14.3 等腰三角形
“等腰三角形性质”探究性学习的教学设计与反思
“等腰三角形性质”探究性学习的教学设计与反思福建省永泰第二十一中学蔡品柱(350700)学生学习数学的心理水平有三种：其一是记忆水平，对应的学习方式是记忆性学习方式；其二是理解水平，对应的学习方式是理解性学习方式；其三是思维水平，对应的学习方式是探究性学习方式．课标课程关注的是三维目标，它要求学生的学习水平达到思维水平．因此，课标课程的学习方式是探究性学习方式，是通过学生主动的活动，包括观察、描述、操作、猜想、试验、收集整理、思考、推理、交流和应用等等，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”，如何实现数学的“再创造”，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习．本文以等腰三角形性质为载体，研究探究性教学的基本操作样式．1教学设计的背景与思路等腰三角形性质是义务教育课程标准试验教科书《数学》(人教版)八年级上册第14章第三部分第一课时的内容．等腰三角形的性质是学生进一步学习的基础，也是本章中一个重要的知识点．这节课是在学生学习了轴对称概念、轴对称性质、轴对称变换的基础上提出来的．等腰三角形的性质是研究等边三角形，也是证明线段相等和角相等的重要依据．教科书呈现的顺序是：动手操作得出概念→观察实验得出性质→推理证明论证性质→应用新知识进行巩固．为此，根据课标课程的要求和学生现有的实际情况，笔者把这节课的教学目标拟定为:⑴通过现实生活中的例子，经历“数学化”的过程，体验数学来源于现实又作用于现实；⑵通过观察等腰三角形的对称性，提高学生观察、分析、归纳问题的能力；发展形象思维；⑶通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高学生运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识；⑷引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．为实现上述综合化、多元化的教学目标，笔者把这节课的教学策略拟定为：利用生活中的游戏活动(折纸、剪纸)作为教学资源来创设情境，让学生在情境中活动，在活动中体验，在体验中领悟，使学生的思维始终处于思考中．2教学设计的过程与分析2.1创设情境，提出问题问题：⑴把一张长方形的纸片对折，并剪下阴影部分(如教科书图14.3-1)再把它展开，得到一个什么图形？⑵上述过程中得到的△ABC有什么特点？⑶除了剪纸的方法，还可以怎样作(画)出一个等腰三角形？设计意图是给学生提供参与数学活动的时间与空间，让学生体验数学与现实生活有密切联系，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与程度，同时为学生观察等腰三角形性质创设探索的情境．2.2观察图形，归纳性质问题：⑴上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？⑵把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填写表格重合的线段A B A C=BD CD=AD AD=重合的线段B C∠=∠BAD CAD∠=∠(180)A DC ADBA DB A DC∠=∠∠+∠=°ABCDAD→为中线ABCD→底角线A D→平分CA B∠A D→是高26福建中学数学2008年第4期⑶你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？说说你的猜想．设计意图是在活动中，教师要重点关注学生能否从轴对称图形的概念出发折线判断，关注学生能否用规范清晰的数学语言说出自己的猜想；关注学生在活动中的参与意识．通过学生观察，教师的引导，归纳出等腰三角形的两条性质，形成感性认识，重视知识形成过程，培养学生自主探究的学习方法．2.3数学推理，证明性质问题：⑴性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么？⑵用数学符号如何表达条件和结论?⑶如何证明?⑷受性质1的证明启发，你能证明性质2(等腰三角形顶角平分线、底边上的高相互重合)？要引导学生利用全等三角形的性质，根据对称性寻找辅助线的添加方法．设计意图是培养学生的语言转换能力，增强理性认识，体验性质的正确性，提高思维严密性．2.4应用新知，学以致用问题：⑴如果等腰三角形的顶角是36°，那么它的底角的度数是___________;⑵在△A BC 中，AB AC =,90BAC ∠=°,A D 是BC 边上的高，则BA D ∠=____，B D =____=____;⑶如图,在△ABC 中，A B AC =,点D 在A C 上，且BD BC ==A D ,求△ABC 各角的度数.设计意图是培养学生正确应用所学的知识的应用能力，增强应用意识，参与意识，巩固所学的等腰三角形的性质．2.5变式训练，熟练技能变式练习：⑴等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角是________.⑵等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是_________.⑶如图,在△B 中,B D D ==,B D ∠=26°,求B ∠和C ∠的度数设计意图:先让学生思考，练习，再进行讨论交流，同时教师参与讨论，强调等腰三角形的顶角可以是锐角，也可以是钝角，但底角一定是锐角，关注学生是否注意到可能存在的多种情况．进一步巩固所学的知识，了解学生的学习效果，同时培养学生分类讨论的数学思想．2.6提炼概括，纳入系统本课从折纸、剪纸等生活实例出发，探究了等腰三角形性质：⑴本课的全过程可以概括为：动手操作→感性认识→逻辑证明→性质的应用⑵本课所用的主要思想方法：数形结合思想、转化思想(性质证明转化为三角形全等)、分类思想；归纳方法和化归思想等．⑶在学习过程中可以体会到：新旧知识有着内在联系，数与形有密切的关系，数学与现实生活密切联系，学习需要学生仔细观察，大胆猜想，自主探究；文字语言与图形可以相互转化．