最优控制笔记

最优控制又叫动态优化

工程技术领域里的过程（物理过程或化学过程），通常都是可以控制的

过程控制：使过程的发展变化按人们的需要进行

动态优化问题的四个要素：

1.建立过程的动态模型（动态系统的状态方程）

2.指定所需的初始状态和结束状态（状态方程的边界条件）

3.确立在可行控制策略

4.性能指标

动态系统的变化，可以看成对应状态的变化，其中每一个状态对应着n维状态空间中的一个点，系统的运动将在状态空间中画出一条状态曲线

动态系统的状态方程：

1.是对研究对象的动态数学建模

2.体现了系统运动时应遵循的规律,反映了系统的动态特征

3.一般是微分方程组描述

状态方程f[x(t),u(t),t]的数学性质：

1.f[x(t),u(t),t]是向量函数，维数与状态变量维数相同

2.f[x(t),u(t),t]是关于x(t)/u(t)/t的连续函数

3.f[x(t),u(t),t]是关于x(t)/t的连续可微函数

4.u(t)是关于t的分段连续函数，只有有限个第一类间断点

系统的初始时刻t0和初始状态x0一般都是已知的

系统的结束时刻tf：固定或者不固定

系统的结束状态xf：全部固定/全部不固定/部分固定

性能指标：

1.要根据实际任务确定，例如过程持续的时间最少/过程消耗的能量最少/成本最小/利益最大等等

2.种类：终值型/积分型/复合型,它们都是关于x(t)/t的连续可微函数

最优控制一定是容许控制，即最优控制策略（最优控制函数）在控制函数空间中的一个子集中选择

当最优控制轨迹确定后，通过系统的状态方程，可以确立对应的最优状态轨迹

现代控制理论相对于经典控制理论的优点：

1.从时不变系统延伸到时变系统

2.从单输入单输出系统延伸到多输入多输出系统

3.从频域回到时域，采用能够揭示系统内部各状态变化规律的状态空间描述法

最优控制理论属于现代控制理论的分支

从数学角度来看，最优控制问题本质上是求泛函极值的变分学问题

变分法分为古典变分法和现代变分法（最大值原理/动态规划）

古典变分法只能解决容许控制集为开集的最优控制问题

实际最优控制问题的容许控制集都是闭集，可以用现代变分法解决

函数分为两类：普通函数和泛函

普通函数随自变量t变化有确定值对应

泛函随普通函数（称为泛函的宗量函数）的形式变化有确定值对应，t已确定或不产生影响

复合函数也是普通函数，随自变量t变化有确定值对应

具有某些相同特征的所有函数组成一个函数类，或称函数空间

在函数空间内，每一个函数（形式不同的）成为函数空间的一个点，例如sin(x)和sin(2x)是正弦函数空间的两个点

泛函宗量的变分：

1.同一函数空间中的两个函数的差（t已确定或不产生影响）

2.宗量的变分仍然是一个普通函数

3.这里“变分”的意思是改变量

宗量的维数为m时，则宗量的变分在m维函数空间中进行，其中每一维函数空间各自是具有某些相同特征的函数类

两个普通函数k阶相近的定义，从几何上来看就是曲线的相似程度

两个普通函数间的k阶距离定义，从几何上来看就是曲线的差异程度

m维函数空间中，与点[x0(t),x1(t),...xm(t)]距离相同的点构成m维空间中的一个球面泛函k阶连续的定义（利用两个普通函数间的k阶距离来定义）

线性泛函的定义：满足齐次性与可加性

泛函的变分：

1.是泛函增量的关于宗量变分的线性主部

2.是关于宗量变分的线性连续泛函

3.仍然是一个泛函

4.泛函的变分是唯一的

5.这里变分的意思相当于普通函数的微分

泛函变分的计算公式，是关于宗量变分的泛函，也是关于alpha的普通函数，从普通函数极值条件出发推导得到泛函极值条件

求普通函数的极值，必要条件是：极值在稳定点获得，稳定点即普通函数导数为0的点求泛函的极值，必要条件是：极值在泛函变分为0的点取得

Lagrange/Mayer/Bolza形式指标的相互转换

欧拉--拉格朗日方程的推导过程

欧拉--拉格朗日方程是一个二阶微分方程

欧拉--拉格朗日方程成立的前提：

1.宗量函数对自变量的二阶导数存在

2.积分函数二阶连续可微

欧拉--拉格朗日方程的能积分出最优解的特殊情况

含有多个宗量函数的欧拉--拉格朗日方程组形式

等式约束条件下的泛函极值问题采用拉格朗日乘子思想

等式约束下的多变量普通函数极值问题，拉格朗日乘子是m维常向量

等式约束下的泛函极值问题，拉格朗日乘子是m维普通函数，称为协态变量

拉格朗日乘子法的步骤：原问题-->辅助泛函-->解等式约束+欧拉方程-->用边界条件确定未知系数-->判断极大/极小/鞍点

等式约束下的泛函极值问题中，拉格朗日乘子（本质上是普通函数）的欧拉方程就是原问题的等式约束条件

对于最优控制问题，控制函数u(t)和状态函数x(t)都看成是泛函的宗量，系统的动态方程作为等式约束条件

Hamilton函数是泛函，其t的范围由x(t)/u(t)中的t范围确定，可以看成是mayer型泛函Hamilton函数的作用：积分型泛函J对u(t)的等式约束条件极值问题，转换成H对u(t)

的无约束条件机制问题

Hamilton函数方法解决最优控制问题，是基于必要条件，而不是充分条件

Hamilton函数沿着最优空之轨迹和最优状态轨迹，对时间t的全导数等于偏导数

当Hamilton函数不显含t时，H是不依赖于t的常数

基础数理化：数学是理路，物理和化学是实践；

工程中的物理和化学变化过程都是可控的；

过程：与时间有关，随着时间推荐的变化，又叫动态过程；

动态过程的数学模型又称状态方程，为OEDs或者DAEs形式

对一个过程实施控制往往可以选择的策略不唯一，为了使得任务完成得最好，需要选择最优控制策略；

最优的意义：根据任务确定的技术或者经济指标，可以是时间上最快、能量上最省、成本最低、利润最大等；

状态微分方程f[x(t),u(t),t]是关于u(t),x(t),t的连续函数，是关于x(t),t的连续可微函数，u(t)只有有限个第一类间断点；

状态、状态空间、动态系统的变化过程对应于状态空间中的点运动轨迹、点运动轨迹的起始点和结束点就是状态方程的边界条件；

系统的初始时间t0和初始状态x0通常是给定的；

系统的结束状态根据结束时间tf是否固定和结束状态是否固定可分为6种情况；

性能指标的类型：终值型（Mayer型）、积分型（Lagrange型）、复合型（Bolza型；）终值型（Mayer型）是x(t),t的连续可微函数；

积分型（Lagrange型）是u(t),x(t)，t的连续函数，是x(t),t的连续可微函数，u(t)只有有限个第一类间断点；

注意终值型（Mayer型）指标中不含u(t)；

最优控制轨迹往往在m维控制函数空间的一个子集omiga中选择；

经典控制论的特点：针对SISO、线性、时不变（定常）、集中参数系统，以laplace变换作为分析工具，频域内；

现代控制论的特点：针对MIMO、非线性、时变、分布参数系统，以状态空间分析方法为分析工具，时域内分析；

对系统的状态空间描述，最大好处在于能够反映系统内部各状态变量之间的关系；

最优控制理论属于现代控制理论的一部分；