3.2用频率估计概率(1)
2022年《用频率估计概率》专题练习(附答案)
3.2 用频率估计概率一、填空题1．“抛出的蓝球会下落〞，这个事件是 事件．〔填“确定〞或“不确定〞〕 2．有五张卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为 的概率最大，抽到和大于8的概率为 ．3．在体育测试中，2分钟跳160次为达标，小敏记录了她预测时2分钟跳的次数分别为145，155，140，162，164，那么她在该次预测中达标的概率是 ．4．两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ，对某次投篮而言，二人同时投中的概率是 ．5．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过屡次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%．25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有 个．6．口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的概率是31，那么摸出一个黄球的概率是 ．7．一只不透明的布袋中有三种小球〔除颜色以外没有任何区别〕，分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是 ．8．甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规那么：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢．你认为此规那么公平吗？并说明理由．_________________________________．9．一个口袋中有12个白球和假设干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有 个黑球．10．如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影局部铺黑色石子，其余局部铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过屡次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的概率分别是0.04,0.2,0.36，如果最大圆的半径是1米,那么黑色石子区域的总面积约为 米2〔精确到2〕．二、选择题11．以下模拟掷硬币的实验不正确的选项是 〔 〕A ．用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下B ．袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上C ．在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上D ．将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上12．把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次骰子的点数为2的概率是 〔 〕A ．21B ．51C ．361D ．3611 13．有6张反面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，假设将这六张牌反面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为〔 〕〔第10题〕〔第16题〕 A ．32 B ．21 C ．41 D ．31 14．如图，小明周末到公园走到十字路口处，记不清前面哪条路通往公园，那么他能一次选对路的概率是〔 〕A ．21B ．31C ．41 D ．015．如图，两个用来摇奖的转盘，其中说法正确的选项是〔 〕A ．转盘〔1〕中蓝色区域的面积比转盘〔2〕中的蓝色区域面积要大，所以摇转盘〔1〕比摇转盘〔2〕时，蓝色区域得奖的可能性大B ．两个转盘中指针指向蓝色区域的时机一样大C ．转盘〔1〕中，指针指向红色区域的概率是31 D ．在转盘〔2〕中只有红．黄．蓝三种颜色，指针指向每种颜色的概率都是3116．把一个沙包丢在如下图的某个方格中〔每个方格除颜色外完全一样〕，那么沙包落在黑色格中的概率是〔 〕A ．21B ．31C ．41 D ．5117．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱〞互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规那么如下：在20个商标中，有5个商标牌的反面注明了一定的奖金额，其余商标的反面是一张苦脸，假设翻到它就不得奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的时机，某观众前两次翻牌均得假设干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是〔 〕A ．41B ．61C ．51D ．203 18．如图，高速公路上有A 、B 、C 三个出口，A 、B 之间路程为a 千米，B 、C 之间的路程为b 千米，决定在A 、C 之间的任意一处增设一个效劳区，那么此效劳区设在A 、B 之间的概率是〔 〕A ．a b B ．b a C ．b a a + D ．b a b +小明家 公园 〔第14题〕 〔第15题〕 A BC〔第18题〕三、解答题19．小明、小华用四张扑克牌玩游戏〔方块2、黑桃4、红桃5、梅花5〕，他俩将扑克牌洗匀后，反面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．〔1〕假设小明恰好抽到黑桃4．①请绘制这种情况的树状图；②求小华抽的牌的牌面数字比4大的概率．〔2〕小明、小华约定：假设小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，那么小明胜，反之那么小明负；假设牌面数字一样，那么不分胜负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由．20．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的时机，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．〔1〕计算并完成表格；〔2〕请估计，当n很大时，频率将会接近多少？〔3〕假设你去转动该盘一次，你获得洗衣粉的概率约是多少？〔4〕在该转盘中，表示“洗衣粉〞区域的扇形的圆心角约是多少？