(完整版)圆与方程知识点整理(可编辑修改word版)
? + ? PB = PB = PA = PA = 关于圆与方程的知识点整理
一、标准方程: ( x - a )2
+ ( y - b )2
= r 2
二、一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (D 2 + E 2 - 4F > 0)
1. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆方程则
? ?
A =
B ≠ 0
?
A =
B ≠ 0 ? ?
?C = 0
? ?C = 0 ?? D ?
2 ? E ?2
- 4 ? F > 0
? D 2 + E 2 - 4 AF > 0 ? A ? A ? A ?? ? ? ?
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3. D 2 + E 2 - 4F > 0 常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1. 判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小： d < r ? 点在圆内； d = r ? 点在圆上； d > r ? 点在圆外
2. 涉及最值：（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值
min
max BN =
BM = BC - r
BC + r
（2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值
min AN = r - AC
max AM = r + AC
四、直线与圆的位置关系 1. 判断方法（ d 为圆心到直线的距离）：（1）相离? 没有公共点? ? < 0 ? d > r ；（2）相切? 只有一 个公共点? ? = 0 ? d = r ；（3）相交? 有两个公共点? ? > 0 ? d < r 。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1） 知识要点：①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径 r （2） 常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点
1 0
i ）点在圆外：如定点 P ( x , y ) ，圆： ( x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，[ ( x - a )2 + ( y - b )2
> r 2 ]
第一步：设切线l 方程 y - y 0 = k ( x - x 0 ) ；第二步：通过 d = r ? k ，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对 k 存在有效，当 k 不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点 P (1, 1) 作圆 x 2 + y 2 - 4x - 6 y +12 = 0 的切线，求切线方程.
ii ）点在圆上：（1）若点( x 0，y 0 ) 在圆 x + y = r 上，则切线方程为 x x + y y = r
2
2
2
2
（2）若点( x ，y ) 在圆( x - a )2
+ ( y - b )2
= r 2 上，则切线方程为( x - a )( x - a ) + ( y - b )( y - b ) = r 2
由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形， AP 2 = CP 2 - r 2 ? AP
? AC = r
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程?
?
AC ? k AP = -1 3. 直线与圆相交
（1） 求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用
弦长公式： l =- x =
1 2
（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题
例：若圆( x - 3)2 + ( y + 5)2
= r 2 上有且仅有两个点到直线4x - 3y - 2 = 0 的距离为 1，则半径 r 的取值范围是
.
答案： (4, 6)
4. 直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
五、对称问题
1.若圆 x 2 + y 2 + (m 2 -1)
x + 2my - m = 0 ，关于直线 x - y +1 = 0 ，则实数 m 的值为
.
答案：3（注意： m = -1时， D 2 + E 2 - 4F < 0 ，故舍去）
变式：已知点 A 是圆C : x 2 + y 2 + ax + 4 y - 5 = 0 上任意一点， A 点关于直线 x + 2 y -1 = 0 的对称点在圆C 上，则实数 a =
.
2.圆( x -1)2
+ ( y - 3)2
= 1 关于直线 x + y = 0 对称的曲线方程是
.
变式：已知圆C ： ( x - 4)2 + ( y - 2)2 = 1 与圆C
.
： ( x - 2)2
+ ( y - 4)2
= 1 关于直线l 对称，则直线l 的方程为 3.圆( x - 3)2
+ ( y +1)2
= 1关于点(2, 3) 对称的曲线方程是
.
4.已知直线l ： y = x + b 与圆C ： x 2 + y 2 = 1，问：是否存在实数b 使自 A (3, 3) 发出的光线被直线l 反射后与
k 2
2 1+ k 2 y
? ?
2 2 2 ?x = a + r c os ? ? 圆C 相切于点 B
? 24 , 7 ?
？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.
25 25 ? 六、最值问题
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程
1. 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 + y 2 - 4x +1 = 0 ，求：
（1）
的最大值和最小值；——看作斜率 （2） y - x 的最小值；——截距（线性规划） x - 5
（3） x 2 + y 2 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2. 已知 ?AOB 中， OB = 3 ， OA = 4 ， AB = 5 ，点 P 是?AOB 内切圆上一点，求以 PA ， PB ， PO 为
直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3. 设 P
( x , y ) 为圆 x 2 + ( y -1)
2
= 1上的任一点， 欲使不等式 x + y + c ≥ 0 恒成立， 则 c 的取值范围是
. 答案： c ≥ -1（数形结合和参数方程两种方法均可！）
七、圆的参数方程
x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) ? ?x = r c os 为参数 ； ( x - a ) + ( y - b ) = r (r > 0) ? 为参
数
八、相关应用
?
y = r sin ， ?
y = b + r sin ，
1. 若直线 mx + 2ny - 4 = 0 （ m ， n ∈ R ），始终平分圆 x 2 + y 2 - 4x - 2 y - 4 = 0 的周长，则 m ? n 的取值范围是
.
