M08C05 提取公因式法及运用公式法
信心训练营 八年级数学
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第五节 提取公因式法及运用公式法
【知识要点】
1、分解因式
2、分解因式的方法：
（1）提公因式法 (找公因式的方法)
①
②
③
（2）公式法
a2－b2= a2+2ab+b2=
a2－2ab+b2=（a－b）2 a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2）
a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）
【典型例题】
例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )
A. (x+3)(x－2)=x2+x－6 B. ax－ay+1=a(x－y)+1
C. x2－21y=(x+y1)(x－y1) D. 3x2+3x=3x(x+1)
例2 把下列各式分解因式：
（1）3525xx （2）121mnmnabab
（3）253243143521xyxyxy （4）23aababa
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（5）2222nmnmmnmn （6）3223232125abcabcabc
例3 把下列各式分解因式：
（1）a2－4b2； （2）24251ba
（3）22916baba （4）442xx
（5）122baba （6）222224yxyx
（7）xxx232； （8）229262nmnmmnnm
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例4 计算：
（1）20022－2001×2003－9992； （2）20002－4000×1999+19992
例5 分解因式222510babanmnm
例6 已知在三角形ABC中，222166100abcabbc（a、b、c是三角形三边的
长），求证：2acb。
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【大展身手】
一、填空题
1．分解因式2x(b－a)+y(a－b)+z(b－a)= .
2.－4a3b2+6a2b－2ab=－2ab( ).
3.(－2a+b)(2a+3b)+6a(2a－b)=－(2a－b) ( ).
4. 分解因式－(a－b)mn－a + b= .
5．因式分解9m2－4n4=( )2－( )2= 。
6．因式分解0.16a2b4－49m4n2=( )2－( )2= 。
7．因式分解224xyx= 。
8．因式分解33352121821aaaa 。
二、选择题
1．把多项式2(x－2)2－(2－x)3分解因式的结果是（ ）
A.(x－2)2(4－x) B. x(x－2)2 C.－x(x－2)2 D.(x－2)2(2－x)
2．22ba是下列哪个多项式的因式（ ）
A．44ba B．222baba C．33abba D．44ba
3．下列各式中不能运用平方差公式的是（ ）
A．22ba B．22yx C．22249yxz D．2241516pnm
4．分解因式,424cba其中一个因式是（ ）
A．cba22 B．cba222 C．cba222 D．cba222
5．将1182mmxx分解因式，结果是（ ）
A．4221xxm B．xxxm4232 C．2221xxxm D．42xxm
6．若n为整数，则221212nn一定能被（ ）整除。
A．11 B．6 C．10 D．8
7．k－12xy2+9x2是一个完全平方式，那么k的值为（ ）
A．2 B．4 C．2y2 D．4y
4
8．若16322xmx是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．－5 B．7 C．－1 D．7或－1
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三、分解因式
1．x2y(x－y)+2xy(y－x) 2．6x3y(x－y)3－4xy3(y－x)2
3．－a(b－a)2－ab(a－b)2+ac(b－a)2 4．－m2n(x－y)n+mn2(x－y)n+1
5．－8x2n+2 yn+2 + 12xn+1 y2n+3 6．xybyxa161622
7．22324yxx 8．22331nm
四．分解因式
（1）36122xx （2）491422abba
