求展开式系数的类型及最大最小项
高三复习：二项式定理 知识点、题型方法归纳
绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤 学生姓名：___________一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n an －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n rn n C C -=(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()n x y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A.6B.7C.8D.9解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3，∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70.【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C.例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中，11x 的系数为_______.解：11x 的系数为121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
巧求二项展开式中系数的最值
设 ｒ项 系 ￡ ８ ， ≥可 ｒ ， 第＋ 的 数 由 １得≤ １ 。ｃ 争 ：； 萼
又 １ ≤５ ｒ 因此 当 １ ≤５时 ＞ ≤ｒ ，ＥＮ， ≤ｒ ｌ恒成立 ，＋＝ Ｉ ＿１ ＂ ｒ １ 不可能成 立 ； 所以 ｔ ｔ ＜ ＜ 即第 ６项 的系数 最大 ， 系 。２ ＜ ＜ ｔ＜ ， 且
数 最 大 项 为 ：２ ６ｘ． ３ ７ ８
例 ４ 求 （－ ４＋ ￣
，
） 展开式 中系数最 大项 和最小项
．
解
设（ ＋ ） 展开式的通项为 一
则 ｔ （ ）丁其。 ＝ （ ＝ １ 中≤ ｃ 广去） ｃ－ ｒ ； （ ：ｒ ， ６ ３
≤８ ｒ ． ，∈Ｎ 设 。 ）ｃ ， ＝（ 。 由 ≥１ ｒ ， ｒ 得 ≤３ 又 １ ≤８ ｒ 从 而当 ｒ １２时 ＞ ； ｒ ３时 ≤ｒ ，ＥＮ， ＝ ， １当 ＝
＝・ 当 ； ， ， ，， ５ ６ ７ ８时 ＜ ， １
解 法 １ 起 来 好 像 简 单一 些 ， 为 什 么 只 要 满 足 看 但
能断定 第 ｒ ｌ项 的系 数 最 大 理 由不 太 充 ＋ 分， 而且不 能 同时解决 系数 最大 和最 小问题 ， 同时对 于 本题来说 当 ｒ ５时 ｔ ＝ ＝ ￡ 是没有意义 的 ， 也就 是说对 于 传统办法来说 解决不 了第一 项或 最后 一项 为系数 最 大
脚 彻 的数 由 系
为 ３７ ８’ ２ ６ ｘ．
： 。
≤≤ 因 ＝， 第６ 的 数 大， 数 项 ｒ 芸，此ｒ５即 项 系 最 且系 最大
解 法 ２ 设 （ ＋ 展 开 式 的 通 项 为 ＋， １ ８） ．
则 。 ｃ （ ｘ ８ｃｘ， 中 ０ ≤５ ｒ Ｎ， ＝ ； ８ ）＝ ； 其 ≤ｒ ， ∈
(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)
二项式定理1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n nn n n ∈++⋅⋅⋅++=+---. 2.二项式定理的说明：（1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。
所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。
（3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。
（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ，）（1,...,3,2,1111+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。
（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
如：nn r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1n C -.（7）常见二项式：令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x nn n n n n nn n ∈++⋅⋅⋅++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n nn n ∈-+⋅⋅⋅++-=-. 3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即kn n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110 .（2）二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为：n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-，变形有：12321-=+⋅⋅⋅+++n n n n n n C C C C . （3）15314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n nn n n C C C C C C ； （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和： 已知n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2++++=+，则奇数项的系数和：n a a a a 2420...+++=_______________________________； 偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________； （5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n 是偶数时，则中间项为第）（12+n项的二项式系数2nn C 取得最大值；如果二项式的指数n 是奇数时，则中间项有两项，分别为第21+n 项和第23+n 项，对应的二项式系数12n n C -，12n nC+同时取得最大值。
三项式展开 各项系数
三项式展开各项系数展开三项式是一种常见的因式分解方法，也就是把一个多项式按幂次降幂形成同乘积系数的三项式，扩展成一个加减乘除上乘方括号括起来的平方项加上常数项。
展开三项式时要注意各项系数。
展开三项式时，最简单的情况就是两个指数相同的项相加或减，同时计算出他们的系数，并重新排列他们的号码。
例如：（3x+2y）(x-2y)将此三项式按幂次降幂后变成：3x²-6xy+4y²然后按照上面的公式写出各项系数。
3x²的系数：对应的原式有(3x+2y)和(x-2y)，系数为（3+1）=4。
-6xy的系数：对应的原式有(3x+2y)和(x-2y)，系数为（3-2）=-1。
4y²的系数：对应的原式有(3x+2y)和(x-2y)，系数为（2+1）=3。
故系数分别为4，-1，3。
在化简多项式的过程中，展开三项式可以减少复杂的计算。
对于任意的多项式，只要将其拆分成两个多项式，用三个变量乘法法则去展开，就可以得到展开三项式。
展开三项式有很多实用算法，其中最值得注意的一种是利用三文本系数（块环系数）。
即三个等式组为一组，求出各系数值。
例如：（x+2y+z) (2x-y-z)设其系数分别为a,b,c根据三文本系数只需要计算每一行三个系数，就可以求出整个三项式的展开系数。
令系数a+b+c=C首先将其拆分为两个小的三项式x+2y+z 2x-y-z其中系数分别为a+c,b+c令系数a+b+2c=C开始算法：（1）令a+c=1（2）从（1）中求出C=a+b+2c，（3）将（2）式中的c带入（1），求出b=C-2（4）将（3）式中的b带入（2），求出a=C-2，（5）最后，将（4）式中的a带入（1），求出c=C-2从上面可以看出，三文本系数法求解展开三项式时，只需要选择一组满足条件的系数，求出对应的值，就可以得出整个展开三项式的系数。
展开三项式时，各项系数是很重要的，如果求出来的系数有问题，就不能得到正确的展开三项式。
