2023年高考数学乙卷文科试题及答案详解
2023全国乙卷文科数学解析
2023全国乙卷文科数学解析嘿，各位小伙伴！今天咱们一起来瞧瞧2023全国乙卷文科数学这份试卷哈。
这可是咱们很多人都关注的重要考试卷子呢。
一、选择题部分这部分题目啊，主要是考查大家对基础知识的掌握和运用能力。
比如说有些题目是关于函数的，函数这玩意儿可是数学里的常客啦。
它会问你函数的定义域、值域、单调性这些。
就拿其中一道题来说，它给出一个具体的函数表达式，让你判断它在某个区间上的单调性。
这时候呢，咱们就得把学过的那些判断单调性的方法拿出来啦，像求导啊什么的。
要是函数的导数在那个区间大于零，那就是单调递增；小于零呢，就是单调递减。
这部分题目虽然看着不难，但也得细心，稍不注意就可能掉进陷阱里咯。
二、填空题部分填空题就相对灵活一些啦。
有几何方面的，也有数列方面的。
像几何题可能会让你求某个图形的面积或者线段的长度。
这就需要咱们把几何图形的性质和相关公式记清楚。
比如说求三角形的面积，那得知道底和高，要是给的条件不是直接的底和高，那就得通过一些其他条件去转化啦。
数列题呢，可能会让你根据给出的前几项找规律，然后写出通项公式。
这就考验咱们的观察能力和逻辑思维啦，得从那些数字里找出隐藏的规律。
三、解答题部分这可是重头戏哈。
一般会有三角函数、数列、立体几何、概率统计、解析几何还有函数导数这些题型。
三角函数题呢，通常会让你化简某个三角函数表达式，然后求它的最值或者周期啥的。
这就需要咱们把三角函数的那些公式背得滚瓜烂熟，然后灵活运用。
数列题可能会让你证明某个数列是等差或者等比数列，再求它的通项公式和前n项和。
这就需要咱们掌握好数列的相关定义和求和方法啦。
立体几何题，那就是考查咱们的空间想象能力啦。
它会给你一个立体图形，让你求线面角、面面角或者证明一些线面、面面的位置关系。
这时候呢，咱们可以通过建立空间直角坐标系，用向量的方法来解决，这样会比较方便。
概率统计题呢，和生活实际联系比较紧密。
它会给你一些数据，让你求概率、期望、方差这些。
2023年全国高考文科数学乙卷12题
2023年全国高考文科数学乙卷12题12.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1B.()1,2-C.()1,3D.()1,4--【答案】D【解析】【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1212121212122,2AB y y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.。
2023高考压轴卷——数学(文)(全国乙卷)含解析
KS5U2023全国乙卷高考压轴卷数学试题（文科）（考试时间：120分钟满分：150分）第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}M =-，{R |1}N x x =∈>，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A.(,1)-∞B.(,1]-∞C.{1,0}- D.{1,0,1}-2.设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（）A.B.4C.D.3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>0y ±=，则双曲线的离心率为（）A.B.4C.2D.154.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s ，如果s 是奇数，则将其乘3加1；如果s 是偶数，则将其除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s 的值为5，则输出i 的值为（）A.4B.5C.6D.75.若1:310l x my --=与23(2)31:0m x l y +-+=是两条不同的直线，则“1m =”是“12l l ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若1020S =，则56a a +=（）A ．0B ．2C ．4D ．87.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）A.16B.14C.13D.128.已知角π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，角()0,2πα∈，α终边上有一点()cos ,cos θθ，则α=（）．A.θB.π2θ+ C.π4D.5π49．已知函数()e xf x x =，若()12f x ax a ≥-恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．121e 2-B ．e 1+C ．2eD ．e 4+10.抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交抛物线C 的准线l 于M ，N 两点，MN =，则直线AF 的斜率为（）A.1±B.C.D.11.设5log 15a =，7log 21b =，252c =，则（）A.b a c << B.c<a<b C.c b a<< D.a c b<<12.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，P 为该三棱柱表面上一动点，若1CP B P =，则P 点的轨迹长度为（）A. B.C.D.第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把KS5U 答案填在答题卡上的相应位置．13.已知向量()1,2AB =-，()2,5B t t C =+ ，若A 、B 、C 三点共线，则t =_____．14.如图，圆柱1OO 的轴截面是正方形，AB 是底面圆的直径，AD 是母线，点C 是AB 的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．15.已知数列{}n a 前n 项和22n n n S +=，记2n an b =，若数列{}n a 中去掉数列{}n b 中的项后，余下的项按原来顺序组成数列{}n c ，则数列{}n c 的前50项和为________．16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数图象关于直线2x =对称，对x ∀∈R ，()()22f x f ≤=，则以下结论：①()4f x +为奇函数；②()2f x +为偶函数；③()42f =-；④在区间()2,0-上，()f x 为增函数．其中正确的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y（单位：千万辆）折线图．（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）（1）由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：15.5y =，()()101160.1i i i tty y =--=∑，()1021311.4i i y y =-=∑，()102182.5i i t t=-=∑，159.8≈160.3≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，线性回归方程ˆˆˆy bt a =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnnii i i i i nni ii i tty y t y ntybt t tnt====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bt=-．18.已知函数()()2ππ2sin sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的对称中心及最小正周期；（2）若π3π,88θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()65f θ=，求tan θ的值．19.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD ==M 为边AB 的中点，以CM 为折痕把BCM 折起，使点B 到达点P 的位置，使得3PMB π∠=，连结PA ，PB ，PD ．（1）证明：平面PMC ⊥平面AMCD ；（2）求点M 到平面PAD 的距离．20.已知函数2()sin 1,f x x a x a R =--∈．（1）设函数()()g x f x '=，若()y g x =是区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，求a 的取值范围；（2）当2a =时，证明函数()f x 在区间(0,)π上有且仅有一个零点．