〔精确到1°〕21．某篮球队在平时训练中，运发动甲的3分球命中率是70%，运发动乙的3分球命中率是50%. 在一场比赛中，甲投3分球4次，命中一次；乙投3分球4次，全部命中. 全场比赛即将结束，甲、乙两人所在球队还落后对方球队2分，但只有最后一次进攻时机了，假设你是这个球队的教练，问：〔1〕最后一个3分球由甲、乙中谁来投，获胜的时机更大？〔2〕请简要说说你的理由．22．王强与李刚两位同学在学习“概率〞时．做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：向上点数 1 2 3 4 5 6出现次数 6 9 5 8 16 10 〔1〕请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率．〔2〕王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．〞李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．〞请判断王强和李刚说法的对错．〔3〕如果王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为3的倍数的概率．23．有一个“摆地摊〞的赌主，他拿出2个白球和2个黑球，放在一个袋子里，让人摸球中奖，只要交1元钱，就可以从袋里摸2个球，如果摸到的2个球都是白球，可以得到4元的回报，请计算一下中奖的时机，如果全校一共2400人，有一半学生每人摸了一回，赌主将从学生身上骗走多少钱？24．六个面上分别标有1、1、2、3、3、5六个数字的均匀立方体的外表展开图如图6所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．〔1〕掷这样的立方体可能得到的点有哪些？请把这些点在如下给定的平面直角坐标系中表示出来．〔2〕小明前两次掷得的两个点确定一条直线l，且这条直线经过点P〔4，7〕，那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是多少？参考答案一、填空题1．确定 2．6，325 3．25 4．甲，9205．18 6．25 7．15 8．不公平 9．48 10． 二、选择题11．D 12．D 13．D 14．B 15．B 16．B 17．B 18．D三、解答题19．〔1〕①图略，②23；〔2〕这个游戏公平 20．〔1〕0.；；；〔4〕252︒ 21．都可以．最后一个三分球由甲来投，因甲在平时训练中3分球的命中率较高；最后一个3分球由乙来投，因为在本场比赛中乙的命中率更高，投入最后一个球的可能性更大 22．〔1〕出现向上点数为3的频率为554，出现向上点数为5的频率为827；〔2〕都错；〔3〕1323．400元 24．〔1〕〔1，1〕、〔1，1〕、〔2，3〕、〔3，2〕、〔3，5〕、〔5，3〕；〔2〕通过描点和计算可以发现，经过〔1，1〕，〔2，3〕，〔3，5〕三点中的任意两点所确定的直线都经过点P 〔4，7〕，所以小明第三次掷得的点也在直线l 上的概率是46＝23第2课时 比例的性质一、填空题1．a ：b ：c=2：3：5，那么cb b a -- =________． 2．〔a-b 〕：b=2：3，那么a ：b=_______ 3．实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，那么x ：y ：z=________．4．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+ 〔3x-z 〕2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 5、3)(4)2(y x y x -=+，那么=y x : ，=+x y x 6、543z y x ==，那么=++xz y x ，=+-++z y x z y x 53232 7、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+cb ac b a 3532二、选择题8、dc b a =，那么以下等式中不成立的是〔 〕 A.cd a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b a c b d a =++ 9、53=y x ，那么在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④38=+x y x 这四个式子中正确的个数是〔 〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题10、7532=b a ，求b ab a 3423+的值。
3.2用频率估计概率
习题3.4 第2题
300个同学呢?
可有人说:“50个同学中,就很有可能有两 个同学的生日相同.”你同意这种说法吗?与同伴交 流。
调查全班同学,看看有无两个同学的生日 相同.
如果我们班50个同学中有两个同学的生日 相同,那么说明50个同学中有2个同学的生日相同的 概率是1吗?为什么?
如果我们班50个同学中没有2个同学的生 日相同,那么能说明50个同学中有两个同学的生日 相同的概率是0吗?为什么?
1.进入产生随机数的状态; 2.输入所产生随机数的范围; 3.按键得出随机数.
频率与概率间的关系： (1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映； (2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值， 所以可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到 事件发生的概率，二者不能等同． 注意： 用频率估计概率大小时， (1)试验要在相同条件下进行； (2)重复试验的次数要足够多．
在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与 概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接 近概率
做一做
（1）每个同学课外调查10个人的生日。 （2）从全班的调查结果中随机选取50个被调查人, 记录其中有无2个同学的生日相同. 每选取50个 被调查人的生日为一次试验，尽可能多次试验，并 将数据记录在下表中：
1．频率：在试验中，某事件发生的次数与总次数的比值． 2．用频率估计概率
①一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 m
n
稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝p.