（3）mm321912 （4）2361311xx
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（5）162492baba （6）1222222xxxx
（7）1323222xx （8）8144yx
（9）930252xx
思考题：
1、 计算 9991000199999910001999333
2、 已知))(()(412acbacb，且0a，则acb等于多少？
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
《提公因式法》 讲义
《提公因式法》讲义一、什么是提公因式法在数学运算中，提公因式法是一种非常重要的因式分解方法。
简单来说，提公因式法就是把多项式各项中的公因式提取出来，将多项式化成几个整式乘积的形式。
那什么是公因式呢？公因式就是多项式各项都含有的相同因式。
比如说，对于多项式 6x ＋ 9 ， 3 就是它们的公因式，因为 6x 可以写成 3×2x ， 9 可以写成 3×3 ，所以 6x ＋ 9 可以分解为 3(2x ＋ 3) ，这就是运用提公因式法进行因式分解。
二、如何确定公因式要熟练运用提公因式法，首先得学会准确地确定公因式。
确定公因式需要考虑以下几个方面：1、系数公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
例如，对于多项式12x ＋ 18 ， 12 和 18 的最大公约数是 6 ，所以公因式的系数就是 6 。
2、字母公因式中的字母应是多项式各项中都含有的字母。
比如多项式 5x²y ＋ 10xy²，其中都含有字母 x 和 y 。
3、字母的指数公因式中字母的指数取各项中该字母的最低次幂。
在上面的例子5x²y ＋ 10xy²中， x 的最低次幂是 1 ， y 的最低次幂也是 1 ，所以公因式是 5xy 。
再举个例子，对于多项式 8a³b² 12a²b³，系数的最大公约数是 4 ，都含有的字母是 a 和 b ， a 的最低次幂是 2 ， b 的最低次幂是 2 ，所以公因式是 4a²b²。
三、提公因式法的步骤1、确定公因式按照前面讲的方法，先确定多项式各项的公因式。
2、提出公因式将公因式提取出来，放在括号外面。
3、写出剩余的因式用原多项式除以公因式，得到剩余的因式，写在括号里面。
例如，对于多项式 15x³ 25x²，首先确定公因式为 5x²，然后将其提出，得到 5x²(3x 5) 。
《提公因式法》 讲义
《提公因式法》讲义一、什么是提公因式法在数学的多项式运算中，提公因式法是一种非常重要的方法。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松地解决许多复杂的问题。
提公因式法，简单来说，就是把多项式各项中的公因式提取出来，将多项式化成几个因式乘积的形式。
比如说，对于多项式 6x ＋ 9 ，3 就是公因式，我们可以把它提出来，得到 3(2x ＋ 3) ，这就是运用提公因式法进行的变形。
二、公因式的确定要运用提公因式法，首先得准确找到公因式。
那公因式到底怎么找呢？1、系数：观察多项式各项系数的最大公约数。
例如，对于 12x ＋18 ，系数 12 和 18 的最大公约数是 6 ，所以公因式的系数就是 6 。
2、字母：看多项式中各项都含有的相同字母。
比如，多项式 5x²y＋ 10xy²，都含有字母 x 和 y 。
3、指数：取相同字母的最低次幂。
在上面的例子中，x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂也是 1 ，所以公因式就是 5xy 。
三、提公因式法的步骤明确了公因式是什么，接下来咱们看看具体的步骤。
1、第一步，确定多项式各项的公因式。
2、第二步，将公因式提取出来。
3、第三步，把多项式的每一项除以公因式，将剩下的式子写在括号里。
例如，对于多项式 8x³ 12x²，公因式是 4x²。
提出来后得到 4x²(2x 3) 。
再比如，对于多项式 15a²b ＋ 25ab²，公因式是 5ab ，变形为5ab(3a ＋ 5b) 。
四、提公因式法的应用提公因式法在数学运算中有着广泛的应用。
1、简化计算在进行多项式的加减乘除运算时，先提公因式可以使计算变得更加简便。
比如计算（2x ＋ 4) ＋（6x ＋ 12) ，我们先把公因式 2 提出来，得到 2(x ＋ 2) ＋ 6(x ＋ 2) ，然后再进一步计算为（2 ＋ 6)（x ＋ 2) ＝8(x ＋ 2) 。
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