2. 已知圆C ： x 2 + y 2 - 2x + 4 y - 4 = 0 ，问：是否存在斜率为 1 的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为 AB ，以 AB
为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.
提示： x x + y y = 0 或弦长公式 d = x - x . 答案： x - y +1 = 0 或 x - y - 4 = 0
1 2 1 2 1 2
3.已知圆C ： ( x - 3)2 + ( y - 4)2
= 1，点 A (0,1) ， B (0, 1) ，设 P 点是圆C 上的动点， d = 的最值及对应的 P 点坐标.
PA 2 + PB 2 ，求 d 4.已知圆C ： ( x -1)2
+ ( y - 2)2
= 25 ，直线l ： (2m +1) x + (m +1) y - 7m - 4 = 0 （ m ∈ R ）
（1） 证明：不论 m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2） 求其中弦长最短的直线方程. 5. 若直线 y = -x + k 与曲线 x = -
k 的取值范围.
6. 已知圆 x 2 + y 2 + x - 6 y + m = 0 与直线 x + 2 y - 3 = 0 交于 P ， Q 两点， O 为坐标原点，问：是否存在实数 m
，使OP ⊥ OQ ，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
1- y 2
1 1 1 2
2
2
2
九、圆与圆的位置关系
1. 判 断 方 法 ： 几 何 法 （ d 为 圆 心 距 ） ： （ 1） d > r 1 + r 2 ? 外 离
（ 2） d = r 1 + r 2 ? 外 切
（3） r 1 - r 2 < d < r 1 + r 2 ? 相交
（4） d = r 1 - r 2 ? 内切
（5） d < r 1 - r 2 ? 内含
2. 两圆公共弦所在直线方程
圆C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ，圆C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F
= 0 ，
1
1
1
1
2
2
2
2
则( D 1 - D 2 ) x + ( E 1 - E 2 ) y + ( F 1 - F 2 ) = 0 为两相交圆公共弦方程.
补充说明：若C 1 与C 2 相切，则表示其中一条公切线方程；若C 1 与C 2 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题
（ 1） 过两圆 C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和 C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 交点的圆系方程为
1
1
1
1
2
2
2
2
x 2 + y 2 + D x + E y + F +
(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0 （
≠ -1 ）
说明：1）上述圆系不包括C 2 ；2）当
= -1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2） 过直线 Ax + By + C = 0 与圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 交点的圆系方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F +
( A x + By + C ) = 0
（3） 两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切
线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程 （1） 定义法（圆的定义）
（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程. 例：
过圆 x 2 + y 2 = 1外一点 A (2, 0) 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析： OP + AP 2 = OA 2
（3） 相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例 1.如图，已知定点 A (2, 0) ，点Q 是圆 x 2 + y 2 = 1上的动点， ∠AOQ 的平分线交 AQ 于 M ，当Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程.
分析：角平分线定理和定比分点公式.
例 2.已知圆O ： x 2 + y 2 = 9 ，点 A (3, 0) ， B 、C 是圆O 上的两个动点， A 、 B 、C 呈逆时针方向排列，且
3 3 3 3 ? 2
2
2
+ y E E
∠BAC =
，求?ABC 的重心G 的轨迹方程.
3
法 1： ∠BAC = 3
，∴ BC 为定长且等于3 ? x = x A + x B + x C = 3 + x B + x C 设G ( x , y ) ，则?
3 3
? y = y A + y B + y C = y B + y C ?? 3 3
? 3 3 ?
? 3 ? 取 BC 的中点为 x E ∈ ?- , ? ， y E ∈ - , ?
? 2 4 ? ? 4 2 ?
OE + CE = OC ，∴ x 2
2 = 9
4
（1） ? x = x B + x C
?x = 3 + 2x E ? x = 3x - 3 ? E 2 ? ? x B + x C = 2x E ? 3 ? E 2 ? y + y ?
y + y = 2 y ，∴?
2 y
? ? 3 ? y = B C ? B C E ? y = E ? y = y ?? E 2
? 3x - 3 ?2 ?? 3 ? 3 ?2 9 2 ?? E 2 ? 3 ?
? ? 故由（1）得： ? + y ? = ? ( x -1) + y 2
= 1 x ∈ ?0, ?, y ∈
- , 1? ? 2 ? ? 2 ? 4 法 2：（参数法） 2 ? 2 ? ? 2 ?
设 B (3cos
, 3sin
) ，由∠BOC = 2∠BAC =
，则
3
? ? 2? ? 2? ?
C 3cos + 3 ? , 3sin + 3 ??
?
? ? ? ?? 设G ( x , y ) ，则
?
3 + 3cos + 3cos ?+ 2?
? x + x + x 3 ? ? 2? ? x = A B C = ? ? = 1+ cos + cos + ? (1) ? 3 3 ? 3 ? ?
? 2?
