九年级数学圆的知识点总结大全
初三《圆》知识点及定理
高图教育数学教研组卢老师专用《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点d R r ；外切（图 2）有一个交点d R r ；相交（图 3）有两个交点R r d R r ；内切（图 4）有一个交点d R r ；内含（图 5）无交点d R r ；d dR r R r图 1图 23、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
dR r图3d rRdR图4r二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点 C 在圆内；2、点在圆上d r点 B 在圆上；A d3、点在圆外d r点 A 在圆外；r OBd三、直线与圆的位置关系C1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；rd d=r r d图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB是直径②AB CD③CE DE④ 弧BC弧BD⑤ 弧AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
九年级圆知识点总结
九年级圆知识点总结圆是几何学中最基本的图形之一，由于其特殊的性质和重要的应用，是中学数学中一个重点和难点的内容。
以下是针对九年级学习的圆知识点总结，包括圆的定义、性质、常见的定理和应用。
一、圆的定义及基本概念1. 圆的定义：圆是平面上与一个固定点距离恒定的点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、弦、弧、切线等。
二、圆的性质1. 圆的周长公式：C=2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径。
2. 圆的面积公式：S=πr²，其中S是圆的面积，r是圆的半径。
3. 内接圆和外接圆：内接圆是一个圆，恰好与一个多边形的所有顶点相切；外接圆是一个圆，恰好与一个多边形的所有边相切。
4. 相交圆的性质：两个相交圆的交点到两个圆心的距离相等。
两个相交圆的交点确定的两条弦相互垂直的充要条件是两个弦的弧度相等。
三、常见的圆的定理1. 切线定理：切线与半径垂直。
2. 弦切角定理：弦切角等于弦对应的弧的一半。
3. 弦弧角定理：弦弧角等于弦对应的弧的一半。
4. 弦角定理：弦角等于其对应的弧缺角的一半。
5. 弧长定理：弧长等于圆心角的弧度数除以2π乘以圆的周长。
四、圆的应用1. 圆的引理：如欲使直线在给定的点上下夹定一个给定的角，只需作两条通过该点的圆，并使直线分别与两圆相切即可。
2. 圆的内切与外切：两个圆相切，其中一个圆在另一个圆内部，称为内切；两个圆相切，其中一个圆在另一个圆外部，称为外切。
3. 勾股定理的圆证法：利用圆的性质，可以简化勾股定理的证明过程。
4. 圆柱、圆锥和圆球的体积计算：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中V是体积，r是底面半径，h是高；圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中V是体积，r是底面半径，h是高；圆球的体积公式为V=4/3πr³，其中V是体积，r是半径。
以上只是关于九年级圆的知识点的简要总结，实际上圆还有许多其他的性质、定理和应用，需要通过练习和实际问题的解决来进一步加深理解和掌握。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结一、圆的基本定义1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆心是圆的中心点，所有圆上的点到圆心的距离都等于半径。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。
4. 直径（d）：通过圆心的最长弦，是半径的两倍长度。
5. 弦（c）：连接圆上任意两点的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定的弧。
10. 切线（t）：与圆只有一个公共点的直线。
二、圆的性质1. 所有半径的长度相等。
2. 直径是圆内最长的弦。
3. 圆的任意两点之间的弧，优弧总是大于劣弧。
4. 切线与半径相交于圆外的一点，形成直角。
5. 圆周角定理：圆周上任意一点引出的两条半径与圆周所形成的角，其大小是圆心角的一半。
6. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（A）：A = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360) × πr²，其中θ是扇形的中心角的度数。
4. 弓形面积：S = (θ/360) × πr² - (θ/360) × rθ/2，其中θ是弓形的中心角的度数。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：相交、相切、相离。
2. 圆与圆的关系：内含、外离、相交、内切、外切。
3. 圆的切线问题：求切线长度、切点坐标等。
4. 圆的弦长问题：根据圆心距、半径、弦心距等求弦长。
5. 圆的面积问题：根据圆的半径、直径、周长等求面积。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，旋转圆规即可画出圆。
2. 作圆的切线：通过圆外一点作圆的切线，需要利用圆心到切点的垂线与切线垂直的性质。
3. 作圆的中垂线：连接圆上任意两点，作其中点的垂线，即为圆的中垂线。
九年级圆知识点归纳总结
九年级圆知识点归纳总结圆是数学中的一个基本几何概念，在九年级的几何学学习中占据重要的地位。
了解和掌握圆的相关知识点对于解决与圆相关的问题至关重要。
本文将对九年级圆的知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。
一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是一个平面上所有到圆心的距离都相等的点的轨迹。
2. 圆的要素：圆心、半径。
3. 圆的性质：- 圆上的任意一点到圆心的距离都相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆周上的任意一点至邻近点的距离之和，也可以通过公式C=2πr计算（其中C表示圆的周长，r表示半径）。
- 圆的面积是圆内所有点构成的区域，可以通过公式A=πr²计算（其中A表示圆的面积）。
二、圆与直线的关系1. 切线：切线是与圆相切于一点的直线，且与半径垂直。
2. 弦：弦是圆上任意两点所确定的线段。
3. 弧：弧是圆周上两点之间的一段弧线。
4. 弧度与弧长的关系：弧度是角度的一种衡量单位，可以用弧长与半径之比来表示。
弧度制中一周对应的弧长等于圆的周长，即2πr。
三、圆的角关系1. 圆心角：由半径的两条边所夹的角称为圆心角。