提取公因式法则
提取公因式法则“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲提取公因式法则啊。
”提取公因式法则呢，简单来说就是把一个多项式中的公因式提取出来。
这就好比一堆水果里，有苹果、香蕉、橘子等，我们把它们共有的“水果”这个特点提取出来。
比如说，有一个多项式3x² + 6x，这里面 3x 就是公因式，我们就可以把它提取出来，写成 3x(x + 2)。
再比如4y³ - 8y²，公因式是4y²，提取后就是4y²(y - 2)。
提取公因式法则在很多数学问题中都非常有用。
给大家举个实际例子吧，比如计算25×36 + 25×14，我们就可以先把公因式 25 提取出来，得到25×(36 + 14)，这样计算起来就简单多了，先算括号里的 36 + 14 等于50，然后再乘以 25 就等于 1250。
在解方程中也经常用到这个法则。
比如方程 3x(x - 2) = 0，我们根据提取公因式后的式子，可以知道要么 3x = 0，要么 x - 2 = 0，这样就可以求出 x 的值了。
在因式分解中，提取公因式更是关键的一步。
比如要把6x³ - 9x² + 3x 进行因式分解，先提取公因式 3x，得到3x(2x² - 3x + 1)。
大家一定要熟练掌握提取公因式法则，它能让很多复杂的数学问题变得简单易懂。
在做题的时候，要仔细观察多项式，找到公因式并准确提取出来。
多做一些练习，你们就能越来越熟练啦。
就像学走路一样，刚开始可能会摇摇晃晃，但只要不断练习，就会越走越稳。
数学的学习也是如此，提取公因式法则就是我们数学道路上的一个重要工具，学会使用它，我们就能在数学的世界里走得更稳、更远。
同学们，加油哦！。
M08B05 提取公因式法及运用公式法
能力训练营 八年级数学 17 第五节 提取公因式法及运用公式法 【课前热身】 1.（06 温州）若x－y＝3，则2x－2y＝ ． 2.（08茂名）分解因式：3x2－27= ． 3．若 , ),4)(3(2baxxbaxx则． 4. 简便计算：2200820092008 ＝ . 5. (08东莞) 下列式子中是完全平方式的是（ ） A．22baba B．222aa C．222bba D．122aa
【知识要点】 1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止． 2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ， ⑶ ，⑷ . 3. 提公因式法：mcmbma__________ _________. 4. 公式法: ⑴ 22ba ⑵ 222baba ， ⑶222baba . 5．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 6．易错知识辨析 （1）注意因式分解与整式乘法的区别； （2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.
【典型例题】 例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( ) A. (x+3)(x－2)=x2+x－6 B. ax－ay+1=a(x－y)+1
C. x2－21y=(x+y1)(x－y1) D. 3x2+3x=3x(x+1) 能力训练营 八年级数学 18
例2 分解因式： ⑴ 33222axyaxyaxy__________________. ⑵ 3y2－27＝___________________. ⑶ 244xx_________________. ⑷ 221218xx ． 例3 已知5,3abab，求代数式32232ababab的值.
例4 写出下列多项式中的公因式： （1）3525xx （2）121mnmnabab
提公因式法的公式
提公因式法的公式提公因式法是数学因式分解中常用的一种方法，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开复杂式子的秘密之门。
先来说说提公因式法的公式，简单来说就是：把多项式各项中的公因式提取出来，将多项式化成两个或多个因式乘积的形式。
如果用字母来表示，那就是：$ma + mb + mc = m(a + b + c)$ 。
这里的“m”就是公因式，咱们把它提出来，式子就变得简单多啦！我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
有个小同学特别积极，每次我提出问题，他都把手举得高高的。