(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（ ） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问 （1）能够组成多少个五位奇数？ （2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案） （1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起； （5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法； 第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类 解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理， 共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求 【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60． 【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择， 故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙 解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48； 【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可； （2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可； 【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数； （2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数； 若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数； 若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数； 若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数； 若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数； 则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况； 在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况， 则有48个比40000大的正整数； 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排， 所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排， 由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数， 可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解． 【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法； （3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题， 男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法， 女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法， 男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法， 由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法； （5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲， 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法， 再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法， 所以共有16563600A A =种方法． 【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。
二项展开式系数最大项的特殊求法
二项展开式系数最大项的特殊求法在数学的世界里，我们常常会碰到一些看起来既复杂又不太容易理解的问题，二项展开式就是其中一个典型例子。
二项展开式嘛，说白了就是你遇到像 ((a + b)^n) 这种形式的式子，想要把它展开成一长串的项，没错，就这么简单。
不过，大家别急，展开式的系数并不是随便挑出来的，而是有规律可循的。
今天，咱们就要聊聊如何找到二项展开式中系数最大的那一项，保证让你不仅学得清晰，而且还一语惊醒梦中人。
咱得明确一个小常识：二项展开式的每一项，系数是通过所谓的“组合数”来计算的。
这种组合数听起来高大上，实际上就是从 n 个元素中挑选 r 个的方式有多少种。
这个组合数用一个叫“C(n, r)”的符号表示，大家可以想象它就像是在说“我从 n 个选择中，挑 r 个出来，能有多少种不同的组合”。
没错，就是这么简单！但问题来了，如何快速找到二项展开式里哪个项的系数最大呢？哎呀，别急，我们一步步来。
二项展开式是一个非常有规律的东西。
举个例子，比如 ((a + b)^6) 这个展开式。
你展开出来之后会得到七个项，系数分别是：1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。
这些系数可是有讲究的！大家会发现，系数从前到中间再到后面是呈现一种“对称”的状态。
你看，最开始和最后一个系数是1，中间的系数不断增大，到中间部分的时候最大，然后又开始减小，像个钟摆一样，清晰可见，规律性十足。
如何在这些系数中找到最大的那个呢？嘿嘿，其实很简单。
最大项总是出现在接近中间的位置。
如果你把这些项当做是按大小排列的，那么二项展开式的最大项会出现在指数 (frac{n{2) 附近的位置。
如果 n 是偶数，最大的项就会在正；如果 n 是奇数，最大的项会出现在两个中间项之间。
用点数学术语来说，二项式系数的最大项总是位于 (r =leftlfloor frac{n{2 rightrfloor) 或者 (r = leftlceil frac{n{2 rightrceil) 这两个值附近，别看这些公式写起来挺复杂，但其实就是告诉你，最大的项就是出现在二项展开式的“中间”。
二项式展开式系数的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
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求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一 、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是( ）（Ａ)8４0 （B)－84０ （C)210 （Ｄ）－２10解析:在通项公式1r T +=1010()rr r C x -中令r =4,即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。
例2．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 。
解析:通项公式r r rr rr r xC xxC T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。
评注:常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a mn型 例３．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析;342()x x -的通项公式为341241442()()(2)rr rr r r r T C x C x x--+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -＝－32， 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C ＝70,故843)1()2(xx x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。
