈，－＋≤为真命题，所以Δ＝(－)－≥，解得≤－或≥.综上，可得≥.答案：[，＋∞)命题点一集合及其运算.(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{，＋}．若∩＝{}，则实数的值为．解析：因为＋≥，所以由∩＝{}，得＝，即实数的值为.答案：．(·江苏高考)已知集合＝{－}，＝{－＜＜}，则∩＝.解析：在集合中满足集合中条件的元素有－两个，故∩＝{－}．答案：{－}．(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{}，则集合∪中元素的个数为．解析：因为＝{}，＝{}，所以∪＝{}，所以∪中元素个数为.答案：．(·浙江高考改编)已知全集＝{}，＝{}，则∁＝.解析：∵＝{}，＝{}，∴∁＝{}．答案：{}．(·北京高考改编)已知集合＝{＜}，＝{－，}，则∩＝.解析：∵＝{＜}＝{－＜＜}，＝{－}，∴∩＝{}．答案：{}．(·全国卷Ⅰ改编)已知集合＝{}，＝{－，－}，则∩＝.解析：∩＝{}∩{－，－}＝{}．答案：{}命题点二充分条件与必要条件．(·浙江高考改编)已知等差数列{}的公差为，前项和为，则“＞”是“＋＞”的条件．解析：因为{}为等差数列，所以＋＝＋＋＋＝＋＝＋，＋－＝，所以＞⇔＋＞.答案：充要．(·天津高考改编)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞⇒＞⇒＞，反之不成立，故“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设∈，则“＜”是“＜”的条件．解析：由＜，得＜＜，则＜＜，即“＜”⇒“＜”；由＜，得＜，当≤时，≥，即“＜”“＜”．所以“＜”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·上海高考)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞可得＞，由＞可得＞或＜－.所以“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设{}是首项为正数的等比数列，公比为，则“＜”是“对任意的正整数，－＋＜”的条件．解析：设数列{}的首项为，则－＋＝－＋－＝－(＋)＜，即＜－，故＜是＜－的必要不充分条件．答案：必要不充分命题点三命题及其真假性．(·全国卷)下面是关于复数＝的四个命题：：＝，：＝，：的共轭复数为＋，：的虚部为－.其中的真命题为．解析：因为复数＝＝－－，所以＝，＝(－－)＝(＋)＝，的共轭复数为－＋，的虚部为－，综上可知，是真命题．答案：，．(·山东高考改编)设∈，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是．解析：根据逆否命题的定义，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋－＝没有实根，则≤”．答案：若方程＋－＝没有实根，则≤命题点四全称量词和存在量词．(·全国卷Ⅰ改编)设命题：∃∈，＞，则綈为．解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．答案：∀∈，≤．(·浙江高考改编)命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是．解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式为“∃∈，∀∈*，使得＜”．答案：∃∈，∀∈*，使得＜．(·山东高考)若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于，又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.答案：。
专题01 集合的含义及运算-名师揭秘2020年高考数学(文)一轮总复习之集合函数导数 Word版含解析
专题01 集合的含义及运算一、本专题要特别小心：1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱；6．子集中忽视空集陷阱；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱.二、【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(V enn)图表达集合间的关系与运算．三、【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法．(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B；若A⊆B，且A≠B，，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。
3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(3)补集：∁U A＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝∁U A∪∁U B，∁U(A∪B)＝∁U A∩∁U B，A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.四．题型方法规律总结（一）集合的含义与表示例1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.练习1．给出下列四个关系式：(1)；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】（1）R为实数集，为实数，所以正确；（2）Z、Q分别为两个集合，集合间不能用属于符号，所以错误；（3）空集中没有任何元素，所以错误；（4）空集为任何集合的子集，所以正确.故选B.练习2．若A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意得集合，所以集合B中共有4个元素．故选D．（二）集合中代表元易错点揭秘例2．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为() A．-1 B．1 C．0 D．±1【答案】B【解析】由题意，当时，，令代入，则，则，则，即，所以，故选B.练习1．若集合A＝｛x｜mx2＋2x＋m＝0，m∈R｝中有且只有一个元素，则m的取值集合是A．｛1｝B．｛｝C．｛0，1｝D．｛，0，1｝【答案】D【解析】时，，满足题意；时，，．综上的取值集合是．练习2．用列举法表示集合＝________．【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.【解析】，为的因数则则答案为练习3．集合{|y y ∈N =用列举法可表示为__________.【答案】{}1,2,4,8 【解析】∵,1x x ∈≠N ,∴当0x =时, 8y =-,不符合题意, 当2x =时, 8y =,符合题意, 当3x =时, 4y =,符合题意, 当4x =时, 83y =,不符合题意, 当5x =时, 2y =,符合题意,当6x =时, 85y =,不符合题意, 当7x =时, 86y =,不符合题意,当8x =时, 87y =,不符合题意,当9x =时, 1y =,符合题意,则y =，不符合题意.∴用列举法可表示为{}1,2,4,8. （三）集合的基本关系 例3．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵集合M={x|x 2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N ⊆M ，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}， ∵N ⊆M ，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．练习1．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴的真子集的个数为个．故选C．练习2．若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的单调区间为，由，得．∵函数在区间内没有最值，∴函数在区间内单调，∴，∴，解得．由，得．当时，得；当时，得，又，故．综上得的取值范围是．故选B．练习3.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.（四）子集中常见错误例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】当集合时，，解得，此时满足；当，即时，应有：，据此可得：，则，综上可得：实数的取值范围是.本题选择C选项.练习1．Z(M)表示集合M的子集个数，设集合A=，B=，则= A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】；B=∴；集合的子集有：∴Z（A∩B）＝4．故选：B练习2.设集合，不等式的解集为B.（Ⅰ）当时，求集合A,B；（Ⅱ）当，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或.