高二数学线面角与面面角

高二数学线面角与面面角

高二数学（下）复习讲义（1）

线面角与面面角

一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用

面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考

虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关

键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经

常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另

一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以

作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直

于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一

个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二、例题

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．

(1)求证：AC1⊥平面A1BD．

(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．

解： (1)连AC，

∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．

又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．

同理AC1⊥A1B

∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．

(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，

在△D1AC1中，ME∥AC1，

∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，，∴．例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．

（1）求证：面ABP⊥面ABC；

（2）求二面角C-BP-A的余弦值．

证明（1）由题设知AP＝CP＝BP．

∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，

即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，

由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．

（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．

∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．

△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角

C-BP-A的平面角．

又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此

△CDE为直角三角形．

设，则，，．

例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．

(1)求证：；

(2)若，求平面与平面

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，

∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．

取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．

∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，

得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．

∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．

∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．

解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．

∵∠BAC＝∠BCA＝60°，

∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即DA⊥AC．

∵CC⊥面ACB，

由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．

∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．

说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：

1．已知平面?的一条斜线a与平面?成?角，直线b??，且a,b 异面，则a与b所成的角为（A）A．有最小值?，有最大值B．无最小值，有最大值。

C．有最小值?，无最大值D．有最小值?，有最大值???。2．下列命题中正确的是（D）

A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个

B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个

C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条

D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为

45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）

A．30 B．20 C．15 D．12

4．设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A．30°B．45°C．60°D．90°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为

6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，

AB=3，AC=AD=2.

（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD 所成角的正弦值．

解过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，∴AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，

∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD

∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，

连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，

，在Rt△ADH中，

8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．

求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．

证明如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC ＝90°．∴BC⊥AB．

∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射

影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．

∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．

（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD 面BCD．∴面AEF⊥面BCD．

（3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴AEF为二面角B-DC-A的平面