设计意图是使学生对本课所学的知识结构有一个清晰的认识，对本课所学的思想方法有一个明确的了解，对本课的学习过程，学习方法有一个新的感悟．2.7任务后延，自主探究⑴课外作业：习题14.3第1、4、6⑵讨论探究：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？设计意图是使学生进一步巩固所学的等腰三角形的性质，培养实践能力和解决问题的能力．3教学设计的反思与感悟数学教学应当是一个“以知识的教学为基点，以能力培养为核心，以个性教育为附带”的三维结构，只有这样，才能实现“知识与技能、过程与方法、情感与价值”的均衡发展．这里关键是把数学教学恢复为当初数学家发明创新的思考过程．其中：设计一个好的问题情境是恢复思考的条件；让给学生自主探索的时间与空间是恢复思考的前提；设置条理性问题，实施有效点拨，运用激励性评价是恢A BCDABCD2008年第4期福建中学数学27A C A A C A复思考的根本保证．在笔者学生时代，笔者的老师上这节课以及笔者早期上这节课，呈现的方式是：⑴讲授等腰三角形的有关概念；⑵给出等腰三角形的性质；⑶证明性质；⑷应用性质．它的概念是采用教师教授为主，要求学生记住有关的名称，如底角、顶角、腰、底边等，它的性质，则在教师的分析引导下一个接一个地被发现，其间还要求学生及时地加以严格的证明，这种方法虽简单、快捷，可以省出时间用于练习，但学生没有体验知识的形成过程，主要经历的是“接受、模仿与记忆”的学习过程．对学生整体把握等腰三角形的本质是不利的，并且更多的是使学生感到了数学的枯燥和乏味，显然，这种记忆性学习方式，或者粗浅的思维水平，无法实现“三维”目标．本教学设计中，改变了过去以全等三角形为切入点的做法，而是通过学生动手操作，观察分析，猜想证明，完成了从感性到理性的知识发生发展的认知过程，最后用所学知识解决问题突出了应用意识．动手操作有利于培养学生的观察和探究．动手操作对培养学生的观察力是一条很好的途径．我们都有这样的经历：听过的容易忘记，亲手做过的就印象深刻．在本节课的活动中学生用手、口、眼、耳、脑多种感官共同参与学习活动，学习过程真正变成学生亲身实践的过程，学生经过观察和探究思考发现了等腰三角形的性质，动手操作起到了很好的效果．同时，学生在剪纸，折纸活动中发现等腰三角形两腰相等，两底角相等的对称美；在思考提炼活动中体验到等腰三角形“等边对等角”的辨证统一美；在深入探究活动中感受等腰三角形“三线合一”的和谐美，增加了对学数学的兴趣．在教学过程中，强调了学生积极主动的学习态度，关注了学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．而且整个教学过程渗透了蕴涵在知识之中的思想方法和学习数学的基本策略，能使学生在探索等腰三角形性质的同时，在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展．我觉得这是关注过程，并且是数学过程的教学．本课在上完之后，受到了很好的效果．因此，这个呈现方式是行之有效的，也符合课标课程理念．教与学的方式是多种多样的，只有这样，课堂教学才会生机活泼．通过这节探究性学习的构思和实践，笔者的最大感触是：⑴在探究性学习设计中必须明确学生研究这节课的内容的形式与探究的类型，这样才能有针对性地创设情境．⑵要给学生提供探究与交流的时间和空间，在探究的过程中形成自己对数学知识的理解，在与他人交流的过程中逐渐完善自己的知识结构．⑶探究性学习主要体现数学知识的形成过程和运用过程，因此探究性学习的操作模式可以是：创设情境→探究(观察)→研究(思维)→应用．殊途同归活用公式——谈求解n a 与n S 数列问题的思维策略山东省无棣县第一中学李长虹(251900)数列是中学数学的重要内容，是特殊的函数，又与高等数学有着密切的联系．因此，数列成为近几年高考命题的一大热点，在高考中占有相当大的比重，在2007年高考中，各套试题分别以选择题、填空题、解答题等形式考查了数列问题，其中仅涉及与S 关系的试题就有个(解答题就有个)．而此类问题的求解均可利用公式1(2)n nn a S S n =≥．公式1(2)n nn a S S n =≥揭示了数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，在涉及到n a 与n S 的问题中，起到了“桥梁”的作用．在历年备考及高考中学生对公式的应用经常出现以下错误：①分28福建中学数学2008年第4期n a n 128。
等腰三角形(第一课时)的教学设计
学生讨论问题（2） 时，教师要引导学生依 据自己发现的结论进行 大胆猜想，重点关注学 生能否从轴对称图形的 概念出发折纸判断，关 注学生能否用规范清晰 的数学语言说出自己的 猜想，关注学生在活动 中的参与意识．
通过学生观察， 教 师的引导， 归纳出等腰 三角形的两条性质， 形 成感性认识， 重视知识 形成过程， 培养学生自 主探究的学习方法．
激发学生思考， 设 置悬念， 激活学习所必 需的先前经验， 唤起学 生的学习需要， 激发学 生的学习兴趣， 为下面 教学活动拉开序幕。
问题 教师发出指令引导 学生操作。学生动手操 14.3-1)，再把它展开，得到一个什 作，观察。 么图形？ 并剪下阴影部分(如教科书图 给学生提供参与 学生讨论问题（2） 数学活动的时间与空 2、上述过程中得到的△ABC 时，教师通过画图介绍 间， 提高学生学习数学 有什么特点？ 腰、底、顶角、底角。 的兴趣和参与程度， 同 时为学生观察等腰三 角形性质创设探索的 学生回答问题（3） 情境。 3、除了以上方法，还可以怎样 时，教师让学生各抒己 剪出一个等腰三角形？ 见的基础上介绍自己的 想法（例如把长方形的 长与宽折叠，沿折痕剪 开） 。 1、把一张长方形的纸片对折，