21.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点E 在C 上，以点E 为圆心，EF 为半径的圆的最小面积为π．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线与C 交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作C 的切线1l ，2l ，两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2(0)cos 2,a a R ρθρ=>∈．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线()4R πθρ=∈与直线l 交于点M ，直线()6R πθρ=∈与曲线C 交于点,A B ，且AM BM ⊥，求实数a 的值．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()221f x x x =-++．（1）求函数()f x 的最小值；（2）设0a >，0b >，若()f x 的最小值为m ，且221a b m +=-，求2a b +的最大值．【KS5U 答案1】D【分析】根据Venn 图，明确阴影部分表示的集合的含义，即可求得KS5U 答案.【KS5U 解析】由题意,可知Venn 图中阴影部分表示的集合是(){1,0,1}U M N =- ð,故选：D 【KS5U 答案2】A【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出||z .【KS5U 解析】224i 4i 14i,||ii i z z --+===-+=-A 【KS5U 答案3】B【分析】求出ba的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.【KS5U 解析】双曲线的渐近线方程为b y x a=±=，所以，ba =，因此，该双曲线的离心率为4e ===.故选：B.【KS5U 答案4】B【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【KS5U 解析】第一次循环，15Z 22s =∈不成立，35116s =⨯+=，011i =+=，1s =不成立；第二次循环，18Z 2s =∈成立，11682s =⨯=，112i =+=，1s =不成立；第三次循环，14Z 2s =∈成立，则1842s =⨯=，213i =+=，1s =不成立；第四次循环，12Z 2s =∈成立，则1422s =⨯=，314i =+=，1s =不成立；第五次循环，11Z 2s =∈成立，则1212s =⨯=，415i =+=，1s =成立.跳出循环体，输出5i =.故选：B.【KS5U 答案5】C【分析】由题意解出12l l ∥时m 的值后判断【KS5U 解析】若12l l ∥，则3(3)3(2)m m ⨯-=-⨯+，解得1m =或3m =-而3m =-时，12l l ,重合，故舍去则“1m =”是“12l l ∥”的充要条件。
2023年高考全国乙卷数学(文)真题
一、单选题1. 等比数列中,若公比,且前3项之和等于21，则该数列的通项公式A．B．C．D．2. 已知函数如果，那么实数的值为（ ）A．B．C．D．3. 函数的单调递增区间是A．B．C．D．4. 函数的极小值为（ ）A ．1B．C．D．5. 如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（为常量），油面高度为，油面宽度为，储油量为（为变量），则下列说法：①是的函数 ②是的函数 ③是的函数 ④是的函数其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 定义在上的函数，当时，，且对任意实数，都有，若有且仅有5个零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．7. 已知复数z 满足：，则的虚部等于（ ）A ．1B ．C．D．8.若集合，，则“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件9.若函数恰有个零点，则的取值范围为A．B．C．D．10. 某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且，异面直线所成角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）2023年高考全国乙卷数学(文)真题二、多选题A．B．C．D．11. 已知函数，若对任意，，都有，则的最大值为（ ）A ．1B．C ．2D ．412. 设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）A．B ．0C．D．13. 2022年11月28日，平江-益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年12月22日至12月28日比较，得到同比增长率（）数据，绘制了如下统计图，则下列结论正确的是（）A ．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25B ．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18C ．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天D ．2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次14. 如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A ．有无数个点满足B．当点在棱上运动时，的最小值为C ．若，则动点的轨迹长度为D ．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是15. 已知随机变量服从二项分布，其方差，随机变量服从正态分布，且，则（ ）A．B．C．D．三、填空题四、填空题五、解答题六、解答题16. 已知椭圆的左右焦点分别为，圆内切于椭圆.过椭圆上不与顶点重合的点引圆的两条切线，切点分别为，点关于原点对称，则下列结论中正确的是（ ）A ．的最小值为B ．存在点，使得C ．若直线交椭圆于两点，线段的中点为，则的值为常数D．若在轴上的射影是，直线交椭圆于另一点，则直线与不垂直17.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________．18.已知集合，集合，则________.19. 若“，”为假命题，则实数的最小值为______．20. 在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为__________；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望__________．21. 甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为____________.22.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．23. 已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.(1)化简的表达式并求的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.24. 2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）.为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入频率分布直方图（如图），同时得到了他们月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如下表）：七、解答题八、解答题九、解答题（1）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（2）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调差，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.25. 在正三棱柱中，D ，E ，F 分别为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面．26.如图，直三棱柱中，.过点的平面和平面的交线记作.(1)证明：；(2)求顶点到直线的距离.27. 2022年北京冬奥会的成功举办在全国又掀起了运动的浪湖．墩墩和容融两个小朋友相约打羽毛球．已知两人在每一局比赛中都不会出现平局，其中墩墩每局获胜的概率均为．(1)若两人采用五局三胜制，则墩墩在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；(2)若两人采用三局两胜制．且，则比赛结束时，求墩墩获胜局数X 的期望；(3)五局三胜制和三局两胜制，哪种赛制对墩墩获得比赛胜利更有利？28.如图，某观测站在城的南偏西的方向，从城出发有一条走向为南偏东的公路，在处观测到距离处的公路上的处有一辆汽车正沿公路向城驶去，行驶了后到达处，测得、两处的距离为，这时此车距离城多少千米？。
