(整理)圆的一般方程
《圆的标准方程》教学设计（教师用）成都市洛带中学刘德军一、教材分析学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。
二、学情分析学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
三、教学目标(一)知识与技能目标（1）会推导圆的标准方程。
（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。
（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。
(二)过程与方法目标（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。
（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
(三)情感与态度目标圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．四、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。
2、难点：圆的标准方程的应用。
3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
五、教学过程首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。
(一)复习提问在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在课件上画圆)．问题2：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题4：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用学生练习一：1说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；(3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．2、(1)圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）A x 2+y 2= 25B x 2+y 2= 5C (x+3)2+(y+4)2= 25D (x-3)2+(y-4)2= 25教师纠错，分别给出正确答案：2、 (1)(x-3)2+(y ＋3)2=4；（2）D. 指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 例1求满足下列条件各圆的方程：（1） 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程（2） 圆心在x 轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。
解：（1）已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程 因为圆C 和直线0743=--y x 相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式，得516)4(3|73413|22=-+-⨯-⨯=r 因此，所求的圆的方程是 25256)3()1(22=-+-y x （2）设圆心在x 轴上半径为5的圆的方程为(x-a)2+y 2=25 ∵点A （2，3）在圆上∴(2－a)2+32=25∴a=-2或6 ∴所求圆的方程为(x ＋2)2+y 2=25或(x-6)2+y 2=25 这时，教师小结本题：求圆的方程的方法 (1)定义法(2) 待定系数法，确定a ，b ，r ； 学生练习二：1、以C （3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________.教师纠错，分别给出正确答案：(x －3)2+(y+5)2=32。
例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程解：如图，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为1k 因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是11k k -= ∵001x y k =∴00y xk -= (让学生注意斜率不存在时和为0的情况) 经过点M 的切线方程是 )(000x x y x y y --=-，整理得 202000y x y y x x +=+因为点),(00y x M 在圆上，所以22020r y x =+，所求切线方程是200r y y x x =+法二：勾股定理 法三：向量变式一：已知圆的方程为x 2+y 2= 1，求过点(2,2)的切线方程。
变式二：已知圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1 ，求过点(2,2)的切线方程。
学生练习三：1.已知圆2522=+y x 求：（1）过点A （4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B （-5，2）的切线方程是_________________教师纠错，分别给出正确答案：(1)4x-3y=25；(2)x=-5或21x-20y+145=0(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a ，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； 3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法． 4. 数型结合的数学思想 5. 过定点求圆切线方程.（五）、布置作业 习题7.6 1，2，3为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”教学模式进行教学设计 所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来。
教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情景，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题 其基本教学模式是：《圆的标准方程》学案（学生用）课堂练习1、说出下列圆的圆心和半径：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心_______,半径________. (2)(2x+4)2+(2y －4)2=8；圆心_______,半径________. (3)(x+2)2+ y 2=m 2 （m ≠0）圆心_______,半径________. 2、(1)圆心是（3，4），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（ ）A x 2+y 2= 25B x 2+y 2= 5C (x+3)2+(y+4)2= 25D (x-3)2+(y-4)2= 25 3．以C （3，-5）为圆心，且和直线3x-7y+2=0相切的圆的方程_________________________. 4.已知圆2522=+y x 求：（1）过点A （4，-3）的切线方程是_________________. （2）过点B （-5，2）的切线方程是_________________考题在线（思考题）1、（2007湖南理）圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．2、（2006杭州期末）求与直线y=x 相切，圆心在直线y=3x 上，且过点（，的圆。