3、相互交流，你和别人的结论 是否一致？你能猜猜等腰三角形 有什么性质吗？说说你的猜想． 问题 教师引导学生把性 边对等角）画出相应的图形，并用 质 1 转换成数学符号语 有助于规范学生 符号语言写出已知和求证吗？ 言. 对性质的符号表述， 使 学生能更好的把握重 点， 更轻易地把性质运 2、证明两个角相等有什么方 教 师 启 发 学 生 利 用 用于解题过程中。 同时 法？如何构造全等三角形？ 等腰三角形的对称性添 为下面的性质运用做 加辅助线，并且鼓励学 好准备。 3、类比性质 1 的证明过程，你 生使用不同的辅助线完 成证明. 可以证明性质 2 吗？ 1、 你可以根据猜想的性质 1 等 （
等腰三角形性质说课搞
（一）学情分析
说 教 学 目 标
学生
认知特点
好奇爱问 求知欲强 想象力丰富
已初步具有对数学问题进行合作探究的能力
（一）学情分析
说 教 学 目 标
（二）三维目标 知识与技能目标
A
掌握 应用
实际问题
学生
B
性质？ 性质？ 计算
C
知识与技能目标
说 教 学 目 标
过程与方法目标
培养学生多角度思考问题的习 惯，提高学生分析问题和解决问题 的能力; 的能力;使学生进一步了解发现真 理的方法（探究－猜想－归纳－ 理的方法（探究－猜想－归纳－论 证）。
（二）合作探究，感受特征 合作探究， 等腰三角形
说 教 学 流 程
１、是一个轴对称图形；对称轴只有 是一个轴对称图形； 一条， 底边上的中线（ 一条，是底边上的中线（或顶角的平 分线或底边上的高线） 分线或底边上的高线）所在的直线或 底边的中垂线. 底边的中垂线 ２、两个底角相等。 两个底角相等。 ∠B＝∠C ＝
请拿出准备的长方形纸片， 请拿出准备的长方形纸片， 长方形纸片 试一试，通过折叠一次，剪一次， 试一试，通过折叠一次，剪一次， 是否可以剪出一个等腰三角形 等腰三角形呢 是否可以剪出一个等腰三角形呢？ 小组合作，看有何现象？） （小组合作，看有何现象？）
观察你所得到等腰三角 形，你发现等腰三角形具有 哪些特征？ 哪些特征？
回顾小结， （四）回顾小结，整体感知
说 教 学 流 程
节课你有哪些收获?(知识 方法、 知识、 本节课你有哪些收获 知识、方法、 技能、情感价值观等方面) 技能、情感价值观等方面 学生自我评价 师生互评
作业设计， （五）作业设计，延续拓展
说 教 学 流 程
人教版初中数学目录
人教版初中数学目录初中数学目录七年级（上册）第一章有理数1.1正数和负数1.2有理数1.3有理数的加减法1.4有理数的乘除法1.5有理数的乘方第二章整式的加减2.1整式2.2整式的加减第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.2解一元一次方程（一）3.3解一元一次方程（二）3.4实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1多姿多彩的图形4.2直线、射线、线段4.3角4.4课题研究设计制作长方体形状的包装纸盒七年级（下册）第五章相交线与平行线5.1相交线5.2平行线及其判定5.3平行线的性质5.4平移第六章平面直角坐标系6.1平面直角坐标系6.2坐标办法的简朴使用第七章三角形7.1与三角形有关的线段7.2与三角形有关的角7.3多边形及其内角和7.4课题研究—镶嵌第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元——二元一次方程组的解法8.3实际问题与二元一次方程组*8.4三元一次方程组解法举例第九章不等式与不等式组研究必备欢迎下载9.1不等式9.2实际题目与一元一次不等式9.3一元一次不等式第十章数据的收集、整理与描述10.1统计调查10.2直方图10.3课题进修从数据谈节水八年级（上册）第十一章一次函数11.1变量与函数11.2一次函数11.3用函数概念看方程(组)与不等式第十二章数据的描绘12.1几种常见的统计图表12.2用图表描绘数据12.3课题研究从数据谈节水第十三章全等三角形13.1全等三角形13.2三角形全等的前提13.3角的平分线的性子第十四章轴对称14.1轴对称14.2轴对称变换14.3等腰三角形第十五章整式15.1整式的加减15.2整式的乘法15.3乘法公式15.4整式的除法15.5因式分解八年级（下册）第十六章分式16.1分式16.2分式的运算16.3分式方程第十七章反比例函数17.1反比例函数17.2实际题目与反比例函数第十八章勾股定理18.1勾股定理18.2勾股定理的逆定理第十九章四边形研究必备欢迎下载19.1平行四边形19.2特殊的平行四边形19.3梯形19.4课题进修重心第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的波动20.3课题研究体质健康测试中的数据分析九年级（上册）第二十一章二次根式21.1二次根式21.2二次根式的乘除21.3二次根式的加减第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程22.2将次——解一元二次方程22.3实际题目与一元二次方程第二十三章扭转23.1图形的扭转23.2中心对称23.3课题研究图案设计第二十四章园24.1圆24.2点、直线、圆和圆的位置干系24.3正多边形和圆24.4弧长和扇形面积第二十五章概率初步25.1随机事件与概率25.2用罗列法求几率25.3用频次估量几率25.4课题研究键盘上字母的排列顺序九年级（下册）第二十六章二次函数26.1二次函数26.2用函数概念看一元二次方程26.3实际题目与二次函数第二十七章类似27.1图形的相似27.2类似三角形27.3位似第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数研究必备欢迎下载28.2解直角三角形第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图29.2三视图。
人教版初中数学教材目录
