圆知识点总结及归纳

第一讲圆的方程
（一）圆的定义及方程
1、圆的标准方程与一般方程的互化
（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2
)2＝
D 2＋
E 2－4F
4
①当D 2
＋E 2
－4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E
2)为圆心，
1
2
D 2＋
E 2－4
F 为半径的圆；
②当D 2
＋E 2
－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E
2，即只表示一个点(－D 2，－E
2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，
因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy
的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. (三)直线与圆的位置关系
方法一：
方法二：
（四）圆与圆的位置关系
1 外离
2外切
3相交
4内切
5内含
（五）圆的参数方程
（六）温馨提示
1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：
（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝
122x x + ，y ＝122
y y
+ .
考点一：有关圆的标准方程的求法
圆()()()2220x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 .
【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(1，＋∞)
【例3】圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
【例4】圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
】已知圆的方程为()()()()
--+-+=，则圆心坐
12240
x x y y
标为
【变式2】已知圆C与圆()22
-+=关于直线y x
x y
11
=-对称，则圆C 的方程为
【变式3】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y ＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －3)2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫y －732
＝1
B ．(x －2)2＋
(y －1)2＝1
C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1
2
＋(y －1)2＝1
【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程.
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )
A .14＜m ＜1
B ．m ＜14或m ＞1
C ．m ＜1
4
D．m＞1
【例2】将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【例3】圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．
【变式1】已知点P是圆22
+++-=上任意一点，P点
C x y x ay
:450
关于直线210
+-=的对称点也在圆C上，则实数a=
x y
【变式2】已知一个圆经过点()
A、()
3,1
B-，且圆心在
1,3
--=上，求圆的方程.
320
x y
【变式3】平面直角坐标系中有()()()()
A B C D-四点，
0,1,2,1,3,4,1,2
这四点能否在同一个圆上为什么
【变式4】如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－
8,0)，则它的内切圆方程为________________．
组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
【例2】方程y=）
A. 一条射线
B. 一个圆
C. 两条射线
D. 半个圆
【例3】在ABC
∆中，若点,C
B的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中
线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（ ） A. 223x y += B. 224x y +=
C. ()2290x y y +=≠
D. ()2290x y x +=≠
【例4】 已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为1
2的
点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．
【变式1】 方程()2
111x y -=--所表示的曲线是（ ）
A. 一个圆
B. 两个圆
C. 一个半圆
D. 两个半圆
【变式2】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )
A ．x 2＋y 2＝32
B ．x 2＋y 2＝16
C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．x 2＋(y －1)2
＝16
【变式3】 如右图，过点M (－6,0)作圆C ：
x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．
【变式4】如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
考点四：与圆有关的最值问题
【例1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________
【例2】已知x，y满足x2＋y2＝1，则y－2
x－1
的最小值为________．【例3】已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是( )
B．1
【例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．
【变式1】P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．
【变式2】由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是( )
A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0)
D．(1,3)
【变式3】已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法
（1）形如u＝y－b
x－a
的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题
（2）形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值
问题；
（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： （其中d为圆心到直线的距离）
d r。