掌握线面角的定义
线面夹角知识点及试题与答案(整理)
B
O
的斜线 斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 ⑶射影 BO 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂
王新敞
奎屯 新疆
足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影
王新敞
奎屯 新疆
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线 直线与平面垂直射影是点 斜线任一点在平面内的射影一定
空间角-求线面夹角
一、线面夹角的定义： 1、定义：平面的斜线和它在这平面内的射影所夹的锐交叫做这条斜线和这个平面所成的角。 【斜线和它在平面内 的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 】 2、直线与平面所成的角的范围是 [0,
] 。平面的垂线和这平面所成的角规定为直角。在平面内的直线或与平面 2
C
∠SBA=45°,∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。 （2）SC 与平面 ABC 所成的角。 解: （1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA, ∴SC⊥平面 SAB； 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60°。 （2） 连结 SM,CM，则 SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM, ∴面 ABC⊥面 SCM；过 S 作 SH⊥CM 于 H, ∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 sin∠SCH= 则 SH⊥平面 ABC
∴ a ⊥平面 POA
(1)三垂线定理描述的是 PA(斜线),AO(射影), a (直线)之间的垂直关系. (2) a 与 PA 可以相交,也可以异面.
1
(3)三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理. 关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线. 至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因 而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明 a⊥b 的一个程序:一垂, 二射,三证.即 第一,找平面(基准面)及平面垂线，定理中四条线均针对同一平面而言 第二,找射影线,这时 a,b 便成平面上的一条直线与一条斜线. 第三,证明射影线与直线 a 垂直,从而得出 a 与 b 垂直. 总结：一面四线三垂直 （2）三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在 平面内的射影垂直. 【如图即：若 AB⊥BD，DC⊥BC，得 AB⊥BC（三垂线定理的逆定理） 】 6. 求线面夹角的步骤如下： ①找出或作出线面夹角； ②证明其确实是所求的线面夹角； ③计算角的值，一般均在三角形中进行。
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
线面角的求法总结[学习]
![线面角的求法总结[学习]](https://img.taocdn.com/s3/m/78f30a5ef342336c1eb91a37f111f18582d00c59.png)
线面角的求法总结[学习]
一、定义
斜线面角，又称为投影面角，是指在一个平面和另一个平面上投影的两个斜线之间的
夹角。
一般我们用斜线来表示斜线面角，用直线来表示竖直面角。
二、求法
1.两斜线角度法
如果两斜线是相互垂直的，则斜线面角等于这两条斜线的夹角，这也是斜线面角最常
使用的求法。
4.斜线特点法
如果斜线有一个特点或异性，则可以用它来求斜线连接线的夹角，进而求出斜线面角。
比如说斜线的弦长、半径长I、斜线的最大距离C可以用来求斜线的斜线面角。
计算方式
如下：斜线面角=arcsin[(I-C)/C]
三、总结
以上就是斜线面角的求法总结：1.两斜线角度法；2.斜线直线角度法；3.斜线圆心角法；4.斜线特点法。
此外，也可以把斜线面角写成三角形的标准式求出，只要知道斜线面
角上两个边长，以及所角的度数就可以求出三角形的剩余一边所构成的总面角，也就是斜
线面角。
线面角和二面角的范围
线面角和二面角的范围一、引言线面角和二面角是几何学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、化学、材料科学等领域。
本文将详细介绍线面角和二面角的定义、计算方法以及其范围。
二、线面角的定义和计算方法1. 定义线面角是指直线与平面之间的夹角，即直线在平面上的投影与该直线本身之间的夹角。
它通常用于描述两个分子之间的相对位置关系。
2. 计算方法设直线L与平面P相交于点A，过点A作平面P上的垂线AD，则所求得的夹角就是∠LAD。
其中，LAD构成了一个直角三角形，因此可以使用三角函数来计算该夹角。
三、线面角的范围由于直线和平面可以任意取向，因此线面角没有固定的范围。
但是，在实际应用中，通常将其限制在0到180度之间。
四、二面角的定义和计算方法1. 定义二面角是指两个平面之间的夹角，即一个多面体两个相邻侧面所张开的空间部分所对应的立体角。
它通常用于描述多边形网格模型中不同面的相对位置关系。
2. 计算方法设多面体的两个相邻侧面分别为ABC和ABD，则所求得的二面角就是∠CABD。
其中，CABD构成了一个四面体，因此可以使用四面体立体角公式来计算该夹角。