【解析】（Ⅰ）当时，，.（Ⅱ）①若，即时，可得， 满足，故符合题意．②当时，由，可得，且等号不能同时成立， 解得． 综上可得或．∴实数的取值范围是．练习3．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A ∪B=A ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2） .【解析】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为.（五）集合的基本运算 例5.已知，，则()R AB ð中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．8【答案】B【解析】解：{1x x =<，或3}x ≥，，，的元素个数为2个.故选:B .练习1．已知集合，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A.练习2．集合，,若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，可得，，要使，则，故选B.练习3．设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是________.【答案】【解析】∵，∴， ∴．（六）集合的应用例6．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A ．20 B ．17C ．14D ．23【答案】B【解析】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B练习1．已知集合.给定一个函数，定义集合若对任意的成立，则称该函数具有性质“”(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是_____；(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】（答案不唯一）①②【解析】(I)对于解析式：，因为，，…符合。
2020版高考数学一轮复习空间向量及其运算和空间位置关系含解析
课时跟踪检测（四十二） 空间向量及其运算和空间位置关系1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.交点．若AB ―→＝2．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c.3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R)，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意设c ＝x a ＋y b ，则(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．(2019·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析：选C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－666．在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 法一：如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB ―→)＝a ·(c －b)＋b ·(a －c)＋c ·(b －a) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：在三棱锥A BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直． 所以AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·DB ―→＝0，AD ―→·BC ―→＝0. 所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝0.7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________． 解析：设AD ―→＝λAC ―→，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1,4λ－1,2－3λ)，∴BD ―→＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD ―→|＝ －42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5. 答案：58．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：∵AP ―→·AB ―→＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB ，故①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确； 由①②知AP ⊥平面ABCD ， 故③正确，④不正确． 答案：①②③9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋23MN ―→＝12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→) ＝12OA ―→＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB ―→＋OC ―→－12OA ―→ ＝16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.答案：16，13，1310．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .M ⎝⎛⎭⎪⎫3，0，43，证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得N (0,2,2)，R (3，2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ―→＝RS ―→.∴MN ―→∥RS ―→.∵M ∉RS .∴MN ∥RS . 又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝13c －a ＋12b ，RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝12b －a ＋13c ，∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AA 1―→＝(0,0，3)，AD ―→＝(1,1,0)， BC ―→＝(－2,2,0)，CC 1―→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1―→＝0，n 1·AD ―→＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ―→＝0，n 2·CC 1―→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.12．如图所示，四棱锥S ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS ―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC ―→·SD ―→＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，且DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0.设CE ―→＝t CS ―→，则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋t CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a1－t ，62at ，而BE ―→·DS ―→＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ―→⊥DS ―→. 而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC。
2019-2020年高考数学大一轮总复习 1.1集合与集合的运算课时作业 理
