圆的知识点总结
圆知识点总结大全 小学
圆知识点总结大全小学一、圆的基本属性1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点（圆心）等距禨大于固定值（半径）的所有点的集合。
2. 圆的元素：圆由圆心、半径、周长、直径和弧度等元素构成。
3. 圆的圆心和半径：圆心是圆的中心点，通常用O表示；半径是圆心到圆上任何一点的距离，通常用r表示。
4. 直径和周长：直径是圆的任意两点之间经过圆心的线段的长度的两倍，通常用d表示；周长是圆的边界长度，通常用C表示，周长的计算公式为C=2πr。
二、圆的测量1. 圆的直径和半径的关系：直径是半径的两倍，即d=2r。
2. 圆周率π的概念：圆周率π是一个无理数，其值约为3.14159，它是圆的周长与直径之比，通常用π表示。
3. 圆的周长计算：圆周长的计算公式为C=2πr，其中r为圆的半径。
4. 圆的直径计算：直径可以通过周长或者半径计算得出，即d=2r或者d=C/π。
三、圆与其他几何图形的关系1. 圆与正方形、长方形的关系：正方形和长方形可以围成圆，圆的周长与正方形和长方形的周长相等时，它们互相等价。
2. 圆与三角形、四边形的关系：圆与三角形和四边形之间可以有外切圆和内切圆，圆可以包围外接三角形和外接四边形，也可以被内接三角形和内接四边形包围。
四、圆的应用1. 圆的面积：圆的面积是圆内部的平面区域大小，通常用A表示，计算公式为A=πr²。
2. 圆环的面积：圆环是指一个圆中去掉内圆后形成的区域，圆环的面积可以通过两个圆的面积计算得出。
3. 圆的角度与弧长的关系：圆的角度与弧长之间存在一定的对应关系，通常用弧度制中圆周角来表示。
4. 圆的应用实例：圆的应用包括钟表、轮胎、水泵、建筑设计等各个领域，圆的性质在日常生活中有着广泛的应用。
通过本文的总结，相信学生们能够全面掌握关于圆的基本概念、测量方法、与其他几何图形的关系以及应用领域。
掌握这些知识将对学生今后学习中学阶段的几何学知识打下坚实的基础。
同时，学生们也能更好地理解和应用圆的概念，从而更好地理解世界和解决实际问题。
圆的知识点总结
圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
1推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结一、圆的基本定义1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆心是圆的中心点，所有圆上的点到圆心的距离都等于半径。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。
4. 直径（d）：通过圆心的最长弦，是半径的两倍长度。
5. 弦（c）：连接圆上任意两点的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定的弧。
10. 切线（t）：与圆只有一个公共点的直线。
二、圆的性质1. 所有半径的长度相等。
2. 直径是圆内最长的弦。
3. 圆的任意两点之间的弧，优弧总是大于劣弧。
4. 切线与半径相交于圆外的一点，形成直角。
5. 圆周角定理：圆周上任意一点引出的两条半径与圆周所形成的角，其大小是圆心角的一半。
6. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（A）：A = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360) × πr²，其中θ是扇形的中心角的度数。
4. 弓形面积：S = (θ/360) × πr² - (θ/360) × rθ/2，其中θ是弓形的中心角的度数。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：相交、相切、相离。
2. 圆与圆的关系：内含、外离、相交、内切、外切。
3. 圆的切线问题：求切线长度、切点坐标等。
4. 圆的弦长问题：根据圆心距、半径、弦心距等求弦长。
5. 圆的面积问题：根据圆的半径、直径、周长等求面积。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，旋转圆规即可画出圆。
2. 作圆的切线：通过圆外一点作圆的切线，需要利用圆心到切点的垂线与切线垂直的性质。
3. 作圆的中垂线：连接圆上任意两点，作其中点的垂线，即为圆的中垂线。
圆的知识点总结
圆的相关知识点1、圆心：圆中心一点叫做圆心。
用字母“O"来表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r"来表示.画圆时，圆规两脚间的距离就是半径.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。
直径是圆中最长的线段。
2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
3．在同一个圆内，所有的半径都相等,所有的直径都相等。