2. 圆周角：由两条弧线所夹的角称为圆周角。
3. 圆心角与弧度的关系：圆心角的度数等于它所对应的弧度的长度。
四、圆的相交关系1. 相离：两个圆没有任何交点。
2. 外切：两个圆相切于一点，且其中一个圆位于另一个圆的外部。
3. 内切：两个圆相切于一点，且其中一个圆位于另一个圆的内部。
4. 相交：两个圆有两个交点。
五、圆的应用1. 利用圆求解问题：通过已知条件和圆的性质，可以解决与圆相关的实际问题，如求解圆的面积、周长等。
2. 圆的建模：在数学建模中，圆的概念具有广泛应用，可用于描述自然界中的许多现象和实际问题，如行星运动、电子轨道等。
六、圆的常见误区与解决方法1. 误区一：将弦与半径混淆。
解决方法：理解弦是由圆上的两点所确定的线段，半径是由圆心到圆上一点的线段。
九年级圆的知识点详细总结归纳
九年级圆的知识点详细总结归纳一、圆的定义和关键概念圆是一个平面上的简单闭曲线，由与一个固定点的所有点到该点的距离相等的点组成。
下面是一些重要的圆的关键概念：1. 圆心 (Center)：圆心是圆的中心点，标记为O。
2. 圆周 (Circumference)：圆的周长，也称为圆周，用C表示。
3. 直径 (Diameter)：直径是通过圆心的、连接圆上两点的线段。
直径的长度是圆直径的两倍。
直径用d表示。
4. 半径 (Radius)：半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
半径的长度是直径的一半。
半径用r表示。
5. 弧 (Arc)：圆上两点之间的一段路径叫做弧。
6. 弦 (Chord)：圆上两点之间的线段叫做弦。
7. 切线 (Tangent)：切线是切于圆的一条直线，且与圆仅有一个交点。
二、圆的性质和定理圆的性质和定理是研究圆的重要基础，下面是一些常见的圆的性质和定理：1. 直径定理：直径是最长的弦，且它把一个圆分成两个半圆。
2. 弧长定理：一个圆的弧长是根据圆的半径和弧度来计算的。
弧长等于半径乘以弧的弧度。
3. 弧心角定理：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度等于弧长与半径的比值。
4. 切线定理：切线与半径的关系是垂直。
5. 切线和半径的性质：当一条直线与圆相切时，与切点相连的半径垂直于切线。
6. 切割定理：如果一个弦垂直于一个半径，那么它将被切分成两个互为正方向的弧。
7. 切割角度定理：互不相交的弧它们对应的圆心角相等，相交的弧，它们对应切线切割的角相等。
8. 重合弧定理：在同一个圆上，两个重合的弧对应的圆心角相等。
三、圆的应用圆在日常生活和实际问题中有很多应用，下面是一些常见的圆的应用：1. 圆的测量：通过测量圆的直径或半径可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的构造：通过给定圆的半径或直径可以构造圆。
3. 圆的几何关系：圆与直线、圆与圆之间有各种几何关系，如相离、相切、相交等。
4. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学广泛应用于描述物体的圆周运动和周期性运动。
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
九年级初三 圆 知识点大汇总
九年级初三圆知识点大汇总考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性，圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距，从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结圆是九年级数学中的一个重要内容，它具有独特的性质和广泛的应用。
下面我们来对九年级圆的知识点进行一个全面的总结。
一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄为圆心坐标，＄r$为半径。
二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2、直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）。
4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
6、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，＄90^｛＼circ}＄的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设点$P$到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：点$P$在圆外＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＞ r$点$P$在圆上＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＝ r$点$P$在圆内＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＜ r$2、直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：直线与圆相离＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＞ r$，此时直线与圆没有公共点。
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r B
一、知识回顾
第四章：《圆》
圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2
圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径）
二、知识要点一、圆的概念
集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3
、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点 O 为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A
d
2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O
d 3、点在圆外
d r
点 A 在圆外；
C
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 d r 无交点；
2、直线与圆相切 d r 有一个交点；
3、直线与圆相交
d r
有两个交点；
r
d
d=r
r
d
C
D
四、圆与圆的位置关系
外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5）
无交点
d R r ；
d
d
d
R
r
R
r
R r
图 1
图2
图 3
d
d
