线面角的求法总结
法向量求线面角公式
法向量求线面角公式为：cosθ=a*b/(|a|*|b|)。
不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条线与原直线的夹角的余角）即为线面角。
公式上部分：a与b的数量积坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2。
公式下部分是a与b的模的乘积：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（|a||b|）=根号下（x1平方+y1平方）*根号下（x2平方+y2平方）。
线线角和线面角求解方法：
线线角可以直接采用公式求取，因为线线角范围是(0,π/2]，因此其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以直接求绝对值即可。
线面角的求取则需要借助平面的法向量，线面角与该直线和该平面的法向量所成的角互余，所以线面角的正弦值为直线与平面法向量所成角的余弦值，线面角的余弦值与平面法向量所成角的正弦值。
又因为线面角的范围同样为(0,π/2]，其夹角的正弦值和余弦值均恒大于等于零，所以在求该直线与该平面的法向量所成角的余弦值直接取绝对值即可。
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
线面角的求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
BMHSCA解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB，易得h=12／5 ，设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.83. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
求线面角的三种常见思路方法
求线面角的三种常见思路方法线面角是指直线与平面之间所形成的角，是几何学中一个重要的概念。
解线面角问题可以采用以下三种常见的思路方法：思路一：利用平行线的性质在解线面角问题时，常常会涉及到平行线的性质。
根据平行线的特征，可以使用以下思路来解决线面角问题：1.利用平行线的对应角相等和内错角相等性质。
如果已知两条直线平行，可以利用对应角相等和内错角相等的性质来求解线面角。
通过对已知条件进行分析，找到与线面角有关的对应角或内错角，利用性质得到所求的线面角的大小。
2.利用平行线与截线的交角性质。
当一条直线与两条平行线相交时，可以利用平行线与截线的交角性质来求解线面角。
根据已知条件，找到已知直线与平行线之间的交角，利用交角的性质计算出线面角的大小。
思路二：利用投影思想在解线面角问题时，可以利用投影的概念，将线面角问题转化为由线段形成的平面角的问题。
通过以下思路来解决线面角问题：1.利用垂直平分线的性质。
如果已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段的中垂线与平面垂直相交，就可以利用垂直平分线的性质求解线面角。
通过画出线段的垂直平分线，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质计算出线面角的大小。
2.利用投影线段的长度比例。
当已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段在平面上的投影与线段本身的长度之间存在一定的比例关系时，可以利用投影线段的长度比例求解线面角。
通过给出的长度比例关系，利用投影线段的性质计算出线面角的大小。
思路三：利用旋转思想在解线面角问题时，可以借助旋转的概念，将线段或线面角问题转化为更容易解决的问题。
以下是利用旋转思想解决线面角问题的方法：1.利用其中一直线的旋转。
如果已知一条直线与平面之间的夹角，并且可以将该直线绕一个点旋转，使旋转后的直线与平面重合或相切，就可以利用旋转后的性质来求解线面角。
通过旋转后的直线与平面的位置关系，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质求解线面角的大小。
2.利用绕轴旋转。
线面角的求法总结
线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。
在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。
下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。
一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。
具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。
然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。
简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。
二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。
它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。
具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。
然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。
简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。
三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。
具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。
然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。
最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。
简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。
四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。
例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。
这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。
总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。
正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。
线面角的求法
线面角的求法xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•线面角的定义•线面角的求法•线面角的应用01线面角的定义直线与平面的交点是求解线面角的关键，可以通过向量数量积的运算求得交点。
