线面角的三种求法PPT课件
专题一：立体几何中“线线角、线面角、面面角”的求法 课件
知识回顾
1. 异面直线所成角； 2. 直线与平面所成角； 3. 两平面所成角.
知识点一：线线角
关键：把空间角转化成平面角 步骤：①选点平移；
②定角； ③算角（解位线平移
知识点一：线线角
变式1. 已知四面体ABCD的各棱长均 相等，E、F分别为AB、CD的中点， 求AC与EF所成角的大小．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.
B
l
O
A
知识点三：面面角
方法：①定义法（点在棱上）
②三垂线法（点在一个平面内） 例3.在四面体ABCD中，平面ABD 平面BCD， ③射影法（找一个平面内对应的点 AB BD DA a, CD BD，DBC＝30． 在另一个平面内的射影）
定义：过斜线AP上且斜足以外的一点P向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平 面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
知识点二：线面角 关键：①找垂足 ②等体积法求高
例2.如图，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, （1）求直线AB1与平面A1B1CD所成的角； （2）求直线AB与平面ACB1所成角的正弦值.
(1)求二面角A DC B的大小；
④垂面法（点在面外）
(2)求二面角A BC D的平面角的正切值.
⑤补形法
通过本节课的学习谈谈你的收获或感想：
作业：
《线面角以及面面垂直的判定定理》PPT
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
(完整版)线面角PPT
直线与平面的所成角射影•1A •Al1l ••••点A 1是点A 在平面上的射影直线l 1是直线l 在平面上的射影⏹如图，当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，l叫做平面α的斜线。
⏹如图，设直线l与平面α斜交于点M，M为斜足，过l 上任意点A，作平面α的垂线，垂足为O，直线OM叫做直线l在平面α上的射影.⏹规定直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l与平面α所成的角.l MAO直线和平面所成角最小角定理直线与平面所成角是这条斜线与这个平面内任一条直线所成的角中最小的角αlMAO问题：若直线l与平面α成30°角，直线a在平面α内，则l与a所成角的取值范围为____[]οο90,30当直线l 与平面α垂直时,它们所成的角等于90°；当直线l 与平面α平行或直线l 在平面α上时,它们所成的角为0°.直线与平面所成角的范围.斜线与平面所成角的范围.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭特别的：如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C 1B1AD CB线段C 1D如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面CDD 1C 1中的射影A 1D 1C 1B 1AD CB如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C 1B1AD CBE线段B 1E如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C1B 1ADC BO线段B 1O如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1AD CB 0o如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1A D CB 90o如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1AD CB 45o。
《线面角与面面角》课件
如何计算
1
线面角
选择一条线和一个平面，找到线与平面交点，计算交点处平面上的两条不同切线 之间的角度。
2
面面角
选取两个平面，找到它们的交线，计算交线处两个平面的切线之间的角度。
3
计算示例
通过实际例子演示如何计算线面角和面面角，加深对概念和计算方法的理解。
总结
线面角由一条线和一个平面组成，可以用来计算体积和表面积。 面面角由两个平面的交线组成，同样可以用于计算体积和表面积。 它们的概念和计算方法在几何学、工程学和科学研究中具有重要性。
线面角与面面角
本PPT将介绍线面角与面面角的概念，以及它们在几何学中的重要性。
线面角
定义：线面角是一个平面角，由一条线与一个平面的交点及该交点上平面的 两条不同的切线组成。
计算：线面角的度数等于其对应的平面角的度数。
应用：线面角在计算体积和表面积时经常用到，并且在水力学、物理学和化 学等领域中也有广泛应用。
重要性与应用
建筑设计
利用线面角和面面角的计算，可以优化建筑设 计，提高建筑空间的利用效率。
科学研究
线面角和面面角在物理学、化学等科学研究中 有广泛应用，帮助科学家理解分子结构和物质 特性。
工程计算
在结构工程和机械工程等领域，线面角和面面 角的计算常用于设计和分析复杂系统。
计算机图形学
通过立体几何的概念，可以在计算机图形学中 模拟和渲染复杂的三维场景。
面面角
定义：面面角是由两个平面的交线及其相应的切线所构成的平面角。 计算：面面角的度数等于其对应的空间角（即三维角度）的度数。 应用：面面角同样在计算体积和表面积时经常用到，且在物理学、数学建模 和工程领域中起着重要的作用。
计算体积和表面积
线面角课件
6
3
分析：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
D'
C'
A'
B'
G
D
C
A
B
例题分析
变式3：在正方体AC'中，求直线BB'与平面ACD'
所成角的余弦值
6
3
分析1：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
分析2：能否不求垂线段长？ 转化为在 D'DO中求解
D'
C'
ABCD-A'B'C'D'
例题分析
例2：已知在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长
等于2的等边三角形，SA垂直与底面ABC，SA=3， 求直线AB与平面SBC所成角的正弦值
分析1：垂线段AG即为A点到 平面SBC的距离，可用等体
S
积法求解
分析2：能否直接找出垂线呢？
G C
A
D
B
2021/6/25
（2）求线面角步骤 一“作”二“证”三“求"
（3）方法 定义法 求线面角，关键找射影，找射影关键找平面的垂 线，确定垂足，然后在某三角形中求解此角
思考：如图，OA是平面的斜
O
线，OB⊥平面 于B，AC是
内不与AB重合的任意直线，
OAB 1, BAC 2 ,
1
OAC
A θ 2 B
求证：cos cos1 cos2 25
知识回顾：
直线与平面位置关系
在空间过平面 外 一点p所作的所有直线中，
与平面 的位置关系有哪些？
A
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
高三第一轮复习线面角.ppt
（2）线面角取值范围是
[0, ] 2
二.例题