? 3sin + 3sin + ? ? y = y A + y B + y C
= ? 3 ? = sin + sin ?+ 2? (2) ? 3 3 3
? ?
? ? ∈? 4?
2 2 2 2 ?
3 ? ? ? , ? ，由((1) -1) + (2) 得： ( x -1) + y = 1 x ∈ ?0, ?, y ∈ - , 1? ? 3 3 ? ? 2 ? ? 2 ?
参数法的本质是将动点坐标( x , y ) 中的 x 和 y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，
通过参数的范围得出 x ， y 的范围.
3
BD CD x - 2 y 5
x + 2 y 5
? ? （4） 求轨迹方程常用到得知识
? x = x A + x B + x C
? x = x 1 + x 2
①重心G ( x , y ) ， ? 3 ②中点 P ( x , y ) ， ? 2 ? y = y A + y B + y C ? y = y 1 + y 2 ?? 3
?? 2
③内角平分线定理：
=
AM ④定比分点公式： MB
= ，则 x M =
x A + x B ， y
1+ M
= y A
+ y B 1+ ⑤韦达定理.
类型一：圆的方程
高中数学圆的方程典型例题
例 1 求过两点 A (1 , 4) 、 B (3 , 2) 且圆心在直线 y = 0 上的圆的标准方程并判断点 P (2 , 4) 与圆的关
系． 圆的方程为(x +1)2 + y 2 = 20 ；点 P 在圆外．
例 2 求半径为 4，与圆 x 2 + y 2 - 4x - 2 y - 4 = 0 相切，且和直线 y = 0 相切的圆的方程．
圆的方程为(x - 2 - 2 6)2 + ( y + 4)2 = 42 ，或(x - 2 + 2 6)2 + ( y + 4)2 = 42 ．
例 3 求经过点 A (0 , 5) ，且与直线 x - 2 y = 0 和2x + y = 0 都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两
已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：∵圆和直线 x - 2 y = 0 与2x + y = 0 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线 x - 2 y = 0 和2x + y = 0 的距离相等．
∴
=
．
∴两直线交角的平分线方程是 x + 3y = 0 或3x - y =
0 ． 又∵圆过点 A (0 , 5) ，
∴圆心C 只能在直线3x - y = 0 上． 设圆心C (t , 3t )
AB
AC
2t + 3t 5
t 2 + (3t - 5)2
5 ∵ C 到直线2x + y = 0 的距离等于 AC ，
∴
= ．
化简整理得t 2
- 6t + 5 =
0 ． 解得： t = 1或t = 5
∴圆心是(1 , 3) ，半径为
或圆心是(5 , 15) ，半径为5 ．
∴所求圆的方程为(x -1)2 + ( y - 3)2 = 5 或(x - 5)2 + ( y -15)2 = 125 ．
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程， 这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例 4、 设圆满足：(1)截 y 轴所得弦长为 2；(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为3 :1 ，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l ：x - 2 y = 0 的距离最小的圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有 无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．
解法一：设圆心为 P (a , b ) ，半径为
r ． 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．
由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为90? ，故圆截 x 轴所得弦长为 2r ．
∴ r 2 = 2b 2
又圆截 y 轴所得弦长为 2．
∴ r 2 = a 2 +1 ．
又∵ P (a , b ) 到直线 x - 2 y = 0 的距离为
d =
∴ 5d 2 = a - 2b 2
= a 2 + 4b 2 - 4ab
≥ a 2 + 4b 2 - 2(a 2 + b 2 )
5 a - 2b 5
a - 2
b 5
5 ? ? ? 5 = 2b 2 - a 2 = 1
当且仅当 a = b 时取“=”号，此时 d min = 5
．
?a = b 这时有?