在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为:d＝２r r ＝d÷24、正方形中画最大的圆：先画正方形的两条对角线,交点就是圆心,再以边长的一半作半径画圆.边长也就是圆的直径。
5、圆中画最大的正方形：先画两条互相垂直的直径，直径和圆相交的四个点连接起来就成了一个圆。
在长方形中画最大的圆，宽就是圆的直径。
6、扇形：由两条半径和一段弧围成的图形就是扇形.顶点在圆心的角是圆心角。
圆上两点间的一段叫弧。
7、在同一个圆中,扇形的大小与圆心角的大小有关.在不同的圆中，扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。
8．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数.我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
圆周率是一个无限不循环小数.在计算时，π取3。
14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.周长是直径的π倍，是半径的2π倍。
6．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 周长等于直径乘π，等于半径乘2π。
直径等于周长除以π，或等于半径乘2，半径等于周长除以π再除以2，或等于直径除以2。
圆的直径、半径扩大或缩小几倍,周长也扩大或缩小相同的倍数，周长、直径、半径间的变化相同。
两个圆的直径、半径和周长之间的倍数关系完全相同。
7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积.8．把一个圆割拼成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r＝πｒ²，要求圆的面积必须知道圆的半径（或知道半径的平方）。
圆知识点归纳总结
圆知识点归纳总结圆是平面几何中的重要图形，具有许多特殊的性质和应用。
在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆的定义、性质、公式、相关定理等内容。
下面，我们将对圆的知识点进行归纳总结。
一、圆的定义和性质1.圆的定义圆是平面上到一个固定点距离不超过一定值的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径，通常以字母r表示。
2.圆的性质(1) 任意一条弦所对应的圆心角相等。
(2) 圆的半径垂直于弦，且以弦的中点为端点。
(3) 圆内接角在同一个弧上的两个弦等于一半的圆周角。
(4) 圆周角等于它所对的弧的一半。
(5) 等圆周角的两个弧所对的圆心角相等。
(6) 相交弦的外接角相等。
(7) 圆内切于另一圆的直径的两圆相交。
二、圆的公式和关系1. 圆的周长和面积(1) 圆的周长：C=2πr(2) 圆的面积：S=πr²2. 圆的弧长和扇形面积(1) 圆的弧长公式：L=2πr(α/360)，其中α为圆心角(2) 圆的扇形面积公式：A=1/2r²α，其中α为圆心角的度数3. 圆与直线、圆与直线的位置关系(1) 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交(2) 圆与直线的位置关系：圆内切、圆外切、相交三、圆的相关定理和推论1. 弧长定理(1) 弧长定理1：圆的所有圆心角的度数和一定为360°(2) 弧长定理2：如果一个角的角度是一个圆的圆周角的1/2，那么这个角的对应弦长就是这个圆的半径。
2. 弦长定理(1) 弦长定理1：两条相等的弦所对的两条圆弧是相等的。
(2) 弦长定理2：相等弦等，相等弦所对的字母也相等。
3. 圆心角定理(1) 圆心角定理：这个角的角度是这个圆弧的角度的一半。
4. 圆的切线定理(1) 切线定理1：切线与半径垂直，且切点处的切线与圆的切线平行。
(2) 切线定理2：切线与半径的成正比，切线的长度等于切点到圆心的距离。
四、圆的相关应用1. 圆的综合应用(1) 圆的几何问题：例如圆心角、圆周角、弧长等问题(2) 圆的物理应用：例如汽车行驶的弧形路径、转动物体的圆周运动等(3) 圆的工程应用：例如建筑中的圆形构造、机械运动中的圆弧运动等2. 圆的新颖应用(1) 圆的信息技术应用：例如在计算机编程中的圆的相关算法和数据结构(2) 圆的工业应用：例如在制造工艺中的圆形零件加工、在生产中的圆形产品设计等以上就是圆的相关知识点的归纳总结。
小学数学中的圆知识点总结
小学数学中的圆知识点总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是平面上与给定点距离相等的点的集合。
给定点叫做圆心，距离叫做半径。
用圆形符号表示为⭕。
例如，在坐标系中，圆的方程可以表示为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
2. 圆的性质（1）圆的直径是经过圆心两点的线段，长度等于圆的半径的两倍。