2019-2020年高考数学大一轮总复习 1.1集合与集合的运算课时作业理A级训练(完成时间：10分钟)1.(xx·四川)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2.(xx·全国)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅3.(xx·广西)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．74.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅5.已知集合A＝{0,1}，满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有()A．2个B．2个C．3个D．4个6.设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}7.已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x2＋2x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()A. B.C. D.8.集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．9.(xx·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B ＝________.10.若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时1分钟，达标是( )否( )]设全集U ＝R ，M ＝{x |x (x ＋3)＜0}，N ＝{x |x ＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |－3＜x ＜0}C ．{x |x ≤－3|D ．{x |－1≤x ＜0}2.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·江西)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a ＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或43.[限时1分钟，达标是( )否( )]已知集合M ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，则a ＋b ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．94.[限时1分钟，达标是( )否( )](xx·上海)已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{}a ，b ＝{}a 2，b 2，则a ＋b ＝________.5.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知集合A ＝{x |6x ＋1≥1，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．6.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .[限时4分钟，达标是( )否( )]设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； (2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．1302.[限时4分钟，达标是( )否( )](xx·揭阳一模)定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为P (A )，用n (A )表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有A ∈P (A )；②存在集合A ，使得n [P (A )]＝3；③用∅表示空集，若A ∩B ＝∅，则P (A )∩P (B )＝∅；④若A ⊆B ，则P (A )⊆P (B )；⑤若n (A )－n (B )＝1，则n [P (A )]＝2×n [P (B )]．其中正确的命题个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1第一章 集合与简易逻辑第1讲 集合与集合的运算【A 级训练】1．D 解析：A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B 为整数集，故A ∩B ＝{－1,0,1,2}，故选D.2．B3．B 解析：因为M ＝{1,2,4,6,8}，N ＝{1,2,3,5,6,7}，所以M ∩N ＝{1,2,6}，即M ∩N中元素的个数为3.故选B.4．B 解析：A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，则B A .5．D 解析：因为A ＝{0,1}，且A ∪B ＝{2,0,1,3}，所以B 可能为{2,3}或{2,3,0}或{2,3,1}或{2,0,1,3}，则满足条件的集合B 共有4个．6．A 解析：U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，所以∁U M ＝{1,4}．7．A 解析：N 为x 2＋2x ＝0的解集，解x 2＋2x ＝0可得，x ＝0或－2，则N ＝{－2,0}，M ∩N ＝{0}≠∅.8．－3 解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3.9．{7,9} 解析：因为全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，所以∁U A ＝{4,6,7,9}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}，故答案为{7,9}．10．解析：因为A ＝B ，所以B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1＋3＝2b ＝－1×3＝－3，解得a ＝－2，b ＝－3. 【B 级训练】1．D 解析：M ＝{x |x (x ＋3)＜0}＝{x |－3＜x ＜0}，由图象知，图中阴影部分所表示的集合是M ∩(∁U N )，又N ＝{x |x ＜－1}，所以∁U N ＝{x |x ≥－1}．所以M ∩(∁U N )＝[－1,0)．2．A解析：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件，当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，解得a ＝4.3．B 解析：由集合M 中的不等式，解得0＜x ＜5，所以M ＝{x |0＜x ＜5}，因为N＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(2，b )，所以a ＝2，b ＝5，则a ＋b ＝2＋5＝7.4．－1 解析：第一种情况：a ＝a 2，b ＝b 2，因为ab ≠0，所以a ＝b ＝1，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：a ＝b 2，b ＝a 2，所以a ＝a 4⇒a 3＝1，所以a 2＋a ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．8 解析：由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． 因为A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.6．解析：(1)因为9∈(A ∩B )，所以9∈A 且9∈B .所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．所以a ＝5或a ＝－3.(2)因为{9}＝A ∩B ，所以9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.7．解析：由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.所以A ＝{3,5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.所以B ＝{5}，所以B A . (2)因为A ＝{3,5}且B ⊆A ，所以，若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15.所以C ＝{0，13，15}． 【C 级训练】1．D 解析：由题目中“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设A ＝{0}，B ＝{－1,1}，分为①有2个取值为0，另外3个从B 中取，共有方法数：C 25×23；②有3个取值为0，另外2个从B 中取，共有方法数：C 35×22；③有4个取值为0，另外1个从B 中取，共有方法数：C 45×2.所以总共方法数是C 25×23＋C 35×22＋C 45×2＝130，即元素个数为130.故选D.2．B 解析：由P (A )的定义可知①正确，④正确，设n (A )＝n ，则n [P (A )]＝2n ，所以②错误，若A ∩B ＝∅，则P (A )∩P (B )＝{∅}，③不正确；n (A )－n (B )＝1，即A 中元素比B 中元素多1个，则n [P (A )]＝2×n [P (B )]，⑤正确，故选B..。