直线与平面的交点与平面内的点构成有向线段，可以表示为$\overset{\longrightarrow}{n} \cdot\overset{\longrightarrow}{r}$，其中$\overset{\longrightarrow}{n}$是平面法向量，$\overset{\longrightarrow}{r}$是直线上的向量。
两个平面相交于一条直线，这条直线可以用两个平面的法向量求解。
设两个平面分别为$\alpha$和$\beta$，其法向量分别为$\overset{\longrightarrow}{n1}$和$\overset{\longrightarrow}{n2}$，则两个平面的交线为$\overset{\longrightarrow}{n1} \times\overset{\longrightarrow}{n2}$。
线面角的范围是$\lbrack 0,\frac{\pi}{2}\rbrack$，其中$0$表示直线与平面重合，$\frac{\pi}{2}$表示直线与平面垂直。
当直线与平面平行时，线面角为$0$；当直线与平面垂直时，线面角为$\frac{\pi}{2}$。
线面角的范围02线面角的求法首先确定直线和平面的向量，通常用向量表示为$\mathbf{a},\mathbf{b}$。
夹角公式通过向量数量积和向量模长的计算，得到线面角的正弦值，即$\sin\theta =|\frac{\mathbf{a} \cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}| $。
确定向量利用向量求线面角VS1利用坐标系求线面角23建立适当的坐标系，确定直线和平面的方程。
建立坐标系通过求解直线和平面方程的交点，得到交线向量。
线面角和二面角的范围
线面角和二面角的范围一、引言线面角和二面角是几何学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、化学、材料科学等领域。
本文将详细介绍线面角和二面角的定义、计算方法以及其范围。
二、线面角的定义和计算方法1. 定义线面角是指直线与平面之间的夹角，即直线在平面上的投影与该直线本身之间的夹角。
它通常用于描述两个分子之间的相对位置关系。
2. 计算方法设直线L与平面P相交于点A，过点A作平面P上的垂线AD，则所求得的夹角就是∠LAD。
其中，LAD构成了一个直角三角形，因此可以使用三角函数来计算该夹角。
三、线面角的范围由于直线和平面可以任意取向，因此线面角没有固定的范围。
但是，在实际应用中，通常将其限制在0到180度之间。
四、二面角的定义和计算方法1. 定义二面角是指两个平面之间的夹角，即一个多面体两个相邻侧面所张开的空间部分所对应的立体角。
它通常用于描述多边形网格模型中不同面的相对位置关系。
2. 计算方法设多面体的两个相邻侧面分别为ABC和ABD，则所求得的二面角就是∠CABD。
其中，CABD构成了一个四面体，因此可以使用四面体立体角公式来计算该夹角。
五、二面角的范围二面角的范围通常被限制在0到180度之间。
在实际应用中，如果两个相邻侧面共线，则其二面角为0度；如果两个相邻侧面互相垂直，则其二面角为90度；如果两个相邻侧面背向而行，则其二面角为180度。
六、总结本文介绍了线面角和二面角的定义、计算方法以及其范围。
线面角是直线与平面之间的夹角，没有固定的范围；而二面角是两个平面之间的夹角，通常被限制在0到180度之间。
这些概念在计算机图形学、化学、材料科学等领域中有着广泛应用。
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结求法线面角的求法可以使用直接法和公式法。
直接法是通过斜线与平面内射影所成的角来求解，而公式法则是利用sinθ=h/ι的公式来求解。
直接法直接法通常是解由斜线段、垂线段和斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，其中垂线段是最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例如，对于四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，需要求解BC与平面SAB所成的角和SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于XXX，SC⊥SA，所以SC⊥平面SAB，因此∠XXX是直线BC与平面SAB所成的角，其值为60°。
2）连接SM、CM，则SM⊥AB，又∵SC⊥AB，所以AB⊥平面SCM，因此面ABC⊥面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，因此CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7/7.公式法公式法是利用sinθ=h/ι的公式来求解线面角。
其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
关键和难点在于求出垂线段的长，即斜线上的点到面的距离。
为此，可以使用三棱锥的体积自等来求解垂线段的长。
例如，对于长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=3，BC=2，A1A=4，需要求解AB与面ABC1D1所成的角。
解：设点B到ABC1D1的距离为h，由于VB-ABC1D1=VA-BB1C1，所以1/3S△AB1C1·h=1/3S△BB1C1·AB，因此h=12/5.设AB与面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ=h/AB=4/5，因此AB与面ABC1D1所成的角为arcsin0.83.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2，可以求解OA与OC所成的角θ，其中OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线。
线线角-线面角的向量求法--
线线角-线面角的向量求法--
在几何中，线段与面的角度是指两个线段在空间上的夹角，一条线段穿过一个平面，产生了一个线面角。
它的计算是利用空间线段的垂直向量来求解的，它与传统的线线角的求法有所不同。
线面角的求法主要有以下三种：
（1）直接求解线段的垂直向量。
利用空间线段的垂直向量，可以比较容易地求出线面角，其具体步骤是：（1）确定两个空间线段，并计算出每条线段的斜率；（2）由斜率计算出线段的垂直向量；（3）通过两个垂直向量的夹角来求出线面角的余弦值，然后将余弦值转化为角度值，即，线面角的值。
（2）转换为线线角的求法。
首先，由空间线段可以构造出一个平面；然后，可以将两个空间线段在这个平面上展开，其中一条线段是斜45°展开，另一条线段则与它垂直，这样，就可以计算出展开后的两条线段间的夹角，这个夹角就是原来空间中的线面角。
（3）空间坐标描述求解法。
空间线段可以根据它的端点坐标来描述，给定每条线段的端点坐标，可以用端点坐标计算出空间线段的方向向量，由此可以计算出这两条线段的夹角，即空间中的线面角。