3、（2007湖北文）由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1B ．CD ．34、已知点),(00y x M 在圆222r y x =+内，则200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是_____________.《圆的标准方程》（课堂实录）成都市洛带中学 刘德军师：让我们来看一下生活中常见的一些事物（通过课件展示生活中的圆），这些都是什么图形？生：圆。
师：对，远在我们生活中很常见，也代表着很美的东西，完美无缺，十全十美，都是指的圆，圆是很美的曲线，那么我们今天从另一个角度来研究圆。
(一)复习提问师：在初中，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 生：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.师：这是高中的概念。
（教师在课件上画圆)改变半径大小，和圆心的位置，圆发生了变化，这说明了什么？生：半径决定大小，圆心决定位置。
师：对：图哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？生：圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r ，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。
圆的标准方程和一般方程
圆的标准方程和一般方程圆是平面上一点到定点的距离等于定长的点的集合，是平面几何中非常重要的图形之一。
在代数几何中，我们通常会用方程来描述圆的性质和特点。
本文将介绍圆的标准方程和一般方程，帮助读者更好地理解和掌握圆的代数表达方法。
首先，让我们来看看圆的标准方程。
对于平面上的一个圆，假设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²。
其中，（x，y）为平面上任意一点的坐标。
这个方程描述了平面上任意一点到圆心的距离平方与半径平方之间的关系，从而确定了圆的位置和形状。
接下来，我们来讨论圆的一般方程。
一般方程的形式为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
其中D、E、F为常数。
通过一般方程，我们可以得到圆的圆心和半径。
具体来说，可以通过以下步骤完成：1. 将一般方程化为标准方程的形式，即完成平方项的配方。
2. 通过比较标准方程和一般方程的系数，得到圆心的坐标（a，b）和半径的值r。
需要注意的是，一般方程中的系数D、E、F的取值会影响到圆的位置和形状，因此在使用一般方程时需要格外小心，确保计算的准确性和可靠性。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来确定圆的方程。
例如，已知圆上的三点坐标，我们可以通过代数方法求解出圆的标准方程或一般方程。
这需要运用到代数方程的解法和圆的性质，是对数学知识的综合运用和实际问题的抽象化处理。
总之，圆的标准方程和一般方程是描述圆形在代数上的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解和分析圆的性质。
在学习和工作中，我们需要熟练掌握这些方程的推导和运用，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆的代数表达方法，对圆的标准方程和一般方程有更清晰的认识。
让我们共同努力，提高数学水平，更好地应用数学知识解决实际问题。
圆的一般方程3
D 6, E 8.
8 8E F 0
2
所求圆的方程为：
2 y2 6x 8y 0 x
例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0） y 由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点， 所以 x0 4 y0 3
2 2
(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方 程用待定系数法求解.
求过三点 练习： A ( 0 , 0 ), B ( 6 , 0 ), C ( 0 ,8 ) 的圆的方程 .
设圆的方程为
x y Dx Ey F 0
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组 F 0
6 6D F 0
2 2
y
2
1 2
M(x,y)
.
( x 3) ( y 0 )
2
两边平方化简得： x y 2x 3 0
2 2
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
6 4 (9) 0
2
该曲线为圆.
1.一圆C与C1：x2+y2-4x+6y-3=0同心，半径是 圆C1的半径的2倍，则圆C的方程为________ 2.通过坐标原点，并且以X轴为其对称轴的圆的 一般方程是________
练习： 求过点 A ( 5 , 1), 圆心为 ( 8 , 3 ) 的圆的方程
设圆的方程为 ( x 8) ( y 3) r
2 2
2
.
2
把点 ( 5 , 1) 代入得 r
圆方程的一般式的圆心
圆方程的一般式的圆心圆方程的一般式是指以圆心为中心的圆的方程形式。
在平面几何中，圆是由到圆心的距离恒定的所有点组成的。
圆方程的一般式可以用来表示圆的位置和形状。
下面将详细介绍圆方程的一般式以及其应用。
圆方程的一般式可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
该方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
我们来看一下圆心的坐标(h, k)对圆的位置的影响。
当h为正数时，圆心位于x轴的右侧；当h为负数时，圆心位于x轴的左侧。
同样地，当k为正数时，圆心位于y轴的上方；当k为负数时，圆心位于y轴的下方。
通过改变h和k的值，我们可以将圆心定位于不同的位置，从而得到不同位置的圆。
半径r决定了圆的大小。
半径越大，圆的面积越大，半径越小，圆的面积越小。
半径还决定了圆的周长，圆的周长等于2πr。
因此，圆方程的一般式可以用来计算圆的面积和周长。
圆方程的一般式在实际生活中有广泛的应用。
例如，在地理学中，可以使用圆方程的一般式来表示地球上某个地区的范围。
在建筑设计中，可以使用圆方程的一般式来确定圆形建筑物的尺寸和位置。
在物理学中，圆方程的一般式可以用来计算运动物体的轨迹。
圆方程的一般式还可以与其他方程相结合，形成更复杂的几何问题。
例如，可以将圆的方程与直线的方程相交，求出它们的交点，从而解决相关的几何问题。
圆方程的一般式是描述圆的位置和形状的重要工具。
通过圆心的坐标和半径的值，我们可以确定圆的位置和大小。
圆方程的一般式在几何学和实际应用中有广泛的应用，可以帮助我们解决各种几何问题。
无论是计算圆的面积和周长，还是确定圆的位置和形状，圆方程的一般式都提供了一个简单而有效的方法。
4.1.2圆的一般方程
方程.