2b 2 - a 2 = 1
?a = 1 ∴ ?b = 1 ?a = -1
或 ?b = -1
又 r 2 = 2b 2 = 2
故所求圆的方程为(x -1)2 + ( y -1)2 = 2 或(x +1)2 + ( y +1)2 = 2
解法二：同解法一，得
d =
．
∴ a - 2b = ±
5d ．
∴ a 2 = 4b 2 ± 4 5bd + 5d 2 ．
将 a 2 = 2b 2 -1代入上式得：
2b 2 ± 4 5bd + 5d 2 +1 = 0 ．
上述方程有实根，故
? = 8(5d 2 -1) ≥ 0 ，
∴ d ≥
．
5
将 d =
代入方程得b = ±1． 5
又2b 2 = a 2 +1
∴ a = ±1 ．
由 a - 2b = 1 知 a 、b 同号．
故所求圆的方程为(x -1)2 + ( y -1)2 = 2 或(x +1)2 + ( y +1)2 = 2 ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
5
0 0 0 0
例 5 已知圆O ：x 2 + y 2 = 4 ，求过点 P (2，4)与圆O 相切的切线．
解：∵点 P (2，4)不在圆O 上，
∴切线 PT 的直线方程可设为 y = k (x - 2)+ 4 根据 d = r
∴
= 2
解得 k = 3
4 所以 y = 3
(x - 2)+ 4
4 即
3x - 4 y +10 = 0
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为 x = 2 ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）．还可以
运用 x x + y y = r 2 ，求出切点坐标 x 、 y 的值来解决，此时没有漏解． 例 6 两圆C ：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与C ：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 相交于 A 、 B 两点，求它们
1
1
1
1
2
2
2
2
的公共弦 AB 所在直线的方程．
分析：首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：设两圆C 1 、C 2 的任一交点坐标为(x 0 , y 0 ) ，则有：
x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
① 0
1 0
1 0
1
x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
②
2 0
2 0
2
①－②得： (D 1 - D 2 )x 0 + (E 1 - E 2 ) y 0 + F 1 - F 2 = 0 ．
∵ A 、 B 的坐标满足方程(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 ．
∴方程(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 是过 A 、 B 两点的直线方程． 又过 A 、 B 两点的直线是唯一的．
∴两圆C 1 、C 2 的公共弦 AB 所在直线的方程为(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 ．
说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说， 还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．
例 7、过圆 x 2 + y 2 = 1外一点 M (2,3) ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、 B ，求直线 AB 的方程。
练习：
1．求过点 M (3,1) ，且与圆(x -1)2 + y 2 = 4 相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为 y -1 = k (x - 3) ，即 kx - y - 3k +1 = 0 ， ∵圆心(1, 0) 到切线l 的距离等于半径2 ， | k - 3k +1|
= 2 ，解得 k = - 3
，
4
∴切线方程为 y -1 = - 3 (x - 3) ，即3x + 4 y -13 = 0 ，
4
当过点 M 的直线的斜率不存在时，其方程为 x = 3 ，圆心(1, 0) 到此直线的距离等于半径2 ， 故直线 x = 3 也适合题意。
所以，所求的直线l 的方程是3x + 4 y -13 = 0 或 x = 3 ．
2、过坐标原点且与圆 x 2 + y 2 - 4x + 2 y + 5
= 0 相切的直线的方程为
2
解：设直线方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 .∵圆方程可化为(x - 2)2 + ( y + 1)2 = 5
，∴圆心为（2，-1），半径为
2
.2
=
，解得 k = -3 或 k = 2
1
，∴直线方程为 y = -3x 或 y = 3
1 x . 3
3、已知直线5x + 12 y + a = 0 与圆 x 2 - 2x + y 2 = 0 相切，则 a 的值为
.
解：∵圆(x - 1)2 + y 2 = 1的圆心为（1，0），半径为 1，∴
= 1，解得 a = 8 或 a = -18 .
类型三：弦长、弧问题
例 8、求直线l : 3x - y - 6 = 0 被圆C : x 2 + y 2 - 2x - 4 y = 0 截得的弦 AB 的长.
例 9、直线 3x + y - 2 = 0 截圆
x 2 + y 2 = 4 得的劣弧所对的圆心角为
解：依题意得，弦心距 d = ，故弦长 AB = 2 = 2 ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所
10 10 5 + a 52 + 122
3 3 r 2 - d 2
4 -
x 2 2 1 对的圆心角为∠AOB =
.
3
例 10、求两圆 x 2 + y 2 - x + y - 2 = 0 和 x 2 + y 2 = 5 的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
例 11、已知直线 3x + y - 2 = 0 和圆 x 2 + y 2 = 4 ，判断此直线与已知圆的位置关系.
例 12、若直线 y = x + m 与曲线 y = 有且只有一个公共点，求实数 m 的取值范围.
解： ∵曲线 y = 表示半圆 x 2 + y 2 = 4( y ≥ 0) ， ∴利用数形结合法， 可得实数 m 的取值范围是
- 2 ≤ m < 2 或 m = 2 .
例 13 圆(x - 3)2 + ( y - 3)2 = 9 上到直线3x + 4 y -11 = 0 的距离为 1 的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线l 1 、l 2 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆(x - 3)2 + ( y - 3)2 = 9 的圆心为O (3 , 3) ，半径 r = 3 ．
设圆心O 1 到直线3x + 4 y -11 = 0 的距离为 d ，则 d = 2 < 3 ．
如图，在圆心O 1 同侧，与直线3x + 4 y -11 = 0 平行且距离为 1 的直线l 1 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又 r - d = 3 - 2 = 1．
∴与直线3x + 4 y -11 = 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有 3 个．
解法二：符合题意的点是平行于直线3x + 4 y -11 = 0 ，且与之距离为 1 的直线和圆的交点．设所求直线为
3 4 - x 2 3 ? 3 + 4 ? 3 - 11
32 + 42
3x + 4 y + m = 0 ，则 d
1，
∴ m +11 = ±5 ，即 m = -6 ，或 m = -16 ，也即
l 1：3x + 4 y - 6 = 0 ，或l 2：3x + 4 y -16 = 0 ．
设圆O ：(x - 3)2 + ( y - 3)2 = 9 的圆心到直线l 、l 的距离为 d 、 d ，则
1
1
2
1
2
d 1
= 3 ， d 2
= 1 ．
∴ l 1 与O 1 相切，与圆O 1 有一个公共点； l 2 与圆O 1 相交，与圆O 1
有两个公共点．即符合题意的点共 3 个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心O 1 到直线3x + 4 y - 11 = 0 的距离为 d ，则 d = 2 < 3 ．
∴圆O 1 到3x + 4 y - 11 = 0 距离为 1 的点有两个．
显然，上述误解中的 d 是圆心到直线3x + 4 y - 11 = 0 的距离， d < r ，只能说明此直线与圆有两个交点， 而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
练习 1：直线 x + y = 1 与圆 x 2 + y 2 - 2ay = 0 (a > 0) 没有公共点，则 a 的取值范围是
解：依题意有 > a ，解得- -
1 < a < - 1.∵ a > 0 ，∴ 0 < a < - 1.