②试验的所有可能结果不是有限个或者可能出现的结果 发生的可能性不一定相等时，都可以通过统计频率来估计 概率．
北师大新版九年级中考题同步试卷：用频率估计概率
北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：3.2 用频率估计概率（01）一、选择题（共8小题）1．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．20个C．25个D．30个3．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（）A．12B．15C．18D．214．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）A．16个B．15个C．13个D．12个5．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率6．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是47．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4B．6C．8D．128．下列说法中正确的个数是（）①不可能事件发生的概率为0；②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．A．1B．2C．3D．4二、填空题（共11小题）9．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有颗．10．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表数n501002004005008001000120015002000色盲患者的频数m37132937556985105138色盲患者的频率0.0600.0700.0650.0730.0740.0690.0690.0710.0700.069m/n根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为（结果精确到0.01）11．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有个．12．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：移植总数（n）400750150035007000900014000成活数（m）369662133532036335807312628成活的频率0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为（精确到0.1）．13．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有个．14．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为个．15．“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是个．16．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104123152251投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50 17．为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．18．在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．19．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．三、解答题（共1小题）20．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：3.2 用频率估计概率（01）参考答案一、选择题（共8小题）1．B；2．A；3．B；4．D；5．D；6．D；7．C；8．C；二、填空题（共11小题）9．14；10．0.07；11．4；12．0.9；13．6；14．25；15．200；16．0.5；17．20；18．8；19．10；三、解答题（共1小题）20．；第三章概率的进一步认识2 用频率估计概率素材一新课导入设计置疑导入归纳导入复习导入类比导入激趣情境：从2014年国庆节开始，中央电视台一直播放“我的名字叫国庆”节目：(多媒体出示)图3－2－1(1)你身边的同学或朋友有没有名字叫国庆的人，他们为什么取名叫“国庆”？(2)同学们，你们每年都过生日吗？你父母和其他长辈的生日你了解吗？请你课下调查自己的父母及周围关心你的人的生日，每名同学调查的人数不少于10人．[说明与建议] 说明：利用“我的名字叫国庆”这一问题引发学生学习的兴趣，增加本课的趣味性，必能极大地调动学生的参与性；课下调查自己父母的生日，为本节课的学习提供素材，同时融入对学生的爱国教育和感恩教育．建议：通过图片的展示引发学生学习的兴趣，然后布置作业：让学生调查自己周围的人的生日，并记录下来．看视频回答问题：问题1：同学们知道中国的古典四大名著是什么吗？下面请同学们欣赏一下四大名著之一《红楼梦》中的一段视频．(播放视频)问题2：从这段视频里，你发现了一个什么有意思的事情？问题3：探春笑道：“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日．人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的．”从探春的话里，你能发现在什么条件下，才能有“这等巧”？[说明与建议] 说明：利用学生感兴趣的视频，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣．既能引入课题，也为下面解决“生日问题”做好铺垫．建议：问题1由学生直接口答；问题2可以让学生畅所欲言，肯定有学生发现有4个人是同一天的生日，老师紧接着边说“聪明的贾探春也看出了这一点”，同时把探春说的话用多媒体给出，让学生回答问题3.学生的回答可能有：这种情况真的是凑巧而已，一般情况下不太可能发生；当人数足够多的时候，这种情况才有可能发生；我认为人数也不一定太多，这一定有一定的概率，但我不知道这个概率是多少．教师可以接着这种回答，引入今天的课题：2 用频率估计概率．素材二考情考向分析[命题角度1] 利用频率估计概率当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计频率来估计概率．有些实际问题，往往需要用频率估计概率的思想来解决．例[青岛中考] 一个不透明的口袋装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的情况下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有(A )A ．45个B ．48个C ．50个D ．55个[命题角度2] 利用概率设计公平性方案现实生活中存在着大量的随机现象，比如商场促销问题、彩票发行问题，还有发生在大家身边的小游戏．在这些随机现象中，很多时候都涉及一个合理性、公平性的问题．可以结合概率知识设计方案．