人教版初中数学教材目录（全）七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据库的收集整理与描述（9）八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4部分中英文词汇索引--------------七------------年---------- 级-------------下-------------- 册----------第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章实数10．1平方根10．2立方根10．3实数数学活动小结复习题10部分中英文词汇索引～～～～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第十一章一次函数11．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象11．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题11第十二章数据的描述12．1几种常见的统计图表12．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁12．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题12第十三章全等三角形13．1全等三角形13．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明13．3角的平分线的性质数学活动小结复习题13第十四章轴对称14．1轴对称14．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质14．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题14第十五章整式15．1整式的加减15．2整式的乘法15．3乘法公式阅读与思考杨辉三角15．4整式的除法15．5因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15～～～～～～八～～～年～～～～级～～～下～～～～册～～～～～～第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．1特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．1梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25～～～～～九～～～～年～～～～级～～～～～下～～～～册～～～～～～～第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29～～～～～～～～全～～～部～～～结～～～束～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～。
人教版初中数学目录(新课标)
初中人教版数学目录作者：沙纳盛七年级上--------------------------------第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章一元一次方程2.1 从算式到方程2.2 从古老的代数说起──一元一次方程的讨论（一）2.3 从“买布问题”说起──一元一次方程的讨论（二）2.4 再探实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题2第三章图形认识初步3.1 多姿多彩的图形3.2 直线、射线、线段3.3 角的度量3.4 角的比较与运算数学活动小结复习题3第四章数据的收集与整理4.1 喜爱哪种动物的同学最多──全面调查举例4.2 调查中小学生的视力情况──抽样调查举例4.3 课题学习调查“你怎样处理废电池？”数学活动小结复习题4 七年级下---------------------------------第五章相交线与平行线5.1 相交线5.2 平行线5.3 平行线的性质5.4 平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系6.2 坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7.1 与三角形有关的线段7.2 与三角形有关的角7.3 多边形及其内角和7.4 课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元8.3 再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9.1 不等式9.2 实际问题与一元一次不等式9.3 一元一次不等式组9.4 课题学习利用不等关系分析比赛数学活动小结复习题9第十章实数10.1 平方根10.2 立方根10.3 实数数学活动小结复习题10八年级上---------------------------------第十一章一次函数11.1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象11.2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11.3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题11第十二章数据的描述12.1几种常见的统计图象12.2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁12.3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题12第十三章全等三角形13.1全等三角形13.2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明13.3角的平分线的性质数学活动小结复习题13第十四章轴对称14.1轴对称14.2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质14.3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题14第十五章整式15.1整式的加减15