2023年高考数学(四川卷)(文科)(word版+答案)全解析
2023年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到8页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。
不能答在试卷卷上。
3．本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24RS π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球地半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是P,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率 其中R 表示球地半径kn k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4} ,则C U （A ∩B ）=（A ）{2,3} （B ） {1,4,5} （C ）{4,5} （D ）{1,5}2、函数1ln(21),()2y x x =+>-地反函数是（A ）11()2x y e x R =- ∈ （B ）21()x y e x R =- ∈ （C ） 1(1()2xy e x R =- ) ∈ （D ）21()xy e x R =- ∈3、 设平面向量(3,5(2,1)a b = ) ,=- ,则2a b -=（A ）（7,3） （B ）（7,7） （C ）（1,7） （D ）（1,3）4、(tanx+cotx)cos 2x=（A ）tanx （B ）sinx （C ）cosx （D ）cotx 5、不等式2||2x x -<地解集为（A ）（－1,2） （B ）（－1,1） （C ）（－2,1） （D ）（－2,2）6、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到地直线为（A ）1133y x =-+ （B ）113y x =-+ （C ）33y x =- （D ）31y x =+7、△ABC 地三个内角A 、B 、C 地对边边长分别是a b c 、、 ,若a =,A=2B,则cosB=（A ） （B （C （D学校 班级 姓名 考号/密///////////封/////////////线/////////////内/////////////不/////////////要/////////////答/////////////题///////8、设M 是球O 地半径OP 地中点,分别过M 、O 作垂直于OP 地平面,截球面得到两个圆,则这两个圆地面积比值为（A ）14（B ）12（C ）23（D ）349、定义在R 上地函数()f x 满足:()(2)13,(1)2,f x f x f ∙+==则(99)f =（A ）13 （B ） 2 （C ）132（D ）21310、设直线l α⊂平面,过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角地直线有且只有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条11、已知双曲线22:1916x y C -=地左右焦点分别为F 1、F 2 ,P 为C 地右支上一点,且||||212PF F F =,则△PF 1F 2 地面积等于（A ）24 （B ）36 （C ）48 （D ）9612、若三棱柱地一个侧面是边长为2地正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°地菱形,则该棱柱地体积为（A（B） （C）（D）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
精品解析：2023年全国高考乙卷数学(文)试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目地解析标号框涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号框,回答非选择题时,将解析写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N = （ ）A. {2,4} B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =,{}|16N x x =-<<,所以{}2,4M N = ．故选:A.2. 设(12i)2i a b ++=,其中,a b 为实数,则（ ）A. 1,1a b ==- B. 1,1a b == C. 1,1a b =-= D. 1,1a b =-=-【解析】A 【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则以及复数相等地概念即可解出．【详解】因为,a b ÎR ,()2i 2i a b a ++=,所以0,22a b a +==,解得:1,1a b ==-．故选:A.3. 已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，,则a b -r r （ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】D 【解析】【分析】先求得a b -,然后求得a b -r r .【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ,所以5-== a b .故选:D4. 分别统计了甲、乙两位同学16周地各周课外体育运动时长（单位:h ）,得如下茎叶图:则下列结论中错误地是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长地样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长地样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值大于0.6【解析】C 【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确解析.【详解】对于A 选项,甲同学周课外体育运动时长地样本中位数为7.37.57.42+=,A 选项结论正确.对于B 选项,乙同学课外体育运动时长地样本平均数为:6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>,B 选项结论正确.对于C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值60.3750.416=<,C 选项结论错误.对于D 选项,乙同学周课外体育运动时长大于8地概率地估计值130.81250.616=>,D 选项结论正确.故选:C5. 若x ,y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z xy =-地最大值是（ ）A. 2-B. 4C. 8D. 12【解析】C 【解析】【分析】作出可行域,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图阴影部分所示,转化目标函数2z x y =-为2y x z =-,上下平移直线2y x z =-,可得当直线过点()4,0时,直线截距最小,z 最大,所以max 2408z =⨯-=.故选:C.6. 设F 为抛物线2:4C y x =地焦点,点A 在C 上,点(3,0)B ,若AF BF =,则AB =（ ）A. 2B.C. 3D. 【解析】B 【解析】【分析】根据抛物线上地点到焦点和准线地距离相等,从而求得点A 地横坐标,进而求得点A 坐标,即可得到解析.【详解】由题意得,()1,0F ,则2AF BF ==,即点A 到准线1x =-地距离为2,所以点A 地横坐标为121-+=,不妨设点A 在x 轴上方,代入得,()1,2A ,所以AB ==故选:B7. 