求展开式系数的类型及最大最小项
专题04 二项式定理及二项式系数性质
x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12。
解法二： 3
x＋
1 x
4＝
3x＋1 x2
4
答
＝ 1 (81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x2
案 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12。 与 (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25·(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55·(x－1)0－1
n－1＝1＋n－1＋C2n－1·12 2
2＋…＋
1 2
n－1>n＋1>0，所以 2
2 3 n－1<n＋2 1，即原不等式成立。
与
解
析
难点三：
【典例】用二项式定理证明：7777－1 能被 19 整除．
【解析】7777－1＝(76＋1)77－1
＝7677＋C177 ×7676＋C277 ×7675＋…＋C7767 ×76＋C7777 －1
n- 3 r
x 2.
(1)由展开式的第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2∶5，
可得 C1n ∶C2n ＝2∶5，解得 n＝6(n＝0 舍去).
答 6-3r
(2)由(1)知 Tr＋1＝(－1)r26－rCr6 x 2 ，所以展开式的第 3 项的系数为(－1)2×26－2C26 ＝240，
案 第 4 项的系数为(－1)3×26－3C36 ＝－160. 与 解 析
案 项的系数不为 0，故 A 正确，B 错误；
与 n3r 当－3r－n＋4k＝1，即 3r＋n＋2＝8k 时，当 r＝0，k＝1，n＝6 是其中一组解，由于 Crn 3r x 2 Cnk x4kn 的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，
答 ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. 案 (3)∵Tk＋1＝Ck7(3x)7－k(－1)k， 与 ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384. 解 析
二次项定理10大典型例题
（1）知识点的梳理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n nn n n C C C C +++++=-。
二项展开式系数与二项式系数
.
（2）若( x 2 x 1)n a0 a1 (x 1) a2 (x 1)2 …… a2n (x 1)2n ,
则a0 a1 …… a2n
.
（3）若( x 2 2x 3)n a0 a1x a2 x 2 …… a2n1x 2n1 a2n x 2n ，则a0
a2 a4 …… a2n
( 3)8 2
如何求奇数项系数和： a1 a3 a9 ．
C C C 提示: (1 1 y)8 (1)0 0 ( 1)1 1 y1 ( 1)2 2y2
2
2
n2
n
2
n
a1 a2 y1 a3 y2 a9 y8
C ( 1)8 8y8
2
n
小结
• 杨辉三角; • 二项式系数有关性质; • 比较法研究(相邻)系数大小变化规律; • 赋值法研究系数和问题; • 本节课涉及的数学思想主要是 (1)模型化思想(化归思想的一种); (2)特殊化思想(转化思想的一种).
排列方式一
1
1
11
1
121
2
133 1
3
1464 1
5
1 5 10 10 5 1
8
13
排列方式二
将展开式每一项的二项式系数乘以(n+1),再取倒数,可得到下列数表:
莱布尼茨三角数表
认识杨辉三角
杨辉三角很好地表 达了二项式系数局 部与整体的关系,如 果只看每一横行,那 么我们就只见树木, 不见森林了,无法很 好体会二项式系数 之间的递推性和生 成性.
.
5．已知 1 2 x n 展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的
2 倍，且等于它后一项系数的 5 ，试求该展开式系数最大的项。
二项式知识点+十大问题+练习1(含答案)
1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共（n+1）项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。
②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
二项式定理常见题型
二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，·1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理和其应用
• (3)各二项式系数旳和
• (a＋b)n旳展开式旳各个二项式系数旳和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中旳二项式系数旳和 等于奇数项旳二项式系数旳和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 答案：B
• 3．若对于任意旳实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋ a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2旳值为( )
• A．3
B．6
• C．9
D．12
• 解析：因为x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是 二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一种整体应用二 项式定理展开)旳展开式中第3项旳系数，所以
• ∴被100除旳余数为81，即9192除以100旳余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92
• ＝C 92 0·909 2＋C 92 1·9091 ＋…＋C92 90 ·902＋ C9291·90＋1
• 因为前面各项均能被100整除，只有末尾两项不 能被100整除，因为C9291·90＋1＝8281＝8200 ＋81
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数旳性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
)
A．10
B．5
5 C.2
二项式定理 二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．知识内容赋值求某些项系数的和与差③注意二项式系数（rn C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rn C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若1()nx x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152典例分析【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例6】 在二项式412nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx -的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin 22sin cos x x x =． ⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk kn k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k n n -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ． 1+B ．1C ．1+D ．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例34】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3。
知识讲解-二项式定理(基础)110
二项式定理【学习目标】1 •理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 •会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【要点梳理】要点一：二项式定理1. 定义一般地，对于任意正整数n,都有：(a b)n C^a0C；a n 1b C；a n r b r C；b n( n N*),这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。
式中的C；a n r b r做二项展开式的通项，用T r+i表示，即通项为展开式的第r+1项：T r 1 C；a n r b r,其中的系数C n (r=0 , 1, 2，…，n)叫做二项式系数，2 •二项式(a+b) n的展开式的特点：(1) 项数：共有n+1项，比二项式的次数大1;(2) 二项式系数：第r+1项的二项式系数为C0，最大二项式系数项居中；(3) 次数：各项的次数都等于二项式的幕指数n.字母a降幕排列，次数由n到0;字母b升幕排列，次数从0到n,每一项中，a, b次数和均为n;3.两个常用的二项展开式：①(a b)n C：a n C：a n1b L ( 1)r C；a n r b r L ( 1)n C；b n(n N*)②(1 x)n 1 C：x C'x2 L C：x r L x n要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项: _____________________T r 1 C：a n-r b r( r 0,1,2, ,n)公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是c n ；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n。
要点诠释：(1)二项式(a+b) n的二项展开式的第r+1项C n r a n r b r和(b+a) n的二项展开式的第r+1项C；b n r a r是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的.(2 )通项是针对在(a+b) n这个标准形式下而言的，如(a —b)n的二项展开式的通项是T r 1 ( 1)r c；a n r b r(只需把—b看成b代入二项式定理)。
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1 求展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一 、)()(Nnban型
例1．10(2)xy的展开式中64xy项的系数是（ ） （A）840 （B）－840 （C）210 （D）－210 解析：在通项公式1rT1010(2)rrrCyx中令r=4，即得10(2)xy的展开式中64xy项的系数为
4410(2)C=840,故选A。
例2．8)1(xx展开式中5x的系数为 。
解析：通项公式rrrrrrrxCxxCT2388881)1()1( ，由题意得5238r，则2r，故所求5x的系数为28)1(282C。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r的值。 二 、),()()(Nmndcbamn型
例3．843)1()2(xxxx的展开式中整理后的常数项等于 .
