指数与指数函数教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（一）

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解n次方根与根式的概念；

（2）正确运用根式运算性质化简、求值；

（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.

2．过程与方法

通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.

3．情感、态度与价值观

（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（2）培养学生认识、接受新事物的能力.

（二）教学重点、难点

1．教学重点：（1）根式概念的理解；

（2）掌握并运用根式的运算性质.

2．教学难点：根式概念的理解.

（三）教学方法：

本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.

（四）教学过程：

一、引入课题

1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性

2．由实例（见教材P48—49）引入，了解指数的意义是什么，指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；

3．初中根式的概念；

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；

二、新课教学

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

x n ，那么x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N*．

一般地，如果a

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示．式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号

n

a 表示，负的

n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

00=n

．

思考：（课本P 50探究问题）n

n a =a 一定成立吗？．

（学生活动） 结论：当n 是奇数时，

a a n

n =

当n 是偶数时，

?

?

?<≥-==)0()

0(||a a a a a a n

n 三．例题讲解

例1．（教材P 50例1）． 略 补充例题（按情况讲解）

例21,a =-a 求的取值范围.

例3

例4

四．巩固练习： 练习 计算下列各式的值.

（1）3

3)(a ；（2 （1n >，且n N *

∈）（3）1n >，且n N *

∈）

五．归纳总结

1．根式的概念：若n ＞1且*

n N ∈，则n x a 是的次方根.

x n 为奇数时, n 为偶数时，x =

2．掌握两个公式：,n n 为奇数时

(0)

||(0)

a a n a a a ≥?==?

-

2.1.2 指数与指数幂的运算（二）

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）理解分数指数幂的概念；

（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；

（3）掌握分数指数幂的运算性质；

（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.

2．过程与方法

通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.

3．情感、态度与价值观

（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；

（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；

（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.

（二）教学重点、难点

1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；

2．教学难点：分数指数幂概念的理解

（三）教学方法

发现教学法

1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

（四）教学过程：

一．引入课题

1.n次方根的定义

记法

n

n

??

?

±??

为奇数

为偶数

2.根式：n a

3. 3.

{

,||,a n a n 为奇数

为偶数

巩固强化知识点，为本节课的教学奠定知识基础 二．新课讲授

1．回顾正整数指数幂导出探究的问题 能否这样表示？

指出当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式，能否将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去？ 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义

规定：

)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a

a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质

（1）r a ·s r r

a a +=

),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r

a a

=)(

),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r

a a a

b =)

(

),0,0(Q r b a ∈>>．

三．例题讲解

引导学生解决本课开头实例问题

例题．（教材P 51例2、例3、例4、例5） 补充例题 例1计算

（1）.)01.0(4122532

5.02

1

20-??

?

???+??? ??-

-

=

=4

12

5

10

)2()1(a a 3

4

4

32552)()(a

a a a ==4

12510a

a ==)

0()0(>>a a ()

4315

2

2

0a

a

a a ===>

（1）5.121

3

2

4

1)9

1

()6449()27()

0001.0(---

+-+； 例2.化简下列各式：

（1）

3

133153

83327

----÷

÷

a a a a a a ；

（2）

3

3

3

23

3

23134)21(248a a

b a ab

b b a a ?-÷++-. 说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 巩固练习：（教材P 54练习1-3） 4． 无理指数幂

结合教材P 52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．

指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα

>a a

是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无

理数指数幂．有理数指数幂推广到无理数指数幂，进而推广到整个实数范围，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．

四．课堂小结

1. 正数的正分数指数幂的意义

2. 正数的负分数指数幂的意义

3. 运算性质

五．课后作业 六．板书设计（略） 七．课后反思：

2.1.3 指数函数及其性质（一）

（一）教学目标

1．知识与技能

了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象． 2．过程与方法

能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． 3．情感、态度与价值观

在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．

（二）教学重点、难点

1．教学重点：指数函数的概念和图象． 2．教学难点：指数函数的概念和图象． （三）教学方法

采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性． （四）教学过程 一．复习引入

1. 在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的

1.073(20)x y x x =∈≤

与问题(2)中时间t 和C-14含量P 的对应关系t 1P=[(2

，

请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征

15730

1][()]2

t P =t

57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用

x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）.

二．新课讲授 1.指数函数的定义 一般地，函数

x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数(exponential function)，其中x 是自变量，函数的定义域为R .

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =-

（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）

x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x

a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .

00

0,0x

x a a x a ?>?=?≤??x

当时,等于若当时,无意义

若a ＜0，如1

(2),,8

x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.

若a =1,

11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)

x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，

5,,3,31x x x a y x y y +===+1

x

x

为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数

2.指数函数的性质

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数

2x y =的图象

再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数

1

()2

x y =的图象.

从图中我们看出

1

2()2

x x y y ==与的图象有什么关系?

通过图象看出1

2()2

x x y y y ==与的图象关于轴对称,

实质是

2x

y =上的

x ,y 点(-)x y x ,y y

1

与=()上点(-)关于轴对称.2

讨论： 1.

1

2()2

x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

2.画出115,3,(),()35x x

x x y y y y ====的函数图象.

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

x x

.

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题3：指数函数

x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

指数函数的图象和性质

x y a =

三．例题讲解

例1 比较下列各题中两个数的大小：

(1) 3 0.8 ,30.7

(2) 0.75-0.1, 0.750.1

四．课堂练习练习p58 1,2五．板书设计

六．课后反思：

2.1.2 指数函数及其性质（二）

（一）教学目标

1．知识与技能：

（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. （2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与方法：

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 3．情感、态度与价值观

（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. （二）教学重点、难点

1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. （三）教学方法

采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力. （四）教学过程 一．复习引入

复习指数函数的概念和图象. 1.指数函数的定义 2.指数函数的图象

问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题：指数函数x y a （a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

二．新科讲授 一．例题讲解

题型一：单调区间的求法

例1：求下列函数的单调区间： （1）

223

x x y a

+-=； （2）1

0.21

x y =

-

题型二：与指数有关的定义域（值域）问题

例2 ：（1）求下列函数的定义域、值域

（1)y=2

2)

2

1(++-x x ； （2）

11

0.3

x y -=； （3）

y =

（2）．求函数

4225x x y =-?+，[0,2]x ∈的最大值和最小值．

练习 求函数223

3

x x y -++=的定义域、值域并指出单调区间．

题型三：与指数函数有关的图象问题 １．如图指数函数①

x y a =②x y b =③x y c =④x y d =的图象，则

（ ）

（

A ）01a b c d <<<<<

（B ）01b a d c <<<<< （C ）1a b c d <<<< （D ）01a b d c <<<<<

题型四：指数函数图象与方程和不等式 例4:（2）求方程2

4x

x +=的解的个数练习：

补充例题 例题：已知f(x)=1

1

+-x x a a （a>0,且

a 1≠）

(1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性；

练习：已知21

()21

x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.

二．课堂练习

1．函数265

1()()3

x x f x -+=的单调递减区间为（ ）.

A. (,)-∞+∞

B. [3,3]-

C. (,3]-∞

D. [3,)+∞

2．定义运算()() , .

a a

b a b b a b ≤??*=?>?? 则函数()12x

f x =*的值域为 .

3：设a 是实数，

2

()()21

x

f x a x R =-

∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；

三．课后作业 四．板书设计 五．课后反思