执行下边地程序框图,输出地n =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环,2123b b a =+=+=,312,12a b a n n =-=-==+=,222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环,2347b b a =+=+=,725,13a b a n n =-=-==+=,222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环,271017b b a =+=+=,17512,14a b a n n =-=-==+=,2222171220.0112144b a -=-=<,此时输出4n =.故选:B8. 如图是下列四个函数中地某个函数在区间[3,3]-地大致图像,则该函数是（ ）A. 3231x x y x -+=+ B. 321x x y x -=+ C. 22cos 1x x y x =+ D. 22sin 1x y x =+【解析】A 【解析】【分析】由函数图像地特征结合函数地性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x xf x x -=+,则()10f =,故排除B;设()22cos 1x x h x x =+,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,0cos 1x <<,所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++,故排除C;设()22sin 1x g x x =+,则()2sin 33010g =>,故排除D.故选:A.9. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为,AB BC 地中点,则（ ）A. 平面1B EF ⊥平面1BDD B. 平面1B EF ⊥平面1A BD C. 平面1//B EF 平面1A AC D. 平面1//B EF 平面11AC D【解析】A 【解析】【分析】证明EF ⊥平面1BDD ,即可判断A ；如图,以点D 为原点,建立空间直角坐标系,设2AB =,分别求出平面1B EF ,1A BD ,11AC D 地法向量,根据法向量地位置关系,即可判断BCD .【详解】解:在正方体1111ABCD A B C D -中,AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ,又EF ⊂平面ABCD ,所以1EF DD ⊥,因为,E F 分别为,AB BC 地中点,所以EF AC ,所以EF BD ⊥,又1BD DD D = ,所以EF ⊥平面1BDD ,又EF ⊂平面1B EF ,所以平面1B EF ⊥平面1BDD ,故A 正确；如图,以点D 为原点,建立空间直角坐标系,设2AB =,则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ,()10,2,2C ,则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ,()()12,2,0,2,0,2DB DA ==,()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-设平面1B EF 地法向量为()111,,m x y z =,则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,可取()2,2,1m =- ,同理可得平面1A BD 地法向量为()11,1,1n =--,平面1A AC 地法向量为()21,1,0n =,平面11AC D 地法向量为()31,1,1n =-,则122110m n ⋅=-+=≠,所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直,故B 错误；因为m 与2n uu r 不平行,所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行,故C 错误；因为m 与3n不平行,所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行,故D 错误,故选:A.10. 已知等比数列{}n a 地前3项和为168,2542a a -=,则6a =（ ）A. 14 B. 12C. 6D. 3【解析】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 地公比为,0q q ≠,易得1q ≠,根据题意求出首项与公比,再根据等比数列地通项即可得解.【详解】解:设等比数列{}n a 地公比为,0q q ≠,若1q =,则250a a -=,与题意矛盾,所以1q ≠,则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩,解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以5613a a q ==.故选:D .11. 函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π地最小值、最大值分别为（ ）A. ππ22-，B. 3ππ22-， C. ππ222-+， D. 3ππ222-+，【解析】D 【解析】【分析】利用导数求得()f x 地单调区间,从而判断出()f x 在区间[]0,2π上地最小值和最大值.【详解】()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+,所以()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '>,即()f x 单调递增；在区间π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<,即()f x 单调递减,又()()02π2f f ==,ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 在区间[]0,2π上地最小值为3π2-,最大值为π22+.故选:D12. 已知球O 地半径为1,四棱锥地顶点为O ,底面地四个顶点均在球O 地球面上,则当该四棱锥地体积最大时,其高为（ ）A.13B.12C.D.【解析】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时,底面ABCD 面积最大值为22r ,进而得到四棱锥体积表达式,再利用均值定理去求四棱锥体积地最大值,从而得到当该四棱锥地体积最大时其高地值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ,四边形ABCD 所在小圆半径为r ,设四边形ABCD 对角线夹角为α,则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=的（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥地顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时,底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=≤=当且仅当222r h =即h 时等号成立,故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 记n S 为等差数列{}n a 地前n 项和．若32236S S =+,则公差d =_______．【解析】2【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++,即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++,化简得31226a a a =++,即()112+226a d a d =++,解得2d =.故解析为:2.14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选地概率为____________．【解析】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名地方法数为35C 10=甲、乙都入选地方法数为13C 3=,所以甲、乙都入选地概率310P =故解析为:31015. 过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中地三点地一个圆地方程为____________．