[K12学习]2019高考数学 考点突破——统计与统计案例：变量间的相关关系与统计案例学案

K12学习教育资源 K12学习教育资源 变量间的相关关系与统计案例 【考点梳理】 1．回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是散点图；统计量有相关系数与相关指数． (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，

yn)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑n i＝1 xi－xyi－y∑n i＝1 xi－x2＝∑n i＝1xiyi－nx y∑n i＝1x2i－nx2，a^＝y

－b^x.其中，b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距． 3．残差分析 (1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－

a，i＝1,2，…，n，其估计值为e^i＝yi－y^i＝yi－b^xi－a^，i＝1,2，…，n，e^i称为相应于点(xi，

yi)的残差．

(2)相关指数：R2＝1－∑n i＝1 yi－y^i2∑n i＝1 yi－y2. 4．独立性检验 (1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为 K12学习教育资源 K12学习教育资源 y1 y2 总计

x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

则随机变量K2＝nad－bc2a＋ba＋cb＋dc＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)． 【考点突破】 考点一、相关关系的判断 【例1】(1)两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )

A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③② (2)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( ) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 (3)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )

A．r2K12学习教育资源

K12学习教育资源 C．r4

[答案] (1) D (2) C (3) A [解析] (1)第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.

(2)因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝b^y＋a^，b^＞0，则z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z负相关． (3)由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2【类题通法】 1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关，若点散布在左上角到右下角的区域，则负相关． 2．利用相关系数判定，当|r|越趋近于1，相关性越强． 当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强． 【对点训练】 1．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% [答案] B [解析] 因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大K12学习教育资源 K12学习教育资源 约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%.

2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423； ②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648； ③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493； ④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④

[答案] D [解析] 正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④. 3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散

点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A．－1 B．0 C．12 D．1 [答案] D [解析] 因为所有样本点都在直线y＝12x＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1. 考点二、线性回归方程及应用 【例2】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1： 年份x 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10 表1 K12学习教育资源 K12学习教育资源 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下

表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5

表2 (1)求z关于t的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程； (3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？

(附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x)

[解析] (1)由已知，得t＝3，z＝2.2，i＝15tizi＝45，i＝15t2i＝55， b^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z－b^t＝2.2－1.2×3＝－1.4，∴z^＝1.2t－1.4.

(2)将t＝x－2 012，z＝y－5，代入z^＝1.2t－1.4， 得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即y^＝1.2x－2 410.8. (3)∵y^＝1.2×2 020－2 410.8＝13.2， ∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达13.2千亿元． 【类题通法】 回归直线方程中系数的2种求法

(1)公式法：利用公式，求出回归系数b^，a^. (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x，y)求系数． 【对点训练】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． K12学习教育资源 K12学习教育资源 x y w i＝18 (xi－x)2 i＝18 (wi－w)2 i＝1

8 (xi－x)(yi－

y) i＝1

8 (wi－w)(yi－y)

46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝xi，w＝18i＝18wi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程． (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截

距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1n ui－uvi－vi＝1n ui－u2，α^＝v－β^ u. [解析] (1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．