例 [赤峰中考] 甲、乙两位同学玩摸球游戏，准备了甲、乙两个口袋，其中甲口袋中放有标号为1，2，3，4，5的5个球，乙口袋中放有标号为1，2，3，4的4个球．游戏规则：甲从甲口袋摸一球，乙从乙口袋摸一球，摸出的两球所标数字之差(甲数字－乙数字)大于0时甲胜，小于0时乙胜，等于0时平局．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则．[答案：不公平，理由及设计略][命题角度3] 统计与概率在社会生活中的应用加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，加强应用统计与概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的．例 [西宁中考] 今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况(每人限选一项)，对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A.实心球(2 kg )；B.立定跳远；C.50米跑；D.半场运球；E.其他．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：图3－2－2(1)将上面的条形统计图补充完整；(2)假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人；(3)甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B.立定跳远；C.50米跑；D.半场运球中各选一项，同时．．选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．[答案：(1)图略 (2)2200人 (3)29，说明及结果略] 素材三 教材习题答案P70随堂练习1．课外调查的10个人的生肖分别是什么？他们中有2个人的生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率．解：略．2．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球和白球的数量．解：7个红球，3个白球．P71习题3.41．小明和几个同学在课堂上进行摸球试验，大家认为，摸球的人每次摸球前应当将盒中的球摇一摇，使得每个球被摸到的可能性相同．但小明有不同想法，他认为，如果连续两次都是自己摸球，那么他只要在第二次摸球时有意识地避开第一次放进去的那个球，而随意地摸取其他球，就可以保证每个球被摸到的可能性相同．你觉得他的想法对吗？为什么？解：不对，理由略．2．你几月过生日？和同学交流，看看6个同学中是否有2个人同月过生日．展开调查，看看6个人中有2个人同月过生日的概率大约是多少．解：略．素材四图书增值练习专题事件发生的频率与概率之间的关系1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A、15个B、20个C、30个D、35个2. 一个不透明的盒子中放有4张扑克牌，牌面上的数字分别3，4，5，x，这些扑克牌除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从盒子中各随机摸出1张牌，并计算摸出的这2张牌面上的数字之和．记录后都将牌放回盒子中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：摸牌总次数10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为9”出现的频1 9 14 24 26 37 58 82 109 150 数0.10 0.45 0.47 0.40 0.29 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 “和为9”出现的频率解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为9”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为9”的概率；（2）根据（1），若x是不等于3，4，5的自然数，试求x的值．3. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：依此估计此封闭图形ABC的面积是米2．【知识要点】通过实验.理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率附近．并据此估计某一事件发生的概率．答案1. D 【解析】设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，解得x=15，则白球可能有50﹣15=35（个）．2. 解：（1）出现和为9的概率是0.33；（2）一共有4×3=12种可能的结果，由（1）知，出现和为9的概率约为0.33，∴和为9出现的次数为0.33×12=3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）.若3+x=9，则x=6，此时P（和为9）=≈0.33，符合题意，若4+x=9，则x=5，不符合题意．若5+x=9，则x=4，不符合题意．所以x=6．3. 解：∵落在圆内的频率为（14+43+93）÷500=0.3；落在阴影内的频率为（19+85+186）÷500≈0.6；∴石头落在圆内（下称为“圆”）的频率与落在阴影部分（下称为“阴”）的频率之比约为1﹕2，∵S圆=π米2，∴S阴=2π米2，∴S总=π+2π=3π米2．素材五数学素养提升巧用概率一例老师：今天给大家讲一件由真实的事引出的真实问题，然后请大家想想办法如何解决？小明：什么事？您说吧．老师：说的是某村子里有一座关帝庙，庙里供奉着一尊关二爷雕像，据老人们说关二爷非常灵验，有求必应．因此，慕名而来抽签卜挂的善男信女络绎不绝．村子里凡难于决断的大事小事，人们也总是喜欢到庙里烧上三拄香，请关二爷定夺．再说这一日，为了人们赶庙会时出入的方便，有人建议在庙宇的围墙北面再放一个偏门，但同时也有人担心这样会破坏庙宇的风水，一时间公说公有理，婆说婆有理，双方争执不下，大家自然一致想到请关二爷定夺．按照习惯，争议双方到关二爷面前，请村里的长辈点上三根香，拿出两块一模一样、十分精致的竹板，竹板只有正面和反面之分，然后口中念道：关二爷在上，弟子今有一事不明，恭请关二爷定夺．如果可以放个北门请关二爷连允三次．小明：老师，怎么样叫做“允”？老师：将两块竹板抛向空中，竹板落地后，如果其中一块的正面朝上，另一块反面朝上，那么称为“允”；反之，如果朝上的两面都是正面或都是反面，则称为“不允”．小明：那连允三次就是说抛掷三次，每一次都要出现一正一反了？老师：是的．现在的问题是：村里大多数人都认为放这个北门十分必要，请你们先想一想，关二爷会允许吗？王刚：关二爷是很难允许的．老师：你怎么知道的？小明：是呀，你又不是关二爷，怎么知道他老人家很难允许？王刚：从概率的角度来考虑，因为抛掷一正一反两块竹板，面朝上的可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，每次“允”的概率为12，连允三次的概率为12×12×12＝18，不连允的概率为78，而不连允就算不允，因此，我说关二爷很难允许．老师：有理．该怎么样做才能让人们实现这个愿望？小明：天意如此，哪能还有什么办法？思思：有．可以动员长辈向关二爷这样说：如果不可以放个北门，请关二爷连允三次．小明：那些反对者允许这样说吗？王刚：我认为他们会允许的．因为他们都坚信关二爷会显灵的，如果真的不能放的话，连允三十次都有可能，何况三次．小明：可这样做就不可能连允三次吗？王刚：可能性是存在的，但可能的概率只有18，而不可能的概率有78．老师：思思的建议非常巧妙，小明的疑虑不无道理，王刚的分析十分精辟，我代表村民们向你们科学的建议表示感谢，谢谢大家！频率估计概率的方法来求概率一、选择题1.（•南充，12，3分）某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，估计该厂这一万件产品中不合格品约为件．考点：用样本估计总体。