解析；342()xx的通项公式为341241442()()(2)rrrrrrrTCxCxx,令0412r，则3r,这时得342()xx的展开式中的常数项为3342C=－32, 81()xx的通项公式为8821881()kkkkkkTCxCxx,令
028k，则4k,这时得81()xx的展开式中的常数项为48C=70，故843)1()2(xxxx的展开式中常数
项等于387032。 例4．在65)1()1(xx的展开式中，含3x的项的系数是（ ） (A)5 (B) 5 (C) 10 (D) 10 解析：5)1(x中3x的系数35C10, 6)1(x中3x的系数为336(1)C20,故65)1()1(xx的
展开式中3x的系数为10,故选D 。 评注：求型如),()()(Nmndcbamn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。 三 、),()()(Nmndcbamn型 2
例5．72)2)(1(xx的展开式中3x项的系数是 。 解析：7)2(x的展开式中x、3x的系数分别为617)2(C和437)2(C，故72)2)(1(xx的展开式中3x项的系数为617)2(C+437)2(C=1008。 例6．811xx的展开式中5x的系数是（ ） （A ）14 （B ）14 （C ）28 （D） 28 略解：8)1(x的展开式中4x、5x的系数分别为48C和58C,故811xx 展开式中5x的系数为
458814CC,故选B。
评注：求型如),()()(Nmndcbamn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。 四 、)()(Nncban型
例7．5)212(xx的展开式中整理后的常数项为 .
解法一：5)212(xx=52)12(xx，通项公式521512()2kkkkxTCx, 51()2kxx的通项公式为5(5)152rrkrkrrkTCxx52552rrkkrkCx
,令025kr，则52rk，可得2,1rk或
1,3rk或0,5rk。
当2,1rk时，得展开式中项为1122254152222CC； 当1,3rk时,，得展开式中项为31152222202CC； 当0,5rk时，得展开式中项为554242C。
综上，5)212(xx的展开式中整理后的常数项为1526322024222。 解法二：5)212(xx=52)2222(xxx=552)2()2(xx=510)2()2(xx，对于二项式10)2(x中，rrrrxCT)2(10101，要得到常数项需510r，即5r。所以，常数项为22632)2(55510C。
解法三：5)212(xx是5个三项式1(2)2xx相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式1(2)2xx中，从其中一个取2x，从另外4个三项式中选一个取1x，从剩余的3个三项式中取常数项相乘， 3
可得11335431(2)2022CCC；从其中两个取2x，从另外3个三项式中选两个取1x，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得22253115()2222CC；从5个相乘的三项式1(2)2xx中取常数项相乘，可得555(2)C=42。
综上，5)212(xx的展开式中整理后的常数项为1526322024222。 评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。
五 、1()()()(,,1)mmnabababmnNmn 型
例8．在62)1()1()1(xxx的展开式中，2x项的系数是 。（用数字作答） 解析：由题意得2x项的系数为352625242322CCCCC。 例9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)xxxxxx
5)1(x中4x的系数为455C，9)1(x中4x的系数为－49126C,－126+5= －121,故选D。
评注：例8的解法是先求出各展开式中2x项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为
(1－x)5，公比为(1－x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求1()()()(,,1)mmnabababmnNmn的展开式中某特定项系数的两种常规方法。 六 、求展开式中若干项系数的和或差 例10．若2004200422102004...)21(xaxaxaax)(Rx，
则_______)()()()(20040302010aaaaaaaa。(用数字作答) 解析：在2004200422102004...)21(xaxaxaax中，令0x，则10a， 令1x，则1)1(200420043210aaaaa 故)()()()(20040302010aaaaaaaa =20030a+200420043210aaaaa。 例11．423401234(23)xaaxaxaxax，则2312420)()(aaaaa的值为（ ）
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2 4
解析：在423401234(23)xaaxaxaxax中，
令1x，可得43210aaaaa4)32(，
令1x，可得43210aaaaa4)32(
所以，2312420)()(aaaaa=))((3142031420aaaaaaaaaa
=))((4321043210aaaaaaaaaa=4)32(4)32(=1,故选A。 评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。 二项式中“最大项、最小项”的求解策略
二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决．在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同． １．二项式系数最大项问题
例１ 已知1(2)2nx的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项． 分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件．先确定n的值，再根据二项式系数的性质求解．
解：1(2)2nx的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数分别为456,,nnnCCC． 由题意得4652nnnCCC，即221980nn．∴n＝７或n＝14． 当n=7时，展开式中二项式系数最大的项为4T和5T，
∴343347135()(2)22TCxx，4344571()(2)702TCxx． 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项为8T，∴77778141()(2)34322TCxx． 评注：求二项式()nab系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．
２．二项展开式中系数最大项问题