.2整式的乘法15.3乘法公式阅读与思考杨辉三角15.4整式的除法15.5因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15八年级下--------------------------------第十六章分式16.1分式16.2分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16.3分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17.1反比例函数信息技术应用探索反比例函数的性质17.2实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18.1勾股定理阅读与思考勾股定理的证明18.2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19.1平行四边形阅读与思考平行四边形法则19.2特殊的平行四边形实验与探索巧拼正方形19.3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习重心…数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的活动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20.3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20九年级上--------------------------------第二十一章二次根式21.1二次根式21.2二次根式的乘除21.3次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程22.2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22.3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23.1图形的旋转23.2中心对称信息技术应用探索旋转性质23.3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24.1圆24.2与圆有关的位置关系24.3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24.4弧长和扇形面积实验与探究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25.1概率25.2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25.3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25.4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25九年级下--------------------------------第二十六章二次函数26.1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26.2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26.3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二七章相似27.1图形的相似27.2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27.3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数表28.2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图阅读与思考视图的产生与应用29.3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29。
人教版初中数学目录及概要总结
七年级上册第一章有理数1．1 正数和负数1．2 有理数1．3 有理数的加减法1．4 有理数的乘除法1．5 有理数的乘方本章我们研究了有理数的加、减、乘除和乘方运算。
实际上与负数有关的运算，我们都借助绝对值，将他们转化为正数之间的运算。
数轴不仅能直观表示数，而且还能帮助我们理解数的运算。
在运算的过程中，数形结合、转化是很重要的思想方法。
第二章整式的加减2．1 整式2．2 整式的加减本章学习了整式的有关概念与整式的加减运算。
由具体的数到用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，给研究问题和计算带来方便。
第三章一元一次方程3．1 从算式到方程3．2 解一元一次方程（一）合并同类项与移项3．3 解一元一次方程（二）去括号与去分母3．4 实际问题与一元一次方程方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数。
解方程的过程是使方程形式逐步化简，最终得出未知数的值。
在此过程中，化归的思想方法起了重要作用，而等式的性质及运算律是化归的根据。
第四章图形认识初步4．1 多姿多彩的图形4．2 直线、射线、线段4．3 角4．4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒在研究几何图形的过程中，我们常常采用类比的方法。
例如类比线段的大小比较、线段中点研究角的大小比较、角平分线等。
类比的方法既引导我们发现问题，也帮助我们找到解决问题的途径。
七年级下册第五章相交线与平行线5．1 相交线5．2 平行线5．3 平行线的性质5．4 平移学习本章时要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形性质。