r
R
r
R
图4
图 5
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其
它 3 个结论，即： ① AB 是直径
② AB CD
③ CE DE
④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧
AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
A
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
C
D
即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD
O
O
∴弧 AC 弧BD
A
B
E
B
六、圆心角定理
顶点到圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定
理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，
E
只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：①AOB DOE ；②AB DE ；
O
③OC OF ；④弧BA 弧BD D
A
C
B
七、圆周角定理
C
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
B O
即：∵AOB和ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角
A ∴AO
B 2 ACB
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，
的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵ C 、 D 都是所对的圆周角B ∴ C D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所
对的弦是直径。
D C 相等的圆周角所对
O
A
C
对的弧是半圆，所
即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵ C 90 B O A ∴ C 90 ∴ AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三
形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB B
C
角形是直角三角
A
O
∴△ABC 是直角三角形或 C 90
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
F
即：在⊙O 中，
D
C
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴
DAE C C BAD 180
B
B D 180
A E
九、切线的性质与判定定理
（1））切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN OA 且MN 过半径OA 外端
∴MN 是⊙ O 的切线
O
（2））性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切
M A N
点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ PA、PB 是的两条切线
B
∴PA PB
PO平分BPA O
P
A
十一、圆幂定理
（1））相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘即：在⊙ O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，
∴PA PB PC PD
D
B O
积相等。
P
C
A
C
（2））推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线
段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ，B
O E A
D
∴CE 2AE BE
1 2 1 1
2 2
（3） ） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和
割到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线
P
A
线，切线长是这点
E
D
O
C
B
∴ PA 2
PC PB
（4） ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
（如上图）。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴ PC PB PD PE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这
A
两个圆的的公共弦。
如图： O 1O 2 垂直平分 AB 。
O1
O2
即：∵⊙ O 1 、⊙ O 2 相交于 A 、 B 两点
B
∴ O 1O 2 垂直平分 AB
A B 十三、圆的公切线
C O1
两圆公切线长的计算公式：
O2
（1）
）公切线长： Rt O O C 中， AB 2
CO 2
O O 2
CO 2 ；
（2）
）外公切线长： CO
2 是半径之差； 内公切线长： CO 2 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）
）正三角形
在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关计算在 Rt BOD 中进
C
O
行
：
OD : BD : OB 1: 3 : 2 ；
B
D
A
B C
（2）
）正四边形
同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE 中 进 行 ，
OE : AE : OA 1:1: 2 ：
A
E
D
（3）
）正六边形
O
O
C
同理，六边形的有关计算在 Rt OAB 中进行， AB : OB : OA 1: 3 : 2 .
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
A
1、扇形：（1）弧长公式： l
（2）扇形面积公式： n R
； 180 n R
2
1 S
lR 360
2
O
S
l
B
n ：圆心角
R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1） ） A 圆柱侧面展开
图
D
A
D1
S 表 S 侧 2S 底 = 2 rh
2 r 2
母线长
底面圆周长
B
C1
B 圆柱的体积： V
r 2
h
B1
（2） ） A 圆锥侧面展开图
S
S
S = Rr
r
2
表
侧
底
O
B 圆锥的体积： V
1 r 2
h
3
R
C
A
r
B。