【解析】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【解析】【分析】设圆地方程为220x y Dx Ey F ++++=,根据所选点地坐标,得到方程组,解得即可；【详解】解:依题意设圆地方程为220x y Dx Ey F ++++=,若过()0,0,()4,0,()1,1-,则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩,解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,所以圆地方程为22460x y x y +--=,即()()222313x y -+-=；若过()0,0,()4,0,()4,2,则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩,解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,所以圆地方程为22420x y x y +--=,即()()22215x y -+-=；若过()0,0,()4,2,()1,1-,则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩,解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩,所以圆地方程为22814033x y x y +--=,即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-,()4,0,()4,2,则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩,解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩,所以圆地方程为2216162055x y x y +---=,即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故解析为:()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；16. 若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a _____,b =______．【解析】 ①. 12-； ②. ln 2．【解析】【分析】根据奇函数地定义即可求出．【详解】因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数,所以其定义域关于原点对称．由101a x +≠-可得,()()110x a ax -+-≠,所以11a x a +==-,解得:12a =-,即函数地定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞,再由()00f =可得,ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--,在定义域内满足()()f x f x -=-,符合题意．故解析为:12-；ln 2．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 记ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）若2A B =,求C ；（2）证明:2222a b c =+【解析】（1）5π8； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得,()sin sin C C A =-,再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差地正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-,再根据正弦定理,余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由2A B =,()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得,()sin sin sin sin C B B C A =-,而π02B <<,所以()sin 0,1B ∈,即有()sin sin 0C C A =->,而0π,0πC C A <<<-<,显然C C A ≠-,所以,πC C A +-=,而2A B =,πA B C ++=,所以5π8C =．【小问2详解】由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得,()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-,再由正弦定理可得,cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-,然后根据余弦定理可知,()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-,化简得:2222a b c =+,故原等式成立．18. 如图,四面体ABCD 中,,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠,E 为AC 地中点．（1）证明:平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒,点F 在BD 上,当AFC △地面积最小时,求三棱锥F ABC -地体积．【解析】（1）证明详见解析（2【解析】【分析】（1）通过证明AC ⊥平面BED 来证得平面BED ⊥平面ACD .（2）首先判断出三角形AFC 地面积最小时F 点地位置,然后求得F 到平面ABC 地距离,从而求得三棱锥F ABC -地体积.【小问1详解】由于AD CD =,E 是AC 地中点,所以AC DE ⊥.由于AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,所以ADB CDB ≅△△,所以AB CB =,故AC BD ⊥,由于DE BD D ⋂=,,DE BD Ì平面BED ,所以AC ⊥平面BED ,由于AC ⊂平面ACD ,所以平面BED ⊥平面ACD .【小问2详解】依题意2AB BD BC ===,60ACB ∠=︒,三角形ABC 是等边三角形,所以2,1,AC AE CE BE ====由于,AD CD AD CD =⊥,所以三角形ACD 是等腰直角三角形,所以1DE =.222DE BE BD +=,所以DE BE ⊥,由于AC BE E ⋂=,,AC BE ⊂平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC .由于ADB CDB ≅△△,所以FBA FBC ∠=∠,由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以FBA FBC ≅ ,所以AF CF =,所以EF AC ⊥,由于12AFC S AC EF =⋅⋅ ,所以当EF 最短时,三角形AFC 地面积最小值.过E 作EF BD ⊥,垂足为F ,在Rt BED △中,1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅,解得EF =所以13,222DF BF DF ===-=,所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥,垂足为H ,则//FH DE ,所以FH ⊥平面ABC ,且34FH BF DE BD ==,所以34FH =,所以111323324F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=.19. 某地经过多年地环境治理,已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木地总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树地根部横截面积（单位:2m ）和材积量（单位:3m ）,得到如下数据:样本号ｉ12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积与平均一棵地材积量；（2）求该林区这种树木地根部横截面积与材积量地样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木地根部横截面积,并得到所有这种树木地根部横截面积总和为2186m ．已知树木地材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木地总材积量地估计值．附:相关系数 1.377r =≈．【解析】（1）20.06m ；30.39m （2）0.97 （3）31209m 【解析】【分析】（1）计算出样本地一棵根部横截面积地平均值及一棵材积量平均值,即可估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积与平均一棵地材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本地相关系数值；（3）依据树木地材积量与其根部横截面积近似成正比,列方程即可求得该林区这种树木地总材积量地估计值．