五、二面角的范围二面角的范围通常被限制在0到180度之间。
在实际应用中，如果两个相邻侧面共线，则其二面角为0度；如果两个相邻侧面互相垂直，则其二面角为90度；如果两个相邻侧面背向而行，则其二面角为180度。
六、总结本文介绍了线面角和二面角的定义、计算方法以及其范围。
线面角是直线与平面之间的夹角，没有固定的范围；而二面角是两个平面之间的夹角，通常被限制在0到180度之间。
这些概念在计算机图形学、化学、材料科学等领域中有着广泛应用。
线面角面面角线线角的取值范围
线面角面面角线线角的取值范围一、前言线面角面面角线线角是几何学中常见的概念，对于初学者来说，理解这些概念的取值范围是非常重要的。
本文将详细介绍线面角面面角线线角的定义及其取值范围。
二、线1. 定义在几何学中，一条直线是由无数个点组成的无限长的集合。
直线可以用两个端点来确定。
2. 取值范围直线没有长度和宽度，因此其取值范围为无穷大。
三、面1. 定义在几何学中，一个平面是由无数个点组成的二维图形。
平面可以用三个点或一条直线和一个点来确定。
2. 取值范围平面没有体积和厚度，因此其取值范围为无穷大。
四、角1. 定义在几何学中，一个角是由两条相交的线段所组成的图形。
相交的两条线段称为角的边，它们相交的点称为角的顶点。
2. 取值范围一个角可以被分为四个部分：零度到90度之间称为锐角；90度称为直角；大于90度小于180度之间称为钝角；等于180度称为平角。
五、面角1. 定义在几何学中，一个面角是由三条相交的线段所组成的图形。
相交的三条线段称为面角的边，它们相交的点称为面角的顶点。
2. 取值范围一个面角可以被分为四个部分：小于90度称为锐面角；等于90度称为直面角；大于90度小于180度之间称为钝面角；等于180度称为平面角。
六、面角线1. 定义在几何学中，一个面角线是从一个顶点开始，穿过这个顶点所在的平面，并与另一条边相交而得到的一条线段。
2. 取值范围对于任意一个平面上的顶点来说，它可以连接该顶点和该平面上任意一点，因此其取值范围为无穷大。
七、线角1. 定义在几何学中，一个线角是由两条相交的直线所组成的图形。
相交的两条直线称为线角的边，它们相交的点称为线角的顶点。
2. 取值范围一个线角可以被分为四个部分：小于90度称为锐线角；等于90度称为直线角；大于90度小于180度之间称为钝线角；等于180度称为平线角。
八、总结通过以上的介绍，我们可以得出以下结论：- 线的取值范围为无穷大；- 面的取值范围为无穷大；- 角的取值范围为0到180度；- 面角的取值范围为0到180度；- 面角线的取值范围为无穷大；- 线角的取值范围为0到180度。
线线角和线面角
线线角和线面角[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]：一、线线角1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.2、范围:(0,]3. 向量知识：对异面直线AB和CD(1)；(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角；(3)二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为，3、范围: [0,]。
4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.[例题分析与解答]例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.解：∵，，∴∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴∴又∴∴所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）解法一：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））易知，∴BH//CD.∵G、H分别为ED、AD的中点，∴HG//AE则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，而，，，在ΔBHG中，由余弦定理，得，∴.∴异面直线AE、CD所成角的大小为.解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，（1）证明：∵∴∴∴（2）解：∵∴∴异面直线AE、CD所成角的大小为例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为4，则D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).则，∴，∵.∴∴BE1与DF1所成角的余弦值为点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结。
答案：空间几何体结构1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。
2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。
（图如下）底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。
底面是几边形就叫做几棱柱。
侧面：棱柱中除底面的各个面侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。
如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（图如下）4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱O’O注：棱柱与圆柱统称为柱体5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。