练习 2：若直线 y = kx + 2 与圆(x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1有两个不同的交点，则 k 的取值范围是
.
解：依题意有
< 1 ，解得0 < k < 4
，∴ k 的取值范围是 3 (0, 4) . 3
3、 圆 x 2
+ y 2
+ 2x + 4 y - 3 = 0 上到直线 x + y +1 = 0 的距离为 （A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）4 个
的点共有（ ）．
a - 1
2 2 2 2 2k - 1
k 2 + 1
2
1 2 分析：把 x 2 + y 2 + 2x + 4 y - 3 = 0 化为(x +1)2
+ (y + 2)2
= 8 ，圆心为(-1，- 2)，半径为 r = 2 2 ，圆心
到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ，所以选 C ．
4、 过点 P (- 3，- 4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x -1)2
+ (y + 2)2
= 4 有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路． 解：设直线l 的方程为
y + 4 = k (x + 3)
即
kx - y + 3k - 4 = 0
根据 d ≤ r 有
整理得
≤ 2
3k 2 - 4k = 0
解得
0 ≤ k ≤ 4
．
3
类型五：圆与圆的位置关系
问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？
例 14、判断圆C : x 2 + y 2 + 2x - 6 y - 26 = 0 与圆C : x 2 + y 2
- 4x + 2 y + 4 = 0 的位置关系，
例 15：圆 x 2 + y 2 - 2x = 0 和圆 x 2 + y 2 + 4 y = 0 的公切线共有
条。
解：∵圆(x - 1)2 + y 2 = 1的圆心为O (1,0) ，半径 r = 1，圆 x 2 + ( y + 2)2 = 4 的圆心为O (0,-2) ，半径 r = 2 ，
1
1
2
2
∴ O 1O 2 = 5, r 1 + r 2 = 3, r 2 - r 1 = 1.∵ r 2 - r 1 < O 1O 2
< r 1 + r 2 ，∴两圆相交.共有 2 条公切线。
练习
1： 若圆 x 2 + y 2 - 2mx + m 2 - 4 = 0 与圆 x 2 + y 2 + 2x - 4my + 4m 2 - 8 = 0 相切， 则实数 m 的取值集合
是 .
2 2 k + 2 + 3k - 4
1+ k 2
1
解：∵圆(x - m )2 + y 2 = 4 的圆心为O (m ,0) ，半径 r = 2 ，圆(x + 1)2 + ( y - 2m )2 = 9 的圆心为O (-1,2m ) ，
1
1
2
半 径 r 2 = 3 ， 且 两 圆 相 切 ， ∴ O 1O 2 = r 1 + r 2 或 O 1O 2 = r 2 - r 1 ， ∴ = 5 或
{- 12 , - 5
, 0, 2}.
= 1， 解 得 m = - 12 或 5 m = 2 ，
或 m = 0 或 m = - 5
， ∴ 实 数 2
m 的 取 值 集 合 是
5 2
2：求与圆 x 2 + y 2 = 5 外切于点 P (-1,2) ，且半径为2 的圆的方程.
解： 设所求圆的圆心为 O (a , b ) ， 则所求圆的方程为 (x - a )2 + ( y - b )2 = 20 .∵ 两圆外切于点 P ， ∴ OP = 1
OO ，∴ (-1,2) = 1 (a , b ) ，∴ a = -3, b = 6 ，∴所求圆的方程为(x + 3)2 + ( y - 6)2 = 20 .