小问1详解】样本中10棵这种树木地根部横截面积地平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木地材积量地平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积为20.06m ,平均一棵地材积量为30.39m 小问2详解】101010x x y y x y xyr ---==0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈【小问3详解】设该林区这种树木地总材积量地估计值为3m Y ,又已知树木地材积量与其根部横截面积近似成正比,可得0.06186=0.39Y,解之得3=1209m Y ．则该林区这种树木地总材积量估计为31209m 20. 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+．（1）当0a =时,求()f x 地最大值；（2）若()f x 恰有一个零点,求a 地取值范围．【解析】（1）1- （2）()0,+∞【解析】【分析】（1）由导数确定函数地单调性,即可得解；【【（2）求导得()()()211ax x f x x --'=,按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数地单调性,求得函数地极值,即可得解.【小问1详解】当0a =时,()1ln ,0f x x x x =-->,则()22111x f x x x x-'=-=,当()0,1∈x 时,()0f x ¢>,()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时,()0f x ¢<,()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-；【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>,则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=,当0a ≤时,10-≤ax ,所以当()0,1∈x 时,()0f x ¢>,()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时,()0f x ¢<,()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<,此时函数无零点,不合题意；当01a <<时,11a >,在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,()0f x ¢>,()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上,()0f x ¢<,()f x 单调递减；又()110f a =-<,当x 趋近正无穷大时,()f x 趋近于正无穷大,所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭有唯一零点,符合题意；当1a =时,()()2210x f x x-'=≥,所以()f x 单调递增,又()110f a =-=,所以()f x 有唯一零点,符合题意；当1a >时,11a <,在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,()0f x ¢>,()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上,()0f x ¢<,()f x 单调递减；此时()110f a =->,又()1111ln n n n f a n a a a a -⎛⎫=-++⎪⎝⎭,当n 趋近正无穷大时,1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点,所以()f x 有唯一零点,符合题意；综上,a 地取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用导数研究函数地极值与单调性,把函数零点问题转化为函数地单调性与极值地问题.21. 已知椭圆E 地中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 地方程；（2）设过点()1,2P -地直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴地直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH =．证明:直线HN 过定点．【解析】（1）22143y x +=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出地方程求解即可；（2）设出直线方程,与椭圆C 地方程联立,分情况讨论斜率是否存在,即可得解.【小问1详解】解:设椭圆E 地方程为221mx ny +=,过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭,则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得13m =,14n =,所以椭圆E 地方程为:22143y x +=.【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --,所以2:23+=AB y x ,①若过点(1,2)P -地直线斜率不存在,直线1x =.代入22134x y+=,可得M,(1,N ,代入AB 方程223y x =-,可得T ,由MT TH =得到H +.求得HN 方程:(22y x =--,过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -地直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=,可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩,且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--,将(0,2)-,代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=,将(*)代入,得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见地方法有两种:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算,并在计算推理地过程中消去变量,从而得到定值.（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应地题号方框涂黑．按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线C地参数方程为22sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩,（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 地极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=．（1）写出l 地直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点,求m 地取值范围．【解析】（120++=y m （2）195122-≤≤m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式处理即可；（2）联立l 与C 地方程,采用换元法处理,根据新设a 地取值范围求解m 地范围即可.【小问1详解】因为l :sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=,所以1sin cos 02ρθθ⋅⋅+=m ,又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=,所以化简为102+=y m ,整理得l 地直角坐标方程20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 地方程,即将2=x t ,2sin y t =代入20++=y m 中,可得3cos 22sin 20++=t t m ,所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ,化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ,要使l 与C 有公共点,则226sin 2sin 3=--m t t 有解,令sin =t a ,则[]1,1a ∈-,令2()623=--f a a a ,(11)a -≤≤,的对称轴为16a =,开口向上,所以(1)623()5=-=+-=max f f a ,min 11219(()36666==--=-f f a ,所以19256-≤≤m m 地取值范围为195122-≤≤m .[选修4—5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 都是正数,且3332221a b c ++=,证明:（1）19abc ≤；（2）a b c b c a c a b ++≤+++；【解析】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式地性质证明即可．【小问1详解】证明:因为0a >,0b >,0c >,则320a >,320b >,320c >,所以3332223a b c ++≥,即()1213abc ≤,所以19abc ≤,当且仅当333222a b c ==,即a b c ===时取等号．【小问2详解】证明:因为0a >,0b >,0c >,所以b c +≥,a c +≥a b +≥,所以a b c ≤=+b a c ≤=+c a b ≤=+a b c b c a c a b ++≤==+++当且仅当a b c ==时取等号．。