（2）圆心到圆上任意一点的距离都是相等的，等于半径的长度。
（3）圆被分成的两部分叫做扇形，扇形的两边是圆的两条半径。
（4）圆的周长叫做圆的周长，通常用C表示，可以用公式C=2πr计算出来，其中r是半径的长度，π是圆周率，约等于3.14。
二、圆的相关图形1. 圆的切线给定一个圆和一点P在圆外，通过点P有且仅有一条与圆相交于P的直线，这条直线叫做圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
2. 圆的切点切线与圆相切的点叫做圆的切点。
圆的切点与圆心连线垂直于切线。
3. 圆内接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
圆内接四边形的两组对边和相等。
4. 圆外接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆的圆周上，那么这个四边形叫做圆外接四边形。
圆外接四边形的对角线相交于一点，这个点叫做四边形的对角点。
三、圆的相关定理和公式1. 圆的面积圆的面积叫做圆的面积，一般用S表示，可以用公式S=πr²计算出来。
2. 圆心角的性质（1）圆心角的度数等于所对弧的中心角的角度。
（2）一个圆的圆心角的度数等于圆的周长除以半径的长度。
3. 圆的圆心角的度数和弧长的关系（1）圆心角的度数等于弧长的度数。
（2）圆心角的弧度数等于弧长除以半径的长度。
4. 弧长和扇形面积的计算（1）弧长的计算可用公式L=2πr计算，其中r是半径的长度。
（2）扇形面积的计算可用公式S=πr² × (θ/360)计算，其中r是半径的长度，θ是圆心角的度数。
圆的概念知识点总结
圆的概念知识点总结一、基本概念1. 圆的定义圆是一个平面上的一个点到另一个点距离相等的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径。
2. 圆的元素圆的元素有两个，一个是圆心，一个是半径。
圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
3. 圆的属性圆的属性有几个重要的特点，比如圆半径、圆心、圆直径、圆周长、圆面积等。
二、圆的相关公式1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界长度，它可以通过公式2πr来计算，其中r表示圆的半径，π表示圆周率，它的值约为3.14。
2. 圆的面积圆的面积是指圆内部的部分，它可以通过公式πr^2来计算，其中r表示圆的半径。
3. 圆的直径圆的直径是指圆的两个相对的边界之间的距离，它可以通过圆的半径乘以2来计算。
4. 圆的弧长圆的弧长是指圆周上的一部分长度，它可以通过圆的半径乘以弧度来计算。
5. 圆的扇形面积圆的扇形面积是指圆的一部分面积，它可以通过圆的半径乘以弧长除以2来计算。
6. 圆的切线圆的切线是指与圆相切的一条直线，在接触点处与圆相切且与圆的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 圆的同位角定理同位角是指平行线与一条直线相交时所成的对应角，对应角相等，角的度数相等。
2. 圆的相交角定理相交角是指两个相交直线所成的四个角，相邻角相等。
3. 圆的正切定理圆内一点的切线长度等于这个点到圆心的距离乘以切点到切线之间的夹角的正切值。
4. 圆的切线定理切于圆上的直线与半径的夹角等于直线与半径的切线夹角的一半。
5. 圆的弦切定理圆内一点的切线长的平方等于这个点到圆心的距离的平方减去弦长的平方。
四、圆的相关性质1. 圆的切线垂直定理相切于同一个圆的两条切线相互垂直。
2. 圆心角和弦定理圆心角是指以圆心为端点的两条半径所成的角，它的度数等于其所对的圆周弧所对的圆心角。
3. 圆的切线与半径定理切于圆的切线和该圆上的半径垂直。
4. 圆的内切定理在一个三角形中，内切圆的半径等于周长与半周长之差。
以上就是关于圆的基本概念、公式、定理和性质的一些知识点总结，希望对大家有所帮助。
圆的知识点归纳总结大全
圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为 r ，OP=d。
d< r（ r d= rd > r（r > d）< d）点 P在⊙O内点 P在⊙O上点 P在⊙O外7、（ 1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。
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圆的知识点总结(一)圆的有关性质[知识归纳]1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆;弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
２. 圆的对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;圆具有旋转不变性。
３. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径);④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
６. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
※８. 轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。
（1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆；（2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
[例题分析］例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。
图1①若AB＝，ＯN=1，求MN的长;②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。
解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°∵ON=OA·cos∠ＡON=ＯM·cｏs6０°=∴说明：如图1，一般地,若∠AＯB＝２n°，OM⊥AB于N,ＡO＝R,ON＝h,则AB＝２Rsin n°＝2htaｎn°=例2．已知:如图2，在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=２5°，以点Ｃ为圆心、ＡC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。
图2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。
解法一:（用垂径定理求）如图2－1,过点C作CE⊥AＢ于点E,交于点Ｆ。
图２-1∴又∵∠ACＢ=９0°,∠B=25°，∴∠FCA=2５°∴的度数为25°,∴的度数为５0°。
解法二:（用圆周角求)如图2－2,延长AC交⊙C于点E,连结ED图２－2∵AE是直径,∴∠ＡDＥ=９0°∵∠ACＢ=90°,∠B=25°，∴∠Ｅ＝∠B=25°∴的度数为5０°。
解法三:（用圆心角求）如图2－３，连结ＣD图2-3∵∠ACＢ＝90°,∠Ｂ＝25°,∴∠A＝６5°∵CA＝ＣＤ,∴∠ADC=∠A=65°∴∠AＣD＝5０°，∴的度数为5０°。
例3. 已知：如图3，△ＡBC内接于⊙Ｏ且AB＝ＡＣ,⊙O的半径等于6cm,Ｏ点到ＢC的距离OD等于2cm,求ＡB的长。
析:因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部,所以需分两种情况进行讨论。
略解:（１)假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。
如图3，由AB＝AC,可知点Ａ是优弧的中点，因为OD⊥BＣ且AB＝ＡC,根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO ∵BO=６，OD=2∴在Rｔ△ADB中,AＤ＝DO+ＡO＝6+2＝8∴图3图3－１(2)若∠A是钝角,则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Ｒt△ADB中，AD=AO-DO＝6-2=4∴ＡB综上所述ＡB＝小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位置关系,防止丢解或多解。
例4. 已知：如图4,ＡB是⊙Ｏ的直径,弦CD⊥ＡB,F是CD延长线上一点，AF交⊙Ｏ于Ｅ。
求证:ＡE·EF＝ＥC·EＤ图4分析：求证的等积式AE·EF＝ＥC·ED中，有两条线段EＦ、ＥD在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中,欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC,设法证明△FEＤ∽△ＣEＡ即可。
证明：连结AC∵四边形DEAC内接于圆∴∠FDE＝∠CAE,∠ＦEＤ＝∠DCA∵直径AB⊥CD,∴∴∠ＤＣA=∠ＣEA，∴∠FＥD=∠CEA∴△FED∽△CEＡ∴,∴ＡＥ·EF＝ＥC·ＥD小结:四边形内接于圆这一条件,常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时,千万不要忽略这一重要条件。
例５．已知:如图5,ＡＭ是⊙O的直径,过⊙O上一点B作ＢN⊥AM,垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CＤ交ＡM于点Ｅ。
图5(1）如果CD⊥AＢ，求证：EＮ=ＮM；（2)如果弦CD交ＡB于点Ｆ，且ＣＤ＝AＢ,求证CE2=EＦ·ＥD；（3）如果弦CD绕点C旋转,并且与AB的延长线交于点F,且CD=ＡB,那么(2）的结论是否仍成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