3 1
3
类型六：圆中的对称问题
例 16、圆 x 2 + y 2 - 2x - 6 y + 9 = 0 关于直线2x + y + 5 = 0 对称的圆的方程是
例 17 自点 A (- 3，3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C ：x 2 + y 2 - 4x - 4 y + 7 = 0 相切
（1） 求光线l 和反射光线所在的直线方程． （2） 光线自 A 到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点
A 的对称点 A '的坐标为(- 3，- 3)，其次设过 A '的圆C 的切线方程为
y = k (x + 3)- 3
根据 d = r ，即求出圆C 的切线的斜率为
k = 4
或 k = 3
3 4
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
图
4x - 3y + 3 = 0 或3x - 4 y - 3 = 0
最后根据入射光与反射光关于 x 轴对称，求出入射光所在直线方程为
4x + 3y + 3 = 0 或3x + 4 y - 3 = 0
光路的距离为 A ' M ，可由勾股定理求得 A 'M 2 = A 'C 2 - CM 2 = 7 ．
(m + 1)2 + (2m )2 (m + 1)2 + (2m )2 5
2 2 1 + t 2 1
?
1 2 ? y = s in , 说明：本题亦可把圆对称到 x 轴下方，再求解．
类型七：圆中的最值问题
例 18：圆 x 2 + y 2 - 4x - 4 y - 10 = 0 上的点到直线 x + y - 1 4 = 0 的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆(x - 2)2 + ( y - 2)2 = 18 的圆心为（2，2），半径 r = 3 2 ，∴圆心到直线的距离 d =
= 5 > r ，∴
直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d + r ) - (d - r ) = 2r = 6 .
例 19 (1)已知圆O ：(x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1， P (x , y ) 为圆O 上的动点，求 d = x 2 + y 2 的最大、最小值． (2)已知圆O ：(x + 2)2 + y 2 = 1 ， P (x , y ) 为圆上任一点．求
y - 2
的最大、最小值，求 x - 2 y 的最大、最
2
小值．
x -1
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法 1)由圆的标准方程(x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 ．
?x = 3 + cos ,
可设圆的参数方程为? y = 4 + sin , （是参数）．
则 d = x 2 + y 2 = 9 + 6 cos
+ cos 2
+16 + 8sin
+ sin 2
= 26 + 6 cos + 8sin = 26 +10 cos(-) （其中tan = 4
）．
3
所以 d max = 26 +10 = 36 ， d min = 26 - 10 = 16 ．
(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 等于圆心到原点的距离 d 1'
加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值 d
等于圆心到原点的距离 d 1'
减去半径 1．
所以 d 1 =
d 2 = +1 = 6 ．
-1 = 4 ．
所以 d max = 36 ． d min = 16 ．
(2) (法 1)由(x + 2)2 + y 2
= 1
得圆的参数方程： ?x = -2 + cos , ?
是参数． y - 2 则 x -1 = sin - 2 ．令 cos - 3 sin - 2
cos - 3
= t ， 得sin - t c os
= 2 - 3t ， sin(-) = 2 - 3t
10 2
32 + 42 32 + 42
2 - 3t 1 + t 2
3 - 3 5 3 ± 3 3 - 3 - 2 - m 5
5 5 5 ?
= sin(-) ≤ 1 ?
3 - 4
3 ≤ t ≤ 3 + 3 ．
4
3 + 所以t max =
4 3 - 3
， t min = 4
．
y - 2 即
x -1
的最大值为 4 ，最小值为 ． 4
此时 x - 2 y = -2 + cos
- 2 sin = -2 + 5 cos(+) ．
所以 x - 2 y 的最大值为-2 + y - 2
，最小值为-2 - ．
(法 2)设
x -1
= k ，则 kx - y - k + 2 = 0 ．由于 P (x , y ) 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由 d =
y - 2 = 1，得 k = ． 4 所以
x -1
的最大值为
4 ，最小值为 ． 4
令 x - 2 y = t ，同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值．
由 d =
= 1，得 m = -2 ± ．
所以 x - 2 y 的最大值为-2 + ，最小值为-2 - ．
例 20： 已知 A (-2,0) ， B (2,0) ， 点 P 在圆 (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4 上运动， 则 PA 2 + PB 2 的最小值
是
.
解：设 P (x , y ) ，则 PA 2 + PB 2 = (x + 2)2 + y 2 + (x - 2)2 + y 2 = 2(x 2 + y 2 ) + 8 = 2 OP 2 + 8 .设圆心为C (3,4) ， 则 OP min = OC - r = 5 - 2 = 3 ，∴ PA 2
+ PB 2
的最小值为2 ? 32 + 8 = 26 .
3 + 3 5 - 2k - k + 2
1+ k 2
3 + 3 3
3 3 5 u + 2
u 2
+1
练习：
1：已知点 P (x , y ) 在圆 x 2 + ( y - 1)2 = 1上运动.
y - 1
（1） 求
的最大值与最小值；（2）求2x + y 的最大值与最小值.
x - 2
y - 1
解：（1）设
x - 2
2k
= k ，则 k 表示点 P (x , y ) 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时， k 取得最大值与
y - 1 最小值.由 = 1，解得 k = ± ，∴ 的最大值为 ，最小值为- .
k 2 + 1
3 x - 2 3 3 （2） 设2x + y = m ，则 m 表示直线2x + y = m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时， m 取得最大值与最小
值.由
= 1，解得 m = 1 ± ，∴ 2x + y 的最大值为1 + 5 ，最小值为1 - .