解：建立直角坐标系， 原点为O，A在x轴上， 则A坐标为（ 2 x， 0）B坐标为（ 0,2 y） 根据勾股定理， OA2 OB2 AB2 就有（ 2 x） (2 y ) (2a)
2 2 2
B在y轴上，连接AB设中点P的坐标为（x, y），
化简得x 2 y 2 a 2
不是
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
与二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系: 1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0
方法二：
待定系数法
解：设所求圆的一般方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0 F=0 D+E+F+2=0 解得 D=-8 4D+2E+F+20=0 E=6 3.源自D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程表
示圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E 圆心 , 2 2
y C o
圆心在 y轴上
x
y
圆心 在x轴 C 上
x
y
圆过 原点C
o x
o
D=0
E=0
F=0
x y Dx Ey F 0
圆的一般方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 ( y 3)2 F 0
x
D 2
(x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
表示点（-a，0）
练习
圆的一般方程化为标准方程
圆的一般方程化为标准方程在平面几何中，圆是一种非常基本且重要的几何图形，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
圆的一般方程和标准方程是描述圆的两种常见方式，本文将介绍如何将圆的一般方程化为标准方程。
首先，我们来看一下圆的一般方程是怎样的。
圆的一般方程通常写作(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这种形式的方程可以直观地表示出圆心和半径，但在一些计算中可能不够方便，所以我们需要将其化为标准方程。
要将圆的一般方程化为标准方程，我们需要进行一些代数运算。
首先，我们将一般方程展开，得到x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²。
然后，我们将常数项移到等号右边，得到x²+y²-2ax-2by=a²+b²-r²。
接下来，我们引入新的变量h=-a，k=-b，代入原方程，得到x²-2hx+y²-2ky=a²+b²-r²。
最后，我们将完全平方，得到(x-h)²+(y-k)²=(a²+b²-r²)+h²+k²，这就是圆的标准方程。
通过上述步骤，我们成功地将圆的一般方程化为了标准方程。
这种形式的方程更加简洁，方便进行进一步的计算和分析。
在实际问题中，我们经常会遇到需要化简圆的方程的情况，因此掌握这一方法是非常重要的。
需要注意的是，当将圆的一般方程化为标准方程时，我们要特别注意圆心的坐标和半径的平方项的符号，以免出现错误的结果。
另外，我们也可以反过来，将圆的标准方程化为一般方程，方法类似，只是要进行一些逆向的代数运算。
总之，圆是几何中的重要图形，掌握圆的一般方程和标准方程之间的转化方法对于深入理解圆的性质和解决实际问题具有重要意义。
(完整版)圆与方程知识点整理(可编辑修改word版)
矣于圆与方程的知识点整理一、标准方程：(x-rt)0+(y-b)・=厂 二一般方程：A"+r+Dx+£y + F = 0(D - +F--4F>0)1・ AF + By- + + Dx+Ey+F = 0 表示圆方程则「A — B 工 O O <5 U - O2 _ 4 F > O [Q 2 + £2 _ 4 A F > O 2•求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3・D" + £- -4F > 0常可用来求有关参数的范帀 三'点与圆的位g 矢系1・判断方法：点到圆心的距离d 与半径『的大小：〃<厂=> 点在圆内：d = r=>点在圆上：J>r=>点在圆外2•涉及最值：(1)圆外一点圆上一动点P,讨论|PB|的最值max四、S 线与圆的位置矣系L 判断方法(d 为圆心到宜线的距离〉：(1)柑离O 没有公共点=>△< OodAr ： (2)相切O 只有一 个公共点oA = 0od = r ： (3)柑交O 有两个公共点>0od<r 。
这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圜相交让你求有关参数的范围.2 •宜线均圆相切(1)知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C 相切意味着什么？圜心C 到直线/的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过世点的切线方程① 切线条数：点在圆外一两条：点在圆上……一条：点在圆内……无 ② 求切线方程的方法及注意点f n 、 2 "E 、k V z+ TV I z 『3 仁=|BN| = |BC|-r卜 |BC|+厂讨谐中的最值U - Oi)点在圆外J 如泄点 P(X ,)* 圆：(x-aY +(y-hy =r . [(x -aY+(y -/?)" >r-] 0 0 0 0第一步：设切线/方程y-yo = k （兀一小）：第二步：通过〃 =『=>«,从而得到切线方程 特別I 注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点P （l, 1）作圆F + r — 4x — 6y+12 = 0的切线，求切线方程.ii ）点在圆上J <1）若点（xo, yo ）在阿x+j = r 上，则切线方程为x x + yy = r^■ ■ ■ ■U 0（2）若点 a ，y ）在圆（.