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线面角的三种求法
1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,
B
M
H
S
C
A
图1
∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,
又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM
过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC
∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7
（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5
A 1
C 1
D 1
H
4
C
B 1
23
B
A
D
图2
∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2
（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α
内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，
B α
O
A
C
图3
θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）
例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则 ∠AOD 即为OA 与面OBC 所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos ∠AOC=cos ∠AOD·cos ∠DOC ∴cos60°=cos ∠AOD·cos30°
∴ cos ∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。
O
α
D
A
C
B
图4
（一）复习：
1．直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内） 2．思考：当直线a 与平面α的关系是a A α=时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？ （可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量） （二）新课讲解：
1．平面的斜线和平面所成的角：
已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直
线AB 是
斜线在平面α内的射影。
设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：
1||||cos AB AO θ=，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ==
又∵||||cos AC AO θ=，
可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅， 注意：2(0,
)2
π
θ∈（若22
π
θ=
，则由三垂线定理可知，
OA AC ⊥，即2
π
θ=
；与“AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ”
不相符）。
易得：1cos cos θθ< 又1,(0,
)2
π
θθ∈即可得：1θθ<．
则可以得到：
（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；
（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。
说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；
2．若//a α或a α⊂，则规定a 与α所成的角为0；
3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤；
4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12cos cos cos θθθ=⋅）。
2．例题分析：
例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α
所成角。
解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，
∴cos cos 601cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠=
==÷=∠， ∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．
例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。
〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ，
∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，
在1Rt A BO ∆中，1
11
2
AO A B =，∴130A BO ∠=． （法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，
又∵112cos cos 452A BB ∠==，11cos B B B BO BO ∠==
θ
θ2
θ1O
C
B
A
α
O C
B
A
α
A 1
∴11
1
1
cos
cos
cos
A BB
A BO
B BO
∠
∠===
∠
，∴
1
30
A BO
∠=．
说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹
角。
另外，在条件允许的情况下，用公式
2
1
cos cos cos
θθθ
=⋅求线面角显得更加方便。
例3．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。
解：过A作AO⊥平面BCD于点O，连接,,
CO BO DO，
∵AB AC AD
==，∴O是正三角形BCD的外心，
设四面体的边长为a
，则
3
CO a
=，
∵90
AOC
∠=，∴ACO
∠即为AC与平面BCD所成角，
∴cos ACO
∠=，所以，AC与平面BCD
3
．
五．课堂练习：课本第45页练习第1，2，3题；第47页习题9.7的第1题。
六．小结：1．线面角的概念；
2．
12
cos cos cos
θθθ
=⋅及应用步骤：
12
,,
θθθ在图形中所表示的角。
七．作业：课本第45页练习第4题、第47页习题9.7的第2题。
补充：1如图，PA是平面α的斜线，BAC
∠在平面α内，且满足90
BAC
∠=，又已知
60
PAB PAC
∠=∠=，求PA和平面α所成的角。
2．如图，已知PA⊥正方形ABCD
所在平面，且24,
PC PB PD
===PC和平
面ABCD所成的角。
O
D
C B
A A
P
C
B
α
A
B C
D
P。