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国乙卷、文科数学)
2023年普通高等学校招生全国统一考试乙卷数学（文科）注意事项:1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.|2+i 2+2i 3|=( )A.1B.2C.5D.5 2.设全集U ={0,1,2,4,6,8}，集合M ={0,4,6}，N ={0,1,6}，则U MC N =( ) A .{0,2,4,6,8} B .{0,1,4,6,8} C .{1,2,4,6,8}D .U3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为( )A.24B.26C.28D.304.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A =c ，且C =5π，则∠B =( )A.10πB.5πC.310πD.25π 5、已知f (x )=1xax xe e -是偶函数，则a =( ) A.－2 B.－1 C.1 D.26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则·EC ED =( ) A.5 B.3 C.25 D.57、设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为( ) A.18 B.16C.14D.12 8.函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,－2) B.(－∞,－3) C.(－4,－1) D.(－3,－0)9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( ) A.56 B.23 C.12 D.1310.已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ)在区间(6π,23π)单调递增,直线x =6π和x =23π为函数y =f (x )的图像的两条对称轴，则f (512π-)=( )A. B.12- C.1211.已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y －4=0，则x －y 的最大值是( )A.1+B.4D.712、设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( ) A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1,－4)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13、已知点A在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为_______.14.θ∈(0,2π)，tan θ=12，则sin θ－cos θ=_______. 15、若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z =2x －y 的最大值为_______.16.已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_______.三、解答题17、(12分)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i，y i(i=1,2,…10)，试验结果如下记z i=x i－y i(i=1,2,…10)，记z1,z2,…,z10的样本平均数为z，样本方差为s2.(1)求z，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).18、(12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2=11,S10=40(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n19、(12分)如图在三棱锥P－ABC中AB⊥BC，AB=2，BC，PB=PC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF//平面ADO；(2)若∠POF=120o，求三棱锥P－ABC的体积.20、(12分)已知函数f (x )=1()ln(1)a x x++.(1)当a =－1时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)(若函数f (x )在(0，+∞)单调递增，求a 的取值范围21、(12分)已知椭圆C ：22221y x a b+=(a >b >0)的离心率为3，点A (－2,0)在C 上。
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2023年普通高等学校全国统一考试文科数学乙卷试题及答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.23|22|i i ++ = ( C )A.1B.2C.5D.5 解析:2322212i i i ++=--2322|22||12|1(2)5i i i ∴++=-=+-=2.设集合{0,1,2,4,6,8},U = 集合{0,4,6},{0,1,6},M N == 则U MC N = ( A )A ．{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U 解析：{2,4,8},{0,2,4,6,8}U U C N M C N =∴=3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为( D ) A.2 B.26 C.28 D.30 解析：622ABCD GHKL GPIH S S S S =++622212211=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯30=4.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是 ,,a b c ，若cos cos ,a B b A c -= 且5C π=，则B ∠= (C ). A.10π B.5πC.310πD.25π 解析：,sin sin()A B C C A B π+=-∴=+，cos cos a B b A c -=由正弦定理得：sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin A B B A C A B A B A B-==+=+sin cos 0A B ∴= ，(0,),sin 0B B π∈∴≠ ，cos 0,2A A π∴=∴=3,52510C B ππππ=∴=-=5.已知函数()1xax xe f x e =-是偶函数，则实数a = ( D )A. -2B.-1C.1D.2 解析：()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-= ，()1(1)(1)x ax ax ax x ax x axxe xe xe f x e e e e e -----====--- 1xax xe e - 2,2ax x e e a ∴=∴=6.