<-«）■ +（y-/?）' = r 则切线方程为 a -"）（兀 一 "）+（y -方）（，一方）=八由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常磴要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 件Jf AC\= r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程<' 如心=-1J （l + P ）［（西+£）2-4 气 xj（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而；1^点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若E^（.v-3/+（y + 5/ = r 上有且仅有两个点到直线4%-3>'-2 = 0的距离为1,则半径厂的取值范用是4•直线与圆相离：会对宜线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、対称间题1. 若圆疋+尸+（川2 -l ）x + 2加$—加=0,关于直线X — y + l = 0,则实数加的值为答案:3 （注意：m = -\时，D- + £--4F<0.故舍去）变式：已知点A 是圆C:“+r + ar + 4y -5 = 0匕任意一点・A 点关于宜线x + 2y-\ =0的对称点在圆C 上，则实数《= _________ ・2•圆（x-l/+（y-3/= 1关于宜线x + y = 0对称的曲线方程是 变式：已知圆（x-4）2+（y-2）2 = I 与圆C2： （x-2/+（y-4）'= 1关于宜线/对称，则直线/的方程为 3•圆（—3）2+0 + 1）2 =1关于点（2. 3）对称的曲线方程是, 4•已知直线y = x + h^圆C ： F+r=l,问：是否存在实数b 使自A （3,3）发出的光线被直线/反射后与③求切线长：利用基本图形，AP-=|CPF CP"-r-3 •直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式：/=ViTPiv'■/f 24 7、 B ' .1?若存在，求出b 的值：若不存在，试说明理由.1 25 25 I 丿方法主要有三种：（1）数形结合：（2〉代换：（3）参数方程（1） 丄 的最大值和最小值：一一看作斜率 （2） y-X 的报小值；一一截距（线性规划） X-5（3） X- + y-的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方 2•已知 AAOB 中，\OB\ = 3 , \OA\ = 4. \AB\ = 5 •点 P 是AAOB 内切圆上一点，求以 pA|, |PB|, pO|为直径的三个圆而枳之和的最大值和最小值.数形结仟和参数方程两种方法均可!3 •设P （x. y ）为圆x-+{y-\Y = 1上的任一点，欲使不等式犬+ y + c>0恒成立，则e 的取值范用是,■答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）L 若直线"u ・ + 2ny — 4 = 0 （ m , neR 始终平分圆，+ y2-4x-2y-4 = 0的周长，则的取值范围是2. 已知圆C ： x-+r _2x + 4y-4 = 0.问：是否存在斜率为1的宜线/,使/被圆C 截得的弦为AB .以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出宜线/的方程，若不存在，说明理由. 提示：XX +3' y =0或弦长公式d = Jj+ E2 -v 一X3•已知圆C ： (x-3/+(y-4/=b 点A((U). 3(0.1),设P 点是圆C 上的动点，d = \PA\"+\PB\\ 求 d的最值及对应的P 点坐标.4 •已知圆 C J (X-1)'+(3'-2)" =25 r 宜线 / ：(2加 + 1)兀+ (w + l)y-7〃?一4 = 0 (weR) （1） 证明：不论也取什么值，宜线/与圆C 均有两个交点; （2） 求苴中弦长最短的直线方程.5•若宜线y = -x + k^曲线x = -/-f 恰有一个公共点，则R 的取值范I 利.6 •已知圆£ + y2+x-6y +加=0与宜线x + 2y-3 = 0交于P. 0两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数也,使OP 丄OQ,若存在，求出W 的值；若不存在，说明理由.圆c 相切于点 L 已知实数X, y 满足方程宀严一4兀+1=0,求:七'圆的参数方程r...Z c\ |x=/・cos X ・+y ・=/*-(r>0)Oy =为参数：(%-«) +(y-h) =r (r>0)o1 M Jx=a+rcos y = b + rsin为参・答案J x-y+1 = 0或大一y — 4 = 0I •判断方法：几何法（d 为圆心距）:（1） dA 打+厂20外离 （3） |打一巧［vdv 斤+巧0相交 （4） t/= r-zs O 内切 2 •两圆公共弦所在直线方程圆C ： }r+y-+Dx+Ey + F=0.