3.2.1用频率估计概率(教案)
3.增强学生的应用意识：将所学的频率估计概率知识应用于解决实际问题，让学生在实际情境中感受数学的魅力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作交流能力：在小组合作探究过程中，鼓励学生相互交流、讨论，共同分析问题，培养团队协作能力和有效沟通技巧。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调频率的定义和频率估计概率的方法这两个重点。对于难点部分，如频率的稳定性，我会通过抛硬币实验的例子和数据分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与用频率估计概率相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如抛硬币、掷骰子等，演示频率估计概率的基本原理。
具体内容包括：
a.通过实验或调查，收集某一事件发生的次数和总次数。
b.计算事件发生的频率。
c.分析频率的稳定性和可信度，进而估计事件的概率。
本节课旨在让学生在实际操作中体会概率与频率的关系，培养学生运用频率估计概率的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的数据观念：通过本节课的学习，使学生能够理解频率的概念，认识到频率与概率之间的关系，学会利用频率估计概率，从而增强对数据的敏感性和分析能力。
其次，在新课讲授环节，我尝试通过理论介绍和案例分析相结合的方式，让学生更好地理解频率估计概率的方法。从课堂反馈来看，这种方法效果还不错。但在讲解难点部分，如频率的稳定性，我觉得自己还可以用更生动形象的方式来进行讲解，以便让学生更容易理解。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现整体较好，但我发现部分学生在操作过程中仍然存在一些误区。为此，我打算在今后的教学中，加强对学生实验操作的指导，让他们在实践中更好地掌握频率估计概率的方法。
北师大版九年级数学上册《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT
计，并把获得的数据记录在表中. 请你帮忙完成此表.
柑橘总质量 n/kg
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质
量 m/kg
5.5 10.5 15.15 19.42 24.25 30.92 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的 频率( 结果 保册小数点 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 后三位 )
北师大版九年级上册数学同步课件
3.2 用频率估计概率
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
用频率估计概率 学习目标
1. 理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律； 2. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率； 3. 通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．
用频率估计概率 新课引入
试验次数越多，频率越趋向于概率.
温馨提示 用试验的频率估计概率时，必须保证每次试验都是在相同的条件下 进行的，且试验次数要足够多.
用频率估计概率 频率与概率的区别
频率
试验值 与试验次数的变化有关
概率
理论值 与试验次数的变化无关
温馨提示 注意：最后答案要写“估计”，或“大约”.
用频率估计概率
3. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25 条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的重量.
抛掷一枚硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 出现“正面朝上”和“反面朝上”2 种情况
北师大版初三数学上册3.2用频率估计概率教学设计
3.2用频率估计概率教学设计平中数学组（一）教学目标：1、经历试验、统计等活动，能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
2、能理解频率与概率的区别与联系。
3、能用频率与概率的关系解决日常生活中的一些相关问题。
4、通过贴近学生生活的有趣的生日问题，实验统计，提高学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度。
（二）教学重难点：1、重点：（1）用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率。
（2）能用频率与概率的关系解决日常生活中的一些相关问题。
2、难点：试验方案的设计。
（三）目标导入：一（复习回顾）概率:事件发生的可能性,也称为事件发生的概率.频数:在实验中,每个对象出现的次数称为频数。
频率:所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率。
频率=总数频数 A 可能发生的情况可能发生的总情况二（新课导入）生日相同的概率（提问）（1）你认为在多少个同学中，才一定会有2个同学的生日相同呢?400位同学中一定会有2个同学的生日相同吗? 300位呢 ? 你是怎样想的？（2）有人说：“50个同学中，就很有可能有2个同学生日相同。
”你同意这种说法吗？请与同伴交流。
（议一议）请就问题（2）请设计试验方案，并与同伴交流。
（做一做）（1）每个同学课外调查10个人的生日。
（2）从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中生日相同的2个人的次数，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中：（3）根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率。
（提问）实际上这个问题的理论上概率大概为97％，同学们，你们的估计值和实际概率接近吗？（小结）通过这个试验，谈谈我们的感想吧。
1、这个问题“50个人中有2个人的生日相同”是很有可能发生的。
2、当试验次数越多时，频率越稳定于概率。
3、对于一些比较复杂的或不能计算出概率的的事件，我们可以通过实验来求出频率，然后用频率来估计概率。