圆锥可以用它的轴来表示。
如：圆锥SO注：棱锥与圆锥统称为锥体6.棱台和圆台的结构特征（1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台。
下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
《直线与平面所成角复习课——线面角的三种常见求法》教案-最新教学文档
直线与平面所成角复习课（2）——线面角的三种常见求法一、教学内容解析新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。
对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。
特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。
那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。
二、教学目标设置1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。
2、过程与方法：（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。
（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。
（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。
3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
三、学生学情分析我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。
学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。
本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。
四、教学策略分析由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D A B
C
在棱长为1的正方体 在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中 的正方体 (2)求BD1和面 1ADD1所成的角 求 和面A
D1 A1 B1 C1
D A B
C
在棱长为1的正方体 在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中 的正方体 (3)求A1B1和平面 1ECF所成的角 求 和平面A 所成的角
O
A
θ1 θ2 θ
C
B
α
已知AB是平面 的一条斜线, 为斜足 为斜足, 已知 是平面 的一条斜线 B为斜足 AO⊥ , O为垂足 BC为 内一条直线 为垂足, ⊥ 为垂足 为 内一条直线, 求斜线AB与平 ∠ABC=600, ∠OBC=450, 求斜线 与平 面 所成的角
α α
α
α
A
α
B C
O
一个重要的推论
A E B M O C F D
小结
定义法(解三角形) 解三角形) 需作( 线面角 需作(找)出射影 的求法 最小角定理(找三个角) 找三个角) 向量法 无需射影,但需恰当建系 无需射影,
平面的垂线, 射影的作 作(找)平面的论
{
在棱长为1的正方体 在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中 的正方体 (1)求A1B和面 1ADD1所成的角 求 和面A 和面
D1 A1 F C1
B1
D E A B
C
如图所示,四棱锥 底面ABCD 如图所示 四棱锥P-ABCD中,底面 四棱锥 中 底面 是矩形, 是矩形 PD⊥底面 ⊥底面ABCD, AD=PD, E, F 分别是CD, PB的中点 的中点, 分别是 的中点 (1)求证 求证:EF⊥平面 求证 ⊥平面PAB (2)设AB= 2 BC,求AC与平面 与平面AEF所成角 设 求 与平面 所成角 z 的大小 P
D1 A1 E B1 C1
D A B
C F
在棱长为1的正方体 在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中 的正方体 (4)求A1B和平面 1B1CD所成的角 求 和平面A 和平面 所成的角
D1 A1 B1 E D A B C C1
在边长为1的正方体 在边长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 的正方体 1 E,F分别是 和C1D1上的点 分别是BC和 上的点,BE=C1F= 3 , 分别是 与平面A 求EF与平面 1BD所成角的余弦值 与平面 所成角的余弦值
AB, AC α, AD α的 线, 是 斜 若 ∠DAC= ∠DAB,
则 AD 在 α内的射影平分∠BAC 内的射影平分∠
D C
α
A B
E
在正四面体ABCD中,E为棱 的中点 中 为棱 为棱AD的中点 在正四面体 (1)求AD与平面 求 与平面 与平面BCD所成的角 所成的角 (2)求CE与平面 求 与平面 与平面BCD所成的角 所成的角
M C F E D B x A y
掌握线面角的定义 重点: 重点:掌握线面角的求法 关键:作(找)出射影从而找出线面角 关键:
线面角的定义
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角, 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角, 叫做斜线和平面所成的角 它是这条斜线与这个平面内任一条直线所 成的角中最小的角
cosθ = cosθ1 cosθ2