我点他起来回答，他自信满满地说：“老师，我觉得提公因式法太简单啦，不就是把一样的东西拿出来嘛！”我笑着说：“那你来试试这道题。
”结果他一看到题目，就有点傻眼了，抓耳挠腮半天也没做出来。
后来我带着大家一起分析，他才恍然大悟，原来他只看到了表面，没有真正理解其中的精髓。
那怎么才能准确找到公因式呢？这可得有点小技巧。
首先，要确定各项系数的最大公因数；然后，再看各项都含有的相同字母；最后，相同字母的最低次幂就是咱们要找的啦。
比如说，$8x^3 - 12x^2$，系数 8 和 12 的最大公因数是 4，都含有的字母是 x，x 的最低次幂是 x²，所以公因式就是 4x²。
在实际解题中，提公因式法的用处可大了。
比如说化简式子、解方程，甚至在证明一些数学定理的时候都能派上用场。
有一次考试，有一道题是这样的：化简$6a^2b - 9ab^2 + 3ab$。
很多同学看到就慌了，不知道从哪儿下手。
其实只要冷静下来，找到公因式 3ab，式子就变成了 3ab(2a - 3b + 1)，是不是一下子就简单了？提公因式法虽然简单，但也容易出错。
有的同学粗心大意，找错公因式；有的同学在提出公因式后，忘记给剩下的式子进行相应的化简。
所以，做题的时候一定要认真仔细，多检查几遍。
总之，提公因式法是我们数学学习中的一个重要工具，掌握好了它，就能让我们在数学的海洋里畅游得更加轻松愉快。
提取公因式
提取公因式公因式是多项式中可以提取出来的一个公共因子。
在多项式的因式分解、化简和求导等计算中，提取公因式是一个常用的方法。
一.基本概念多项式是由一系列代数符号及其系数运算所得到的式子。
每一项由一个常数和一个字母的幂组成。
例如，多项式3x^2−5xy+2y^2中的每一项都是一个单项式。
二.公因式的定义给定一个多项式表达式，如果存在一个公共因子，即该多项式中的所有项都可以被这个公共因子整除，那么这个公共因子就是该多项式的一个公因式。
例如，对于多项式6x^2y+9xy^2，公因式6xy即可整除多项式中的每一项，因此6xy是这个多项式的一个公因式。
三.提取公因式的步骤提取公因式的步骤如下：1. 将多项式中的每一项拆分成其因子的乘积形式。
2. 找出所有项中的公共因子。
3. 将这个公共因子提取出来，作为提取公因式的结果。
例如，对于多项式3x^2+6xy，首先将每一项拆分为其因子的乘积形式：3x^2=x*x*3，6xy=2*3*x*y。
然后找出这两个项中的公共因子3x，将其提取出来，得到3x(x+2y)。
四.整数的公因式对于整数的公因式提取，只需要找出这些整数的所有约数，并找出它们的最大公约数作为公因式即可。
五.多项式的公因式提取方法对于多项式的公因式提取，可以借助算法来进行。
一种常见的方法是使用因式分解方法。
通过观察多项式中的每一项，找出其中的公因子，然后进行提取。
六.示例例如，对于多项式6x^2y+9xy^2，我们可以观察到每一项都包含因子3xy。
因此，我们可以将3xy提取出来，得到3xy(2xy+3y)作为提取公因式的结果。
七.提取公因式的应用提取公因式是代数中一个非常有用且常见的技巧。
它可以在因式分解、整理和化简等计算中起到简化计算和找出规律的作用。
通过提取公因式，可以将复杂的多项式化简为更简单的形式，从而更方便地进行进一步的计算和分析。
八.总结提取公因式是多项式运算中常见的一种技巧，可应用于因式分解、化简和求导等计算中。
提公因式的具体方法
提公因式的具体方法
提公因式的具体方法是根据多项式的结构和运算法则，将其分解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是所有原始多项式的公因式。
具体来说，提公因式的步骤如下：
1.将多项式中的每一项按照相同的变量因子进行分组。
2.对每个分组中的项，找到它们的公因子，然后将这些公因子提出来。
3.将公因子和剩余的非公共因子分别相乘，得到每组的最简形式。
4.将每组的最简形式相乘，得到原始多项式的公因式。
5.将提取出来的公因式乘上剩余的非公共因子，得到多项式的分解式。
例如，对于多项式2x^3 - 6x^2 + 4x，可以按照如下步骤进行提公因式：
1.将每项按照变量因子分组，得到2x^3，-6x^2，和4x。
2.对于分组1，2，3，有公因子2x，-6x，4x。
3.将公因子和剩余的因子相乘，分别得到x^2，-3x，2。
4.将所有分组的最简形式相乘，得到2x(x^2 - 3x + 2)。
5.将提取出来的公因式乘上剩余的非公共因子，得到完整的分解式2x(x - 1)(x - 2)。
因此，原多项式2x^3 - 6x^2 + 4x可以因式分解为2x(x - 1)(x - 2)。