北师大九年级上册 3.2 用频率估计概率 教学设计
3.2用频率估计概率教学设计任意抛一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率是0.5，许多科学家曾做过成千上万次的实验，其中部分结果如下表：观察上表，可以发现实验次数越多，频率越接近概率．(m>n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”.300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗？不一定．但有2个同学的生日相同的可能性较大．“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同.”，你同意这种说法吗?同意。
【议一议】为了证明上述的说法是否正确，我们可以通过大量重复试验，用“50个人中有2个人的生日相同”的频率来估计这一事件的概率.请你设计试验方案.(1)每个同学课外调查10个人的生日.(2)从全班的调查结果中随机选择50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同.每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在表格中.“50人中有2人生日相同”的频率=“50人中有2人生日相同”的频数总调查次数(3)根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人的生日相同”的概率.“n个人中至少有2人相同”的概率统计如下：【归纳】(1)用频率估计概率：当试验次数足够大时，随机事件出现的频率稳定于相应的理论概率附近；(2)用频率估计概率的条件：试验的次数必须足够大．(3)计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事稳定于某个常数p，那么估计事件A 件A发生的频率mn发生的概率P(A)=p.【想一想】(1)一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少?(2)一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球与白球的比例吗？(1)每次随机摸出一个球并记录颜色，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.(2)每次随机摸出6个球，并记录其中红球与白球的比例，然后将球放回，搅匀，当次数越多，试验频率将越稳定于理论概率.【思考】频率与概率有什么区别与联系？所谓频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变，而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关..例、六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他都相同)的不透明的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具．已知参加这种游戏活动的人数为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个．(1)求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；(2)请你估计袋中白球有多少个．方法指导：(1)由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得；(2)由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解．解：(1)∵1000040000＝14，∴参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为14 (2)∵试验次数很大时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是14.设袋中白球有x 个．1．不透明的袋子里放有4个黑球和若干个白球(这些球除颜色外都相同)，老师将全班学生分成10个小组，进行摸球试验，经过大量重复摸球试验，统计显示，从中摸出白球的频率稳定在0.2附近，则袋子中白球的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4 2．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是 ( ) A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．任意写一个整数，它能被2整除的概率C．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1个球，取到红球的概率3.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率是_____(精确到0.1)．4.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；(2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率P（白球）= .5.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重 2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.。
3.2用频率估计概率(教案)
举例：通过抛硬币、掷骰子等实验，让学生观察不同试验次数下频率的变化，引导学生发现频率的稳定性。
（2）频率与概率之间的转化：让学生理解频率与概率之间的联系和区别，如何将频率转化为概率，这是学生掌握的难点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“频率估计概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的数据分析观念，使学生能够通过实验观察数据，发现频率的稳定性，从而理解频率与概率之间的关系。
2.提高学生的数学抽象能力，让学生从具体的实验现象中抽象出频率估计概率的一般方法，并应用于实际问题。
3.增强学生的逻辑推理能力，引导学生通过实验、观察、分析等过程，合理解释频率估计概率的合理性。
1.回顾概率的定义，理解概率与频率的区别与联系。
2.通过实验，观察不同试验次数下事件发生频率的变化，探讨频率的稳定性。
3.学习如何利用频率估计概率，并通过实例进行分析。
4.练习运用频率估计概率的方法，解决简单的实际问题。
本节课的重点是让学生掌握利用频率估计概率的方法，难点是如何引导学生通过实验发现频率的稳定性，从而理解频率与概率之间的关系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师大版数学九年级上册3.2用频率估计概率说课稿
3.情境教学：将学生置于生活情境中，使他们在具体情境中感受和运用知识。这种方法基于情境认知理论，认为学习应该与实际情境相结合，以提高学生的学习兴趣和动机。
（二）媒体资源
这些媒体资源在教学中的作用主要体现在：提供丰富的教学情境，激发学生的学习兴趣；直观展示实验过程，帮助学生理解抽象概念；提高课堂互动性，促进学生的参与和合作。
