高中数学 必修五数列导学案

数列导学案

§2.1 数列的概念及简单表示（一）

【学习要求】

1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．

3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．

【学法指导】

1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．

3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【知识要点】

1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n 位的数称为这个数列的第 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为 ．

3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_____数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式．

【问题探究】

探究点一 数列的概念

问题 先看下面的几组例子：

（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，…； （2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1

5

；

（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，…； （4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，…；

（5）当n 分别取1,2,3,4,5，…时，(－1)n 的值排成一列数：－1,1，－1,1，－1，…. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．

探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？ 探究点二 数列的几种表示方法

问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？ 探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整． （1）数列：1,3,5,7,9，…

①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示：

（2）数列：1，12，13，14，1

5，…

①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示：

③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)： 探究点三 数列的通项公式

问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？

探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？

数列

通项公式 －1,1，－1,1，… a n ＝ 1,2,3,4，… a n ＝ 1,3,5,7，… a n ＝ 2,4,6,8，… a n ＝ 1,2,4,8，… a n ＝ 1,4,9,16，… a n ＝ 1，12，13，1

4

，… a n ＝

【典型例题】

例1 根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项． （1）a n ＝cos

n π2

； （2）b n ＝11×2＋12×3＋1

3×4＋…＋

1

n

n ＋1

. 小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考

虑运算化简后再求值．

跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．

（1）a n ＝2n ＋1；（2）b n ＝2

)

1(1n

-+

例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）1，－3,5，－7,9，…； （2）12，2，92，8，25

2

，…；

（3）9,99,999,9 999，…； （4）0,1,0,1，….

小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： （1）212，414，618，81

16，…；

（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，…； （3）－12，16，－112，1

20，….

例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝

－1

n

n ＋1

2n －12n ＋1

.

（1）写出它的第10项；

（2）判断2

33

是不是该数列中的项．

小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项． 跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝

1n n ＋2

(n ∈N *)，那么1

120是这个数列的第______项．

【当堂检测】

1．下列叙述正确的是 ( )

A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列

B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }

C ．数列0,1,0,1，…是常数列

D ．数列{n

n ＋1}是递增数列

2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，…. 3．已知下列数列：

（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，12，2

3，…，n －1n

，…；

（3）1，12，14，…，12n －1，…； （4）1，－23，3

5，…，－1n －

1·n 2n －1，…；

（5）1,0，－1，…，sin

n π

2

，…； （6）6,6,6,6,6,6. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上) 4．写出下列数列的一个通项公式： （1）a ，b ，a ，b ，…； （2）－1，85，－157，24

9

，….

【课堂小结】

1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数

列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．

2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．

3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．

【拓展提高】

§2.1 数列的概念及简单表示（二）

【学习要求】

1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项． 2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．

【学法指导】

1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几

项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．

2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．

【知识要点】

1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．

2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．

3．一般地，一个数列{a n }，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{a n }的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．

4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则a n ＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列．

【问题探究】

公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{a n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，a n ＋1＝a n ＋a n －1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式． 探究点一 数列的函数特性

问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识． 探究1 数列的单调性

下面给出了一些数列的图象：