2 设点 P (x , y ) 是圆 x 2 + y 2 = 1是任一点，求u =
y - 2 的取值范围．
x +1
分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替 x 、 y ，转化为三角问题来解决．
解法一：设圆 x 2 + y 2 = 1上任一点 P (cos
, sin )
则有 x = cos ， y = sin ∈[0 , 2)
sin - 2
∴ u =
cos +1 ，∴ u cos
+ u = sin
- 2
∴ u cos - sin
= -(u + 2) ．
即 u 2 + 1 sin(
-) = u + 2 （ tan
= u ）
(u + 2)
∴ s in(-) = ．
u 2
+1
又∵ sin(
-
) ≤ 1
∴ ≤ 1
解之得： u ≤ - 3
．
4 分析二： u = y - 2 x +1
的几何意义是过圆 x 2 + y 2 = 1上一动点和定点(-1 , 2) 的连线的斜率，利用此直线与圆 x 2 + y 2 = 1有公共点，可确定出u 的取值范围．
3 1 - m 5
5
?
解法二：由u =
d ≤ 1 ．
y - 2
x +1
得： y - 2 = u (x +1) ，此直线与圆 x 2 + y 2 = 1有公共点，故点(0 , 0) 到直线的距离
≤ 1
解得： u ≤ - 3
．
4
另外，直线 y - 2 = u (x +1) 与圆 x 2 + y 2 = 1的公共点还可以这样来处理：
? y - 2 = u (x +1) 由?x 2 + y 2
= 1 消去 y 后得： (u 2 +1)x 2 + (2u 2 + 4u )x + (u 2 + 4u + 3) = 0 ，
此方程有实根，故? = (2u 2 + 4u )2 - 4(u 2 +1)(u 2 + 4u + 3) ≥ 0 ，
3 解之得： u ≤ - ．
4
说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来 求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．
3、已知点 A (-2,-2), B (-2,6), C (4,-2) ，点 P 在圆 x 2 + y 2 = 4 上运动，求 PA 2 + PB 2 + PC 2 的最大值和最
小值.
类型八：轨迹问题
1
例 21、基础训练：已知点 M 与两个定点O (0,0) ， A (3,0) 的距离的比为 ，求点 M 的轨迹方程.
2
例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3），端点 A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
例 23 如图所示，已知圆O ：x 2 + y 2 = 4 与 y 轴的正方向交于 A 点，点 B 在直线 y = 2 上运动，过 B 做圆O 的切线，切点为C ，求?ABC 垂心 H 的轨迹．
?
分析：按常规求轨迹的方法，设 H (x , y ) ，找 x , y 的关系非常难．由于 H 点随 B ， C 点运动而运动，可考虑 H ， B ， C 三点坐标之间的关系．
解：设 H (x , y ) ， C (x ' , y ' )
，连结 AH ， CH ，
则 AH ⊥ BC ， CH ⊥ AB ， BC 是切线OC ⊥ BC ， 所以OC // AH ， CH // OA ， OA = OC ， 所以四边形 AOCH 是菱形．
?? y ' = y - 2,
所以 CH = OA = 2
，得??x '
= x .
又C (x ' , y ' )
满足 x '2
+ y '2
= 4 ，
所以 x 2 + ( y - 2)2 = 4(x ≠ 0) 即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析
图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
例 24 已知圆的方程为 x 2 + y 2 = r 2 ，圆内有定点 P (a , b ) ，圆周上有两个动点 A 、 B ，使 PA ⊥ PB ，求矩形
APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：如图，在矩形 APBQ 中，连结 AB ， PQ 交于 M ，显然OM ⊥ AB ， AB = PQ ，
在直角三角形 AOM 中，若设Q (x , y ) ，则 M (
x + a , 2 y +
b ) ．
2
2 2 2
2
1 由 OM + AM = OA ， 即
(
x + a )2 + (
y + b )2 + 1
[(x - a )2 + ( y - b )2 ] = r 2 ， 2
2 4
也即 x 2 + y 2 = 2r 2 - (a 2 + b 2 ) ，这便是Q 的轨迹方程．
解法二：设Q (x , y ) 、 A (x , y ) 、 B (x , y ) ，则 x 2 + y 2 = r 2 ， x 2 + y 2 = r 2 ．
1
1
又 PQ = AB 2 ， 即
2
2
1
1
2
2
(x - a )2 + ( y - b )2 = (x - x )2 + ( y - y )2 = 2r 2 - 2(x x + y y ) ．①
1
2
1
2
1 2
1 2
又 AB 与 PQ 的中点重合，故 x + a = x 1 + x 2 ， y + b = y 1 + y 2 ，即
(x + a )2 + ( y + b )2 = 2r 2 + 2(x x + y 1 y 2 ) ②
①＋②，有 x 2 + y 2 = 2r 2 - (a 2 +
b 2 ) ． 这就是所求的轨迹方程．
解法三：设 A (r cos
, r sin ) 、 B (r cos , r sin ) 、Q (x , y ) ，
由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有
x + a = r cos + r c os ，
①
y + b = r s in
+ r s in ，
②
又由 PA ⊥ PB 有
r s in - b r c os - a ? r s in - b
r c os - a
= -1 ③
联立①、②、③消去
、
，即可得Q 点的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 2r 2 - (a 2 + b 2 ) ．
说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．
本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三， 从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了 x 1 、 x 2 、 y 1 、 y 2 四个参数，故需列出五个方程； 而解法三中，由于借助了圆 x 2 + y 2 = r 2 的参数方程，只涉及到两个参数
、
，故只需列出三个方程便
可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．
练习：
2
圆与方程知识点整理
最新整理 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程 ()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点() 2220 x y r r +=≠ 过原点()()() 2222220 x a y b a b a b -+-=++≠圆心在x轴上()() 2220 x a y r r -+=≠ 圆心在y轴上()() 2 220 x y b r r +-=≠ 圆心在x轴上且过原点()() 2220 x a y a a -+=≠ 圆心在y轴上且过原点()() 2 220 x y b b b +-=≠ 与x轴相切()()() 2220 x a y b b b -+-=≠ 与y轴相切()()() 2220 x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()() 2220 x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ?
高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用
圆知识点总结及归纳