（三）互动方式
为了促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：提问、解答、指导等环节，教师与学生进行互动，关注学生的疑问和需求，及时给予指导和鼓励。
本节课的主要知识点包括：频率与概率的关系、如何利用频率估计概率、影响频率的因素等。通过这些知识点的学习，让学生了解在现实世界中，许多事件的概率是难以直接计算的，因此可以通过大量的实验和观察来估计事件的概率。
（二）教学目标
知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生掌握频率与概率的关系，能够运用频率估计概率，了解影响频率的因素。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化布局，分为三个主要部分：知识点标题、核心概念、实例与应用。板书的风格将注重清晰、简洁和逻辑性。
1.知识点标题：位于板书左侧，突出本节课的重点，如“频率与概率的关系”、“频率估计概率的方法”等。
2.核心概念：位于板书中间，用关键词和符号清晰地表达频率、概率、实验等概念。
北师大版数学九年级上册3.2用频率估计概率说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版数学九年级上册第3章《概率》中的3.2节《用频率估计概率》。这一节内容是在学生学习了随机事件、概率、统计等基本概念的基础上，进一步学习如何通过实验和观察来估计事件的概率。在整个课程体系中，它起到了承上启下的作用，一方面巩固了前面所学的概率基本知识，另一方面为后面学习概率的应用打下基础。
北师版九年级数学上册作业课件(BS) 第三章 概率的进一步认识 用频率估计概率
A.5 B．10 C．12 D．15
6．(2020·新疆)表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为__0_._9__．(精确到0.1)
7．如图，这是一幅长为3 m，宽为2 m的长方形世界杯宣传画，为测量 宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内 随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量 重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近， 由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_2_._4__m2.
2．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方
法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，
其中试验相对科学的是( D )
A.甲组
B．乙组
C．丙组
D．丁组
3．某人在做掷硬币试验时，投掷 m 次，正面朝上有 n 次(即正面朝上的 频率是 P＝mn )，则下列说法中正确的是( D )
朝上的点数 出现的次数
1234 5
6
7 9 6 8 20 10
解：(1)“3 点朝上”出现的频率是660 ＝110 ，“5 点朝上”出现的频率 是2600 ＝13
(2)小颖的说法是错误的．这是因为“5 点朝上”的频率最大并不能说明 “5 点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当试验的次数足够多时，该事 件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近．小红的判断是错误的，因为 事件发生具有随机性，故“6 点朝上”的次数不一定是 100 次
8．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正 方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
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知 识 讲 解2
先考虑一个比较简单的问题: 一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将球倒 出来数,那么你能估计出其中的白球数吗?
小明是这样做的: 从口袋中随机摸出一球，记下其 颜色，再把它放回口袋中.不断
重复上述过程.我共摸了200次,
其中有57次摸到黑球,因此我估 计口袋中大约有20个白球.
小亮是这样做的:
利用抽样调查的方法,从口袋中一 次随机摸出10个球，求出其中黑球 数与10的比值,再把它放回口袋中. 不断重复上述过程.我总共摸了20
次,黑球数与10的比值的平均数为
0.25,因此我估计口袋中大约有24 个白球.
说说小明这样做的道理吗? 假设口袋中有x个白球,通过多次抽样调查,求出样本中
20 2 x 40
解得：x=400. 所以该地区大约有黄羊400只.
随堂练 习
1. （ 2010·郴州中考）小颖妈妈经营的玩具店某次进了 一箱黑白两种颜色的塑料球 3000 个，为了估计两种颜色 的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸 出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述 过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可 以估计黑球的个数约是 ．
要知道一个鱼缸有多少条鱼? 只要数一数就可以了.
要估计一个鱼塘里有多 少条鱼? 该怎么办呢?
如果将鱼看作形状大小相同的小球，池塘看作一口袋， 则上述问题可以转化怎样的问题？
3.2用频率估计概率
回顾与思考 2
概率
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生的概率 (probability).
必然事件发生的概率为1(或100%),记作P(必然事件)=1; 不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0; 不确定事件发生的概率介于0~1之间, 即 0<P(不确定事件)<1. 如果A为不确定事件,那么0<P(A)<1. 请你分别举出例子予以说明.
相比较而言,小亮的方法具有现实意义.当然,当总数 较小时,用小亮的方法估计,其精确度可能较差,但对于许
多实际问题(其总数往往较大),这种精确度是允许的,而
且这种方法方便可行. 应用的是：样本估计总体: 样本平均概率≈理论概率
跟踪训练
1.如果口袋中只有若干个白球,没有其它颜色的球,而且 不允许将球倒出,那么你如何估计出其中的白球数呢? 方法1: 向口袋中另放几个黑球; 方法2: 从口袋中抽出几个球并把它们染成黑色或做上标 记．
驶向胜利 的彼岸
投掷硬币的试ห้องสมุดไป่ตู้： 1、每人投20次，计算每个人投出正面的 频率，
2、每个人投50次，计算每个人投出正 面的频率
历史上有些学者做过成千上万次的投 掷硬币的试验。结果如下表：
抛硬币试验
实验者 棣莫佛 蒲 丰 出现正面的 试验次数(n) 次数(m) 2048 4040 1061 2048 出现正面的 频率(m/n) 0.5181 0.5069
100 46 x 100 100
解得x=2000.
