圆的标准方程和一般方程
圆的一般方程标准方程参数方程总结
1.圆的标准方程1、已知圆心为C(4b),半径为r,如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)2+(y-b)2=r2这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:(x-a)2 +(y-b)2 =r2若圆心在坐标原点上，这时a = b = O,则圆的方程就是x2+ /=r23、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要•三个量确定了且厂>0,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(l,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7 = 0相切的圆的方程例2已知圆的方程x2+ y2=r2,求经过圆上一点M(x o,yo)的切线方程例3.求过点M(3,l),且及圆(x-l)2 + y2 =4相切的直线/的方程例4・一圆过原点O和点P(l,3),圆心在直线)=x+2上，求此圆的方程例5.已知一圆及y轴相切，在直线y = x上截得的弦AB长为2",圆心在直线x-3y = 0上，求此圆的方程.圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，整理，得 X + y2一2ax- 2by + a2 +b2 -r2 = 0 f可见，任何一个圆的方程都可以写成口 +尸+氐+ £)，+尸=0|的形式。
① 反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？将①配方得：(x +与+ (>- +孑=D土严.. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：(1)当D2+E2-4F>0时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D2 + E2-4F = 0时，方程①表示一个点；(3)当D2 + E2-4F<0时，方程①不表示任何图形.结论：当D2+E2-4F>0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点：(1)疋和〉卫的系数相同，且不等于o； (2)没有小这样的二次项. 以上两点是二元二次方程A.r2 + + Cy2 + Dx +Ey + F = 0表示圆的必要条件，但不是充分条件.充要条件是？(A二C H O, B二0, D2 +E2 -4FA>0 ) 说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、£、F 就可以了.2、圆的一般方程及圆的标准方程各有什么优点？(圆的标准方程：有利于作图。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。
（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r=①化简可得：222()()x a y b r-+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r-+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用及解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E --； （3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0； （2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的标准方程与一般方程
(1)求 的最大值和最小值.
(2)求 x2+y2 的最大值和最小值.
圆心 ：－D2 ，－E2
半径：
2、直线与圆位置关系：相离、相切、相交
3、圆与圆位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
（1）当 d r1 r2 时，两圆相离
（2）当 d r1 r2 时，两圆外切
（3）当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交 （4）当 d r1 r2 时，两圆内切 （5）当 0 d r1 r2 时，两圆内含
A．－2
B．－4
C．－6
圆的标准方程与一般方程 D．－8
6、圆 C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8 到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离为 2的点的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
7、圆 x2＋y2＝1 和 x2＋y2－6y＋5＝0 的位置关系为(
)
A．外切
B．内切
C．相离
D．内含
8、圆 x2＋y2－2x－5＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点为 A、B，则线段 AB 的垂直平分线方程为( )
A．2x－y＋1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x＋y－1＝0
4、若方程 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表示圆，则实数 m 的取值范围是(
)
－∞，1
A.
2
B．(－∞，0)
1，＋∞ C. 2
－∞，1
D.
2
5、已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值为( )
一、教学目标 1、理解掌握圆的标准方程与一般方程 3、直线与圆的应用问题 二、引入新知
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是222r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3.求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB长为30x y -=上,求此圆的方程.2. 圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理, 得22222220x y ax by a b r +--++-=,反过来, 将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2240DE F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;(2)当2240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22D E--; （３)当2240D E F +-<时,方程①不表示任何图形.结论:当2240D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1)2x 和2y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,0422>-+FA E D ）说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。
圆标准方程和一般式方程
温故知新
1.已知两点坐标P1（x1,y1）、P2（x2,y2）
两点间距离公式：
P 1P 2（ x2x1 ） 2(y2y1)2
2.圆的定义：
y r P(x,y)
平面内到定点的距离等于定
长的点的集合 .
o
x
定点是圆心， 定长是半径.
3.点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？ (d表示点到圆心的距离)
⑴点在圆内
·d r O
d<r
⑵点在圆上
·d r O
d=r
· ⑶点在圆外
dr O
d>r
进入新课 圆的标准方程
建立圆心是C(a ,b),半径是r(r >0)的圆的方程.
设P(x,y)是圆上任意一点,根 据圆的定义,P到圆心的距离等于 半径r,即 |PC|=r.
由两点间的距离公式,点P适合 的条件可表示为:
D , E , 半径 1是 D2E24F.
2 2
2
圆的一般式方程:
x 2 y 2 D E x F y 0
具有以下特点：
(1) x2与y2项的系数相等且不等零于 ；
(2) 不含 xy项；
(3) D 2E24F0.
例题讲解
例4 用配方法判定下 的列 图方 像程 是否是 如果是，圆 求出它的圆心. 和半径
o
x
y
(2)如果圆心在原点,a=0,b=0,
那么圆的方程是: x2y2 r2
r
o
x
例题讲解
例1已知圆的方 （x程 3)2为 (y1)2 2,求 （1）圆心 C的坐标和圆r； 的半径 （2）判断M 点 （3， 2）、 N（2， 0）、 P（4， 1）
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§4-1 圆的标准方程和一般方程
1. 圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程.
2. 圆的一般方程为 , 其中圆心是 ，半径长为 .
圆的一般方程的特点：
① x 2和y 2的系数相同，不等于0;
② 没有xy 这样的二次项;
③ 2240D E F +->
3.求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是:
①根据题意,选择适当的方程形式;
②根据条件列出关于a,b,c 或D,E,F 的方程组;
③解出a,b,c 或D,E,F 代入标准方程或一般方程.
另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用.
4. 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）当满足 时,点在圆外;
（2）当满足 时,点在圆上;
（3）当满足 时,点在圆内.
1. 圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是( ）.
A ．(2,3)-，1
B ．(2,3)-，3
C ．
(2,3)- D ．(2,3)-
2. 方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 A. 114
m << B. 1m > C. 14
m < D. 1m < ( ) 3.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）.
A. 30x y --=
B. 230x y +-=
C. 10x y +-=
D. 250x y --=
4. 一曲线是与定点O (0,0)，A (3,0)距离的比是12
的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.
5. 求下列各圆的方程：
(1).过点(2,0)
-；
A-，圆心在(3,2)
(2).求经过三点(1,1)
C-的圆的方程.
B、(4,2)
A-、(1,4)
6. 一个圆经过点(5,0)
x y
--=上，求此圆的
B-，圆心在直线3100
A与(2,1)
方程.
7. 求经过(4,2),(1,3)
A B 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.
8. 如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个圆的圆方程.
1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 .
2. 曲线x 2+y 2
－=0关于 （ ）. A. 直线x
B. 直线y =－x 轴对称
C. 点（－2
D.
，0）中心对称
3. 若实数,x y 满足224240x y x y ++--=，则
（ ）.
3 B. 1
4 C.
3+ D. 14-+
4.画出方程22
+=+所表示的图形,并求图形所围成的面积.
x y x y
5.设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4-7m2+9=0,若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.
6. 已知线段AB的端点B的坐标是（6，3），端点A在圆上()22
++=
x y
14运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.。