指数函数教案

指数函数教学目标1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

教学过程一、知识归纳1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

②性质：1）a a nn =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。

②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称。

③函数值的变化特征：二．典例解析题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---； （2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--。

解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； 10<<a 1>a①100<<>y x 时，②10==y x 时，③10><y x 时①10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<<<y x 时，（2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值。

解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=， ∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=， ∴2247x x-+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型3：指数方程例3．设关于x 的方程∈=--+b b x x(0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

解：（1）原方程为124+-=x xb ，11)12(22)2(24221-≥--=⨯-=-+x x x x x ，),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；（2）①当1-=b 时，12=x ，∴方程有唯一解0=x ；②当1->b 时，b b xx +±=⇒+=-1121)12(2 .b b x x ++=∴>++>112,011,02 的解为)11(log 2b x ++=；令,0111011<<-⇒<+⇒>+-b b bb b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；综合①、②，得1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=； 2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=；3）当1-<b 时，原方程无解。

点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

题型4：指数函数的图像与应用例4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤1解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==---)1(2)1()21()21(11|1|x x y x x x ，画图象可知－1≤m<0。

答案为B 。

点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数xa y =的图像特征。

例5．设函数x x f x f x x 22)(,2)(|1||1|≥=--+求使的取值范围。

解：由于2xy =是增函数，()22f x ≥等价于3|1||1|2x x +--≥① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即314x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解；综上x的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理。

三．课时小结1．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；2．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；3．指数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数特殊值共同分析；5．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；四、教后反思：在学习中含有指数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。