同时，还要注意体会通过“推理”获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条理的思考、表达的能力。
第六章平面直角坐标系6．1 平面直角坐标系6．2 坐标方法的简单应用本章中，通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数，绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用。
初中数学教材目录-人教版+北京版
附：人教版初中数学各章详细内容________________________________________________________________________ _______～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4部分中英文词汇索引～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章实数10．1平方根10．2立方根10．3实数数学活动小结复习题10部分中英文词汇索引～～～～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第十一章一次函数11．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象11．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题11第十二章数据的描述12．1几种常见的统计图表12．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁12．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题12第十三章全等三角形13．1全等三角形13．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明13．3角的平分线的性质数学活动小结复习题13第十四章轴对称14．1轴对称14．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质14．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动复习题14第十五章整式15．1整式的加减15．2整式的乘法15．3乘法公式阅读与思考杨辉三角15．4整式的除法15．5因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．1特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．1梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形数学活动复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29～～～～～～～～全～～～部～～～结～～～束～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～1.1 生活中的图形1.2 我们周围的“数”1.3 计算工具的发展1.4 科学计算器的使用第二章对数的认识的发展2.1 负数的引入2.2 用数轴上的点表示有理数2.3 相反数和绝对值2.4 有理数的加法2.5 有理数的减法2.6 有理数加减法的混合运算2.7 有理数的乘法2.8 有理数的除法2.9 有理数的乘方2.10 有理数的混合运算2.11 有效数字和科学记数法2.12 用计算器做有理数的混合运算第三章一元一次方程3.1 字母表示数3.2 同类项与合并同类项3.3 等式与方程3.4 等式的基本性质3.5 一元一次方程3.6 列方程解应用问题第四章简单的几何图形4.1 平面图形与立体图形4.2 某些立体图形的展开图4.3 从不同方向观察立体图形4.4 点、线、面、体4.5 直线4.6 射线4.7 线段4.8 角及其表示4.9 角的分类4.10 角的度量4.11 用科学计算器进行角的换算4.12 角平分线4.13 两条直线的位置关系4.14 相交线与平行线4.15 用计算机绘图七年级下册第五章一元一次不等式和一元一次不等式5.1 不等式5.2 不等式的基本性质5.3 不等式的解集5.4 一元一次不等式及其解法5.5 一元一次不等式组及其解法第六章二元一次方程组6.1 二元一次方程和它的解6.2 二元一次方程组和它的解6.3 用代入消元法解二元一次方程组6.4 用加减消元法解二元一次方程组6.5 二元一次方程组的应用第七章整式的运算7.1 整式的加减法7.2 幂的运算7.3 整式的乘法7.4 乘法公式7.5 整式的除法第八章观察、猜想与证明8.1 观察8.2 实验8.3 归纳8.4 类比8.5 猜想8.6 证明8.7 几种简单几何图形及其推理第九章因式分解9.1 因式分解9.2 提取公因式法9.3 运用公式法第十章数据的收集与表示10.1 总体与样本10.2 数据的收集与整理10.3 数据的表示10.4 用计算机绘制统计图10.5 平均数10.6 用科学计算器求平均数10.7 众数10.8 中位数八年级上册第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.3 分式的乘除法11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方.