圆C ： jr+y^+Dx + Ey + F =0,I I I I 2 2 2 2则（D,-D2）x + （£,-£2）y + （F,-F2）= 0为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G 与C2相切，则表示其中一条公切线方程：若G 与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题(1)过两圆 C J jr+y- + Dx + Ey + F = 0 和 C J X - +y- + D X + E y + F =0 交点的圆系方程为 J I I I 2 22 2 F + ))2 + Dj.v + 耳y + 斤+ (“+>^ + D;v + gy + g)=0 ( H-说明：1）上述圆系不包括C2 : 2）当 =-1时，表示过谢圆交点的直线方程（公共弦）(2)过宜线？b ・+B.\・+C=0打圆 十Dx+£> + F = 0交点的圆系方程 x-+y^+Dx+Ey+F+ (Ax+By + C)= Q（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线：②相外切时，有三条公切线：③相交时，有两条公切线：④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1） 世义法（圆的定义）（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程•例:过圆F + y? =1外一点人（2, 0）作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随列一点的变动而变动 特点为：主动点一宦在某一已知菇亘所表示的（固崔）轨迹上运动.例1 •如图，已知定点A （2,0）,点2是圆F+r= I 上的动点，ZA0Q 的平分线交AS 于当0点在圆上 移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线；^^理和泄比分点公式・例2 •已知圆O ： x-+y-=9,点A （3,0）, B 、C 是圆Ot:的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且(2) </ =八+^0外切(5) d< n -ri o 内含分析：|0円'+4"|=4^2|AABAC = _ ,求MBC的重心G的轨迹方程. 3法I：-ZBAC=-, :.\BC\为定长且等于3^/3X A+X B +X C 3 +X B +X Cx =——3 ----- =——3——Xi+Vfl+yc^yB+Jc3 3「33) (2厂31取BC的中点为址€|-一卩£€| -込」IL24 丿 1 4 2J94••• \OE" + \CE" = ]pC : /.兀£ + >£'"=(1)XB + XC 尸—2- y+y >■ =^- £ 23 + 2XE 兀=—3—J XB + XC=2XE n I y+y =2y，••(3x-3"\ (3 V 93x-3富=—-3 \y =_yI E 2故由（1）得: ____ I +1 I =_n(Z)I 2丿l2丿4 + r =1 xe 0,3、-，y €2)-邑112 I法2：(参数法) 2设B(3cos Jsin )•由ZBOC=2ZBAC= _3C 3cos|\ I 2 ) ( + L3sin| + '丿VX + X + Xy- A B C_A ——(2 }3 + 3cos +3cos . + — II 3(2、=I + cos +cos|「+ 」•••(！)3(2_'3s】n +3sin|l+ 3 丿.• ( “ /八y =〉l +)4+)S = ----------- --------- = sin +sin | + —・・「・(2)2 22 「3、+(2)得：(X-1) +y = 1 xe 0,-」€-2^3 12 I参数法的本质是将动点坐标（x,y）中的X和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程, 通过参数的范围得出X , y的范(4) 求轨迹方程常用到得知识心 + XB + XCIX = ________ 4 ___ .②中点I匕分点公式：磊 ⑤韦达世理•高中数学圜的方程典型例题类型一:圓的方程例1求过两点A(l,4)、8(3,2)且圆心在直线j = 0 I;的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.圆的方程为(X+1)2+),2 =20：点P 在圆外.例2求半径为4.与圆* + y2-4x-2y-4 = 0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.圆的方程为(兀一2 — 2^/^)2+0 + 4)2 =42,或(x-2 + 275)2 + (y + 4)2 = 42 . 例3求经过点A(0,5),且与宜线x-2y = 0和2兀+ y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确世圆的方程.需确崔圆心坐标与半径，由于所求圆过世点A ,故只需确；^^圆心坐标・又圆与两 已知宜线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上・解：•「圆和直线x-2y = (Pj2x+y = 0相切• •••圆心C 在这两条直线的交角平分线上.又圆心到两直线X -2y = 0和2x+y = 0的距离相等.•••两直线交角的平分线方程是x + 3y = 0或3x-y =0.又T 圆过点4(0,5),•••圆心C 只能在直线3»•-y = 0③内角平分线世理:BD\ _ \AB\x-2y x+2y r ■75・XI +X2上.设圆心C{t, 3r)V C到宜线2x + y = 0的距离等于AC\二1?