第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? ? + ? PB = PB = PA = PA = 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程: ( x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 二、一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (D 2 + E 2 - 4F > 0) 1. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆方程则 ? ? A = B ≠ 0 ? A = B ≠ 0 ? ? ?C = 0 ? ?C = 0 ?? D ? 2 ? E ?2 - 4 ? F > 0 ? D 2 + E 2 - 4 AF > 0 ? A ? A ? A ?? ? ? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。 3. D 2 + E 2 - 4F > 0 常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1. 判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小： d < r ? 点在圆内； d = r ? 点在圆上； d > r ? 点在圆外 2. 涉及最值：（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值 min max BN = BM = BC - r BC + r （2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值 min AN = r - AC max AM = r + AC 四、直线与圆的位置关系 1. 判断方法（ d 为圆心到直线的距离）：（1）相离? 没有公共点? ? < 0 ? d > r ；（2）相切? 只有一 个公共点? ? = 0 ? d = r ；（3）相交? 有两个公共点? ? > 0 ? d < r 。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1） 知识要点：①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径 r （2） 常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点 第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程 （1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当042 2 >-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ? --2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离 为2 2B A C Bb Aa d +++= ，则有相离与C l r d ?>； 相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 圆与方程 2、1圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2、2点与圆的位置关系： 1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上 d=r ； (2)点在圆外 d ＞r ； (3)点在圆内 d ＜r ． 2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2、3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心? ?? ??--2,2 E D C ，半径2 42 2F E D r -+= . 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点?? ? ? ?- - 2,2 E D . 当0422<-+ F E D 时，方程无图形（称虚圆）. 注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0 =B 且 ≠=C A 且 042 2 AF E D -+. 圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A 2、4 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 （1）若2 2 B A C Bb Aa d +++= ，0相离r d ； （2）0=???=相切r d ； （3）0>???<相交r d 。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组???=++++=++0 2 2 F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解 的个数来判断： （1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交； 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 圆与方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 圆梦教育中心 圆与方程知识点总结 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（ 此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 高一数学必修二圆与方程 知识点整理 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点()2220x y r r +=≠ 过原点()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切()()()22 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 直线和圆--知识总结 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程()()22 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，②利用平面几何性质 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 22 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()22 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()() ()2 2 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 04040 A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.22 40D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PB BN BC r ==- min PA AN r AC ==- max PB BM BC r ==+ max PA AM r AC ==+ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ?（2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程:()()222x a y b r -+-= 二、一般方程：() 2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2222000 04040A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ??????? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。3.22 40D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r ?点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离?没有公共点?0d r ?；（2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?=；（3）相交?有两个公共点?0d r ?>?<。 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点：①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 高中数学必修2知识点总结 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：2 22() ()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆2 22()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）220 0()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程：022 =++++F Ey Dx y x 2、圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； 椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个 交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 22 1=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<圆与方程知识点总结#(优选.)
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第四章 圆与方程知识点总结及习题答案
圆与方程知识点小结
高中数学圆与方程知识点
圆方程知识点总结典型例题
圆与方程知识点总结
高一数学必修二圆与方程知识点整理
直线和圆的方程知识点汇总
圆与方程知识点整理教学提纲
高中数学直线与圆的方程知识点总结
圆与方程知识点整理
高中数学必修2知识点总结：第四章_圆与方程
圆锥曲线与方程知识点详细