第十二章实数和二次根式12.1 平方根12.2 立方根12.3 用科学计算器开方12.4 无理数与实数12.5 二次根式及其性质12.6 二次根式的乘除法12.7 二次根式的加减法第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形的性质13.3 三角形中的主要线段13.4 全等三角形13.5 全等三角形的判定13.6 等腰三角形13.7 直角三角形13.8 基本作图13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理第十四章事件与可能性14.1 确定事件与不确定事件14.2 事件发生的可能性14.3 求简单事件发生的可能性八年级下册第十五章一次函数,15.1 函数15.2 函数的表示法15.3 函数图象的画法15.4 一次函数和它的解析式15.5 一次函数的图象15.6 一次函数的性质15.7 一次函数的应用第十六章四边形,16.1 多边形16.2 平行四边形和特殊的平行四边.16.3 平行四边形的性质与判定16.4 特殊的平行四边形的性质与判.16.5 三角形中位线定理16.6 中心对称图形16.7 梯形16.8 等腰梯形与直角梯形第十七章一元二次方程,17.1 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法17.3 列方程解应用问题第十八章方差与频数分布,18.1 极差、方差与标准差18.2 用计算器计算标准差和方差18.3 频数分布表与频数分布图九年级上册第十九章相似形,九年级下册第二十四章圆（下）,24.1直线和圆的位置关系24.2圆的切线24.3圆和圆的位置关系24.4正多边形的有关计算第二十五章图形的变换,25.1平移变换25.2旋转变换25.3轴对称变换25.4位似变换第二十六章投影、视图与展开图,26.1中心投影与平行投影26.2简单几何体的三视图26.3简单几何体的平面展开图第二十七章探索数学问题的一些方法.27.1探索数学问题的一些方法27.2探索数学问题举例第二十八章数学应用的一般思路,28.1数学应用的一般思路28.2数学应用举例。
等腰三角形性质
B
B
C
图3
变式练习： 1、如图（2）在等△ABC腰中，∠A = 50°, 则∠B =——，∠C=—— 2、如图（3）在等△ABC腰中，∠A = 120°则∠B =——，∠C=——
• 练习2： △ ABC是等腰直角三角形 （AB=AC， ∠ BAC=90°），AD是底 边BC上的高，标出∠ B， ∠ C， ∠ BAD， ∠ DAC的度数，图中有哪些相 等的线段？ B
Ａ
B
C
底边上的中线，底边上的高互相重合
A 在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC 1 2 ，____= DC 。 BD ∴∠ 1 = ∠ 2、∵AD是中线， 1 2 1 2 AD BC ，∠ 1=∠ 2 。 ∴ ⊥ 3、∵AD是角平分线， B AD⊥ BC ，BD= DC 。 ∴ D 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的 中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线
A
B
D
C
证明性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边上 的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合 一” ） 方法1:已知：△ABC中，AB=AC,AD是△ABC 的中线 求证：AD是△ABC的高和角平分线 证明: ∵,AD是△ABC的中线
∴BD=CD 在△ BAD ≌△ CAD中 ∵ AB=AC BD=CD AD= AD ∴ △ BAD ≌△ CAD( SSS ) ∠BAD= CAD; ∠BDA= CDAB ∴AD是△ABC是角平分线 又∵ ∠BDA+ CDA=1800 ∴ ∠BDA=CDA=900 ∴ AD是△ABC的高
说你的猜想
性质1：等腰三角形的两底角相等。（简写 成“等边对等角” ） 性质２：等腰三角形的顶角的平分线，底边 上的中线，底边上的高互相重合。（简称 “三线合一” ）
等腰三角形的性质
结论:在等腰三角形中, 结论:在等腰三角形中,
顶角+2 底角=180 +2× =180° ① 顶角+2×底角=180° 顶角=180 =180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 底角= 180° 顶角） ④0°＜顶角＜180° 顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° 底角＜90°
A
D
C
作底边的高线
Байду номын сангаас
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. 等腰三角形一个底角为70° 它的顶角为______. 70 40 ° ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 等腰三角形一个角为70° 70 70° ° ° ° ° __________________.,40°或55°,55° ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________. 等腰三角形一个角为110° 它的另外两个角为___________. 110 35 °，35 °
除了剪纸的方法， 除了剪纸的方法，还可以怎样 出一个等腰三角形？ 作(画)出一个等腰三角形？在你 B 出的等腰三角形中， 作(画)出的等腰三角形中，指明 它的腰、底边、顶角、底角。 它的腰、底边、顶角、底角。
底边 C 底角
思考： 思考：上面剪出的等腰三角形是轴对称图 形吗？ 形吗？ 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， ABC沿折痕对折 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角，填入下表： 找出其中重合的线段和角，填入下表：
A
1 2
D
C
由上面的操作过程获得启发，我们通过作出△ 由上面的操作过程获得启发，我们通过作出△ABC 的对称轴，得到两个全等的三角形， 的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角 形的全等证明这些性质。 形的全等证明这些性质。