£^ =护+（3一5）2 . v5化简整理得t--6t + 5 =0-解得：21或f = 5•••圆心是(1,3),半径必或圆心是(5.15),半径为5j^・•••所求圆的方程为（X-1）2+0-3）2 = 5 或（兀一5）2+0-15）2= 125 ・说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确；4^圆心坐标得到圆的方程, 这是过;^点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法• 例4 -设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2： (2)被兀轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件⑴⑵的所有圆中，求圆心到直线X-2y = 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程.只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程-满足两个条件的圆有无数个•其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确世圆的半径，求出圆的方程•解法一：设圆心为P(« ■ h),半径为I 则P到X轴、y轴的距离分卩1为PI和由题设知：圆截X轴所得劣弧所对的圆心角为90。
圆的方程
5.弦长与切线方程，切线长的求法
(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r， 2 弦长l，则 d 2 l r 2 2 (2)圆的切线方程： 若点 P( x0，y0 ) 在圆 x2 y 2 r 2 上，则过点P的切线 方程为 x0 x y0 y r 2 若点 P( x0，y0 ) 在圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 上，则过 点P的切线方程为 ( x a)(x0 a) ( y b) ( y0 b) r 2
二、学习方法指导
例1 当曲线 y 1 4 x 2 与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异
交点时，实数k的取值范围是(
5 A． 0， 12 1 3 B． 3， 4
)
5 3 C． ， 12 4
5 D． ， 12
2 故所求圆的方程为 ( x 19 ) ( y
例5 求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆
2 2 2 2 C1 ：x y 4 x 3 0 和 C2 ： x y 4 y 3 0
的交点的圆的方程． 思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解． 解：设所求圆的方程为
解得a＝2或a＝4． 所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0 说明：本题巧用根与系数的关系，列出 x1x2 y1 y2 0 进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程
x＋ay－3＝0可避免讨论。
例4 求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0 上的圆的方程． 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意 圆的有关几何性质的运用．
思路分析：可以先求出两圆交点坐标，利用两点间的距离 求之；亦可利用几何法求．
圆的一般方程(用)
(D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D2 E2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半 径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径 到圆上一点的距离）
（圆心 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程 组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F），写出标 准方程（或一般方程）
待定系数法
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r 2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2 r 5
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两 条直线的交点）（常用弦
的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
解1: ∵A(1,1),B(2,-2)
线 线段 段AABB的 的垂 中直 点平 D(分32 ,线 1C2D),的kA方B 程2为2：11y+13.
1
(x
3 ).
23 2
圆的一般方程(用)
y=-E/2，表示一个点（
D 2
,
E 2
）.
( x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
所以 x x0 4 , y y0 3
整理得
x0
2
2x
4,
2
y0
2y
3.
又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足
y B
AM
o
x
方程，又有（x0+1）2+y02=4
所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4
整理得 (x 3)2 ( y 3)2 1
所以，点Ｍ的2轨迹是以2（ 3，3 ）为圆心，１为半径的圆
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
62 4 (9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例
例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）