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED →→= ( B ).A.5B.3C.25D.5 解析：解法一：以,AB AD →→为基底表示，1,2EC EB BC AB AD →→→→→=+=+12ED EA AD AB AD →→→→→=+=-+所以，11()()22EC ED AB AD AB AD →→→→→→=+-+2214134AD AB →→=-=-=解法二：以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,0),(2,2),(0,2)E C D 所以(1,2),(1,2),EC ED →→==-则14 3.EC ED →→=-+=解法三：在三角形CDE 中，5,2,DE CE CD === 则33cos ,55355CDE EC ED →→∠=== 7.已知O 是平面直角坐标系的原点，在区域 22{(,)|14}x y x y ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（ C ）. A.18 B.16 C.14 D.12解析：由条件可知，区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤表示一个圆环，直线OA 的倾斜角不大于4π 时，点A 只能在直线y x =和x 轴之间，故而占整个圆环的14. 8.函数3()2f x x ax =++ 存在3个零点，则a 的取值范围是（ B ）. A.(,2)-∞- B.(,3)-∞- C.(4,1)-- D.(3,0)-解析：解法一：由条件可知 /2()30f x x a =+= 有两根，所以0.a < 要使函数3()2f x x ax =++ 存在3个零点，则有(2f >且0,f < 解之，得3a <-解法二：当0x =时显然不是函数的零点，由3()20f x x ax =++= 得 22a x x-=+.设22(),(0),g x x x x=+≠ 则3/2222(1)()2,(0)x g x x x x x -=-=≠ 所以()g x 在 (,0),(0,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增。
要使 22a x x-=+有三个解，则(1)3,a g ->= 故 3a <-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽取到不同主题概率为（ A ）.A.56B.23C.12D.13解析：由条件可知 265.666A P ==⨯ 10.函数()sin()f x x ωφ=+在区间2(,)63ππ上单调递增，直线6x π=和23x π=是函数()y f x =图像的两条对称轴，则5()12f π-= （ D ）A.-B.12-C.12解析：由已知可得 2,2362T πππ=-= 所以2, 2.T ππωω===又由()()163f f ππφ=+=- 可得，2(),32k k Z ππφπ+=-+∈解得，52(),6k k Z πφπ=-+∈ 所以5555()sin(2)sin()12663sin 32f k ππππππ-=--+=-==11.已知实数,x y 满足224240,x y x y +---= 则x y -的最大值是 ( C )A.1+B .4 C.1+ D .7 解析：由224240,x y x y +---=得22(2)(1)9.x y -+-=解法一：令23cos ,13sin ,x y θθ-=-= 则3cos 3sin 1)1,4x y πθθθ-=-+=--+所以当sin()14πθ-=- 时，x y -的最大值为1+解法二：令,0,x y t x y t -=--= 圆心（2，1）到直线0x y t --=距离3,=≤解得11t -≤+ 所以 x y -的最大值为1+12.已知A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ D ）A.(1,1)B.(1,2)-C.(1,3)D.(1,4)--解析：设1122(,),(,),A x y B x y 线段AB 的中点为00(,),M x y 由2219y x -=得 2299,y x =- 所以 2222112299,99,y x y x =-=- 两式相减得222212129(),y y x x -=- 所以122201212221201212292AB OM ABy y y y y y y k k k x x x x x x x +--====+-- 0(3,3),[3,3],AB y k x ∈-∉- 只有D （-1，-4）符合。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知点 A 在抛物线 2:2C y px = ，则 A 到 C 的准线的距离为94解析：因为点A 在抛物线2:2C y px = 上，则52p =，所以5,2p =所以，抛物线的准线方程为5,24p x =-=- 所以，点A 到C 的距离为591.44+=14.若21(0,),tan ,2πθθ∈= 则sin cos θθ-= 55- 解析：解法一：(0,),sin 0,cos 02πθθθ∈∴>>由22sin cos 1sin 1tan cos 2θθθθθ⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解之，得525sin ,cos 55θθ== 5sin cos .5θθ∴-=-解法二：(0,),sin 0,cos 02πθθθ∈∴>>221151tan 1,cos 44θθ=+=+= 2425cos ,cos 55θθ∴== 245sin 1cos 1,55θθ=-=-=5255sin cos .555θθ∴-=-=- 解法三：由 (0,),2πθ∈ 可构造直角三角形ABC ，设,,2B C πθ∠=∠= 由于1tan ,2θ=可设,2,AB x BC x == 由勾股定理可得5AC x =525sin ,cos ,55AB BC AC AC θθ∴==== 5255sin cos .555θθ∴-=-=- 15.若 x ，y 满 足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩ ，则 2z x y =- 的最大值为 8解析：如图所示，作出可行区域三角形 ABC ，令0,z = 得起始直线 0:20,l x y -=将目标函数 2,z x y =-变形为 2,y x z =- 则z -是截距，Z 越大，截距越小，Z 越小，截距越大，由图上可以看出，在B 点，Z 最大。
由3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ，解之，得5(5,2)2,x B y =⎧⎨=⎩将B 的坐标代入目标函数2z x y =- 得8.z =16.已知点S 、A 、B 、C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA= 2解析：如图所示，要据题中条件2,3OA OS AB AC ====123(3)332r O A ∴==⨯⨯= 2221122211()OA OO O A OS SA OO O A ⎧=+∴⎨=-+⎩即222222()R d r R SA d r⎧=+⎨=-+⎩ 代入数据得 22434()3d SA d ⎧=+⎨=-+⎩ ，解之，得 2SA = 或 1SA =- （舍去）。
三、解答题17、（12 分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,(1,2.3,,10)i i x y i =⋅⋅⋅ ，试验结果如下 试验序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率i x545533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 i y 536 527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅ 的样本平均数为_z ，样本方差为2s ，（1） 求 _2,z s（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z -≥， 则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 解析：（1）1(545533551522575544541568596548)552.310x -=+++++++++= 1(536527543530560533522550576536)541.310y -=+++++++++= 552.3541.311z x y ---=-=-=i i i z x y =- 的值分别为：9、6、8、-8、15、11、19、18、20、1222222222221[(911)(611)(811)(811)(1511)(911)10(1811)(2011)(1211)]61s =-+-+-+--+-+-+-+-+-= （2）由（1）知，， 211,61z s -==，==故有，z -≥成立所以，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。