所以估计鱼塘中鱼的数量大约有2000条.
【例2】一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以 下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球， 记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程， 试验中共摸了200次，其中50次摸到红球.求口袋中有多少 个白球？
【答案】2100个.
2.（2010·青岛中考）一个口袋中装有10个红球和若干 个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋 中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋 中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放 回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与 10 的比值的平均数为 0.4 ．根据上述数据，估计口袋中
事件的概率：
一般地，在n次重复进行的试验中，事 件A发生的频率 ，当n很大时，总在某 个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅 度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记为P(A). 由定义可得概率P(A)满足： P ( A)
m n
（1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验； （2）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小； （3）必然事件的概率为1，不可能事件的 概率为0．因此 0 P A 1 ． （4）概率是频率的稳定值，而频率是概率 的近似值； （5）只有当频率在某个常数附近摆动时， 这个常数才叫做事件 的概率； A
你能说说小明这样做的道理吗? 假设口袋中有x个白球,通过多次试验,我们可以估计出
从口袋中随机摸出一球,它为黑球的概率；另一方面,
这个概率又应等于
8 ,据此可估计出白球数x. 8 x 57 8 解析:设假设口袋中有x个白球，得 200 8 x
解得: x ≈20
答:口袋中的白球大约有20个．
用频率估计概率：实验频率 ≈ 理论概率．
大约有
【答案】15.
个黄球．
生活中的数学
• 50个人中有2人生日相同的理论概率计算公式为:
A365 P 1 0.97. 50 365
50
6个人中有2人生肖相同的理论概率计算公式为:
利用计算器进行模拟试验.
A12 P 1 0.78. 6 12
6
知识给人重量，成就给人光彩，大多
bm 答:鱼塘有鱼约为: a 条鱼．
【例1】樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从 鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完 全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，
放回混合后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记
的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少？
解析：设鱼塘中鱼的数量有x条，依题意得，
2.现在你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数吗？请 写出你的方案.
方案: 可以先捞出m条鱼，将它们作上标记，然后放回池
塘经过一段时间后，再从中随机捞出b条鱼，其中有标记 的鱼有a条, 并以
a 比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的 b
比例，据此估计鱼塘里鱼的数量． 解析：设鱼塘里有x条鱼,则
a b
=
m x
费
勒
10000
12000 24000
4979
6019 12012
0.4979
0.5016 0.5005
皮尔逊 皮尔逊
人们经过大量试验和实际经验的积累逐 渐认识到：在多次重复试验中，同一事件 发生的频率在某一数值附近摆动，而且随 着试验次数的增加，一般摆动幅度越小， 而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一 定的稳定性，频率的稳定性揭示出随机事 件发生的可能性有一定的大小。
由定义可知:
例1. 为了确定某类种子的发芽率，从一大 批种子中抽出若干批作发芽试验，其结果 如下：
种子粒数 发芽粒数 发芽率 25 24 0.96 70 60 130 116 700 639 2000 1806 3000 2713
0.857 0.892 0.913 0.903 0.904
从以上的数据可以看出，这类种子的发 芽率约为0.9.
数人只是看到了光彩，而不去称重量。
黑球与总球数比值的“平均水平”,这个“平均水平”
就接近于
8 8 x
,据此,我们可以估计出白球数x的值.
8 x
解析:设 假设口袋中有x个白球，得 0.25 8
解得x≈24；答:口袋中的白球大约有24个．
用样本估计总体:
样本平均概率 ≈理论概率
从理论上讲,如果试验总次数足够多,那么小明的方 法应当是比较准确的,但实践中人们不能无限度地重复实 验，故其实际意义不大． 应用的是：实验频率 ≈ 理论概率．
解析：设口袋中有白球x个，则有
10 50 10 x 200
解得：x=30. 所以口袋中大约有白球30个.
跟踪训练
例2、某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊 给它们分别作上记号然后放还，带有标记的黄羊完全混
合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中有2只有
标记.从而估计这个地区有黄羊有多少只？ 解析：设该地区有黄羊x只，则有