圆的标准方程和一般方程(简单)

圆的标准方程和一般方程【圆的方程】
⑴圆的标准方程：。

⑵圆的一般方程：
，
特别提醒：只有当
时，方程
才表示圆心为
，半径为
的圆
（二元二次方程
表示圆的充要条件是什么？（
且
且
））；
【点与圆的位置关系】
已知点
及圆
，
（1）点M在圆C外
；
（2）点M在圆C内
；
（3）点M在圆C上。

【直线与圆的位置关系】
直线
和圆
有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：
相交；
相离；
相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为
，则
相交；
相离；
相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

【两圆位置关系的判定方法】
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
外离外切相交内切内含
【公共弦直线方程】
圆
与圆
的公共弦所在直线方程
【圆的切线与弦长】
(1)切线：
①过圆
上一点
圆的切线方程是：
，
过圆
上点
圆的切线方程是：
，
一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，
（2）弦长问题：常用弦心距
，弦长一半
及圆的半径
所构成的直角三角形来解：
；
例:直线
被曲线
所截得的弦长等于
；
【圆的方程】
1、过点
，
，
三点的圆的方程为___________
2、点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______
3、方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；
4、过点
且圆心在直线
上的圆的方程是_____________
【切线和弦问题】
5、与圆
相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有___________．
6．已知两圆
和
相交于
两点，则直线
的方程
是
，线段
的垂直平分线方程是
7、若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．
解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴
＝1，解得x0＝2或x0＝－
(舍)，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
8、已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________．
解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r＝10，最短弦BD＝2
＝4
，四边形ABCD的面积为20
.
9、一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2
，求此圆的方程
分析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为
又因为直线y=x截圆得弦长为2
，则有
+
=9b2，
解得b=±1故所求圆方程为
或
【对称问题】
10、已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴
解得
圆C2的半径为11，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
11．圆
上与直线
距离最近的点的坐标是
12、已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y －3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.
解析：点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，所以2a＋b＋1＝0，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心 (－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.
【直线与圆相交问题】
13、若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k
的取值范围为________．
解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r ＝
，若圆与两坐标无共点，即
，解得1<k<
.
14、圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若
∠APB＝90°，则实数c的值是________．
解析：当∠APB＝90°时，只需保证圆心到y轴的距离等于半径的
倍．由于圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，即2＝
×
，解得c＝－3.
【综合问题】
15、如果实数
满足等式
，那么
的最大值是
16、两圆交于点
、
，两圆的圆心均在直线
上，则
17、曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．
解析：曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l方程为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(
，－
)，半径为
，所以方程为(x－
)2＋(y＋
)2＝
.答案：(x－
)2＋(y＋
)2＝
18、已知圆M：（x＋cos）2＋（y－sin）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A）对任意实数k与，直线l和圆M相切；
（B）对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；
（C）对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切;
（D）对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切.
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.
（B）（D）.圆心坐标为（－cos，sin）d＝
19、若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是___．
解析：∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1，∴ab＝
，又OA＝
，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积：S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.
20、设实数x、y满足x2＋(y－1)2＝1，若对满足条件的x、y，不等式
＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．
解析：由题意，知－c≤
恒成立，又
＝
表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－
，0]，所以－c≤－
，即c的取值范围是c≥
.
21、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线
的距离为
，求该圆的方程．
设圆心为
，半径为r，由条件①：
，由条件②：
，从而有：
．由条件③：
，解方程组
可得：
或
，所以
．故所求圆的方程是
或
．。