例：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中
求直线BA1与平面ABCD所成角的大小。
D1
变A1式AD1D：1所在成例角题大中小求。BA1与平面A1
C1 B1
D
C
4
A
B
变式2：在例题的正方体ABCD A1B1C1D1中，棱
长为2，把A1点移至AD1的中点E．求直线BE与平
O
变式5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形,PＤ⊥ 底面ABCD,且PD＝AD=3, E为线段PC的三等分点. 求AE与平面ABCD所成角α的正切值。 13
解：过E作EF ⊥DC于F，
连接AF可得EF∥PD，因
P
PＤ⊥底面ABCD,即EF
⊥底面ABCD，所以
∠EAF为所求角。∵E为
D
线段PC的三等分点，∴F
B1 O C
B
变求式A41：B（与教平材必面修A2第1B661页C例D2）所在成正角方。体ABCDD-1A1B1C1D1中，C1
A1
B1
解：设正方体的棱长为a
在RtΔA1BO中
2
A1B
2a, BO a 2
1 BO 2 A1B
D A
O C
B
BA1O 30o
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
面ABCD所成角θ的正弦值。
变式3：在变式2中 求直线BE与平面
．
D1
A1ABB1所成角的正弦 A1
值。 E
sin 6
6
D F
A
C1 B1
C B
• 找线面角时，关键就是在斜线上找到一点 （除斜足外）向平面内引垂线。并注意垂 足的位置。
求线面角的三种方法
试题研究SHI TI Y ANJIU本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.例如图1，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE ．求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．A 1ABCDE C 1B 1A 1AB C D E C 1B 1FH 图1图2方法1直接作出线面角求解分析因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段A 1B 1的中点，所以本题比较容易作出线面角.解如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，DC 1，C 1F ．由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 1的中点知，A 1B 1⊥C 1D ，A 1B 1⊥DF ．又C 1DDF =D ，所以A 1B 1⊥平面C 1DF ．而AB ∥A 1B 1，所以AB ⊥平面C 1DF ．又AB 平面ABC 1，故平面ABC 1⊥平面C 1DF ．过点D 作DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面ABC 1．连结AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角．由已知AB =2AA 1，不妨设AA 1=2，则AB =2，DF =2，DC 1=3，C 1F =5，AD =AA 21+A 1D 2=3，DH =DF ·DC 1C 1F=305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．方法2用等体积法求出点D 到面ABC 1的距离h ，h AD为所求线面角的正弦值分析如图3，连结C 1D ，BD ，即得四棱锥D -ABC 1．用等体积法，即V D -ABC 1=V C 1-DAB，容易求出点D 到平面ABC 1的距离h ．解如图3，连结C 1D ，BD.因为平面A 1B 1C 1⊥平面AB 1，C 1D ⊥A 1B 1，所以C 1D ⊥平面AB 1．不妨设AA 1=2，则AB =2，DC 1=3，AC 1=BC 1=6，AD =BD =3.易求S ΔA DB =2，S ΔABC 1=5．设D 在平面ABC 1内的射影为H ，DH =h ，连结AH ，则∠HAD 是AD 和面ABC 1所成的角.因为V D -A B C 1=V C 1-DA B，所以13×h ×S ΔA B C 1=13×C 1D ×S ΔABD ，h =305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．A 1AB C DE C 1B 1图3H ⊙潜江舒云水五胡十六国标志中国正式成为具有相似生活习惯和同一文化观念的多民族国家。
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6
利用公式cosθ =cosθ 1·cosθ 2
7
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线，其中θ 为OA与OC所成的角，θ 1为OA与OB所成的角，即线面角，θ 2为OB与OC所成的角，那么 cosθ=cosθ1·cosθ2 ，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角（常称为最小角定理）
线面角的三种求法
1
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的 角即为直线与平面所成的角。通常是解由 斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所 组成的直角三角形，垂线段是其中最重要 的元素，它可以起到联系各线段的作用。
2
四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面
SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB, 又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM 过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC ∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
4
2019/10/25
5
长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。
设点 B 到AB1C1D的距离为h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1 ∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB， 易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的 垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的 平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
3
利用公式sinθ =h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，ι 是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的0/25
10