证明：(1)连结BM(如图5-1)图5－1∵AM是直径，∴∠ABＭ＝90°∵CD⊥AB，∴BM∥CＤ∴∠ＥCN＝∠MＢN，又ＡM⊥BC，∴ＣN=BＮ∴Ｒt△CEN≌Ｒt△BMN,∴EN＝ＮM（2)连结BD，BＥ,AC(如图５-2)图5-2∵点E是BC垂直平分线ＡM上一点,∴BE=EC∵CＤ=AB，∴∴∠AＣD＝∠BＤＣ,又AB＝AC，AＥ＝AE∴△ＡBE≌△ACE，∴∠ABE=∠ACＤ＝∠BDＣ∵∠ＢED是公共角，∴△BEＤ∽△FEB∴BＥ２=ＥF·ED,∴CE２=EＦ·EＤ(3)结论成立。
如图5－3图５-3证明：仿（２）可证△ABＥ≌△ACＥ∴BＥ=CＥ,且∠ＡBE=∠ＡCＥ又∵AB＝CD，∴∴∠ACB=∠DBC，∴BＤ∥AC∴∠ＢDE+∠AＣE=１80°而∠FBE＋∠ＡBE=1８0°∴∠BDＥ＝∠ＦＢE，而∠BED是公共角∴△BED∽△FEB∴ＢE２＝EF·ED，∴CＥ2=EＦ·ED（二）直线与圆的关系１.直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数０１ 2公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系２.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3. 切线的性质(1)圆的切线垂直于经过切点的半径；(2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(３)推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于切线；②经过切点;③经过圆心。
4．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
5．弦切角定理(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；(２)推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等;（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
6. 和圆有关的比例线段(１)相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等;（２)推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项;（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;（4)推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
7. 三角形的内切圆(1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；(2）作图:作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。
[例题分析]例6. 已知:如图6,AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D, ＤE⊥AB于E。
图6求证:∠CDB=∠ＥDB。
分析:由AB是⊙O的直径,联想到直径的三个性质：图6-1 图６-2 图6－3(1）直径上的圆周角是直角。
若连结AＤ，则得Rt△ＡBD；（2)垂径定理。
如图６-２，若延长ＤＥ交⊙O于F,则可得DE＝EF，；(3）过直径外端的切线与直径垂直。
如图6-3，若过B点作⊙O的切线ＢM，则AB⊥BＭ。
由CＤ是⊙O的切线，联想到切线的三个性质：(1)过切点的半径垂直于切线。
如图6－1,若连结OＤ,则OD⊥CＤ；(2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
若连结AD,则∠CDB＝∠A；(3)切割线定理。
如图6,CD2=CB·ＣA。
由DE⊥AB于E，联想到以下一些性质:(１)Rt△DEＢ中两锐角互余，即∠EDＢ＋∠EＢD=90°;(2)垂径定理。
如图6－2,只要延长ＤE交⊙Ｏ于Ｆ，则可得到相等的线段，相等的弧；(3）构造与射影定理相关的基本图形。
即连结ＡD，则可得到△ADB是直角三角形，DＥ是斜边上的高,又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形,还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。
证明:连结AＤ,如图6，∵AB是直径,∴∠AＤB＝９0°。
∵DＥ⊥AB,∴∠EＤB＝∠A∵CＤ是⊙Ｏ的切线,∴∠CＤB=∠A,∴∠ＣDB=∠EDB此例题还有许多证法，比如连结ＯＤ，如图6－1，利用切线的定义；又比如延长DE交⊙O于Ｆ，连结BF,如图6－2,利用垂径定理;还可以过点B作⊙O的切线交CD于点M，如图6－3,利用切线长定理,等等,这诸多证法,读者不妨试证之。