例4.在65)1()1(x x ---的展开式中,含3x 的项的系数是（ )(Ａ)5- (B) 5 (C ） 10- (D ） 1０解析:5)1(x -中3x 的系数35C -=10-， 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。
评注:求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a mn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式,由多项式加减法求得所求项的系数。
三 、),()()(*∈++N m n d c b a mn型例5.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。
解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617)2(-C 和437)2(-C ,故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617)2(-C +437)2(-C =1008。
例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ )(A ）14- (B ）14 （C )28- （Ｄ) 28略解:8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和58C ,故()()811x x -+ 展开式中5x 的系数为458814C C -=，故选B 。
评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a mn的展开式中某一项的系数,可分别展开两个二项式,由多项式乘法求得所求项的系数。
四 、)()(*∈++N n c b a n型 例７.5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5)212(++x x ＝52)12(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x ,通项公式521512()2kk k k x T C x -+=+, 51()2k x x -+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ,则52=+r k ,可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。
当2,1==r k 时,得展开式中项为1122254222C C -=； 当1,3==r k 时,,得展开式中项为311522C C -=当0,5==r k时，得展开式中项为55C =。
综上，5)212(++xx=。
解法二:5)212(++x x ＝52)2222(x x x ++＝[]552)2()2(x x +=510)2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中,rrr r xC T )2(10101-+=,要得到常数项需510=-r ,即5=r 。
所以,常数项为22632)2(55510=⋅C 。
解法三:5)212(++x x 是5个三项式1(2x x+相乘。
常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式1(2x x +中,从其中一个取2x ,从另外4个三项式中选一个取1x ,从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得113354312C C C ⋅⋅⋅⋅=2x ,从另外3个三项式中选两个取1x,从剩余的１个三项式中取常数项相乘，可得222531()2C C ⋅⋅=;从5个相乘的三项式1(2x x++中取常数项相乘,可得555C ⋅=。
综上,5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为22+=。
评注:解法一、解法二的共同特点是:利用转化思想,把三项式转化为二项式来解决。
解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题,本质上是利用加法原理和乘法原理,这种方法可以直接求展开式中的某特定项。
五 、1()()()(,,1)mm n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型例８．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中,2x 项的系数是 。
(用数字作答) 解析:由题意得2x 项的系数为352625242322=++++C C C C C 。
例９．在(1-x ）5＋(1-x )6+(1－x )7＋(1-x )8的展开式中，含x ３的项的系数是( ) (Ａ） 74 (B) 121 (Ｃ) -74 (D) －12１解析：(１－x )5＋(1－x )6+(1-ｘ)7＋(1-x )8＝5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=-- 5)1(x -中4x 的系数为455C =,9)1(x --中4x 的系数为－49126C =-，-１26+5= -121，故选D 。
评注：例8的解法是先求出各展开式中2x 项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1-x )5,公比为(1－x )的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数,简化了运算。
例８和例9的解答方法是求1()()()(,,1)mm n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤<的展开式中某特定项系数的两种常规方法。
六 、求展开式中若干项系数的和或差例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)解析:在2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-中,令0=x ,则10=a ,令1=x ,则1)1(200420043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20040302010a a a a a a a a ++++++++ ＝20030a +200420043210=+++++a a a a a 。
例1１.423401234(2x a a x a x a x a x =++++,则2312420)()(a a a a a +-++的值为( ) (A) 1 （Ｂ) －1 （Ｃ) ０ （D ） ２解析：在423401234(2x a a x a x a x a x =++++中，令1=x ,可得=++++43210a a a a a 4)32(+， 令1-=x ，可得=+-+-43210a a a a a 4)32(-所以，2312420)()(a a a a a +-++=))((3142031420a a a a a a a a a a --++++++=))((4321043210a a a a a a a a a a +-+-++++=4)32(+4)32(-=1,故选A 。
评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。
赋值法是给代数式（或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。
实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显,巧赋特值可减少运算量。
二项式中“最大项、最小项”的求解策略二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项,通常都可以利用通项来解决．在求解中,要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同.1．二项式系数最大项问题例1 已知1(2)2nx +的展开式中,第5项、第6项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件.先确定n 的值,再根据二项式系数的性质求解.解：1(2)2n x +的展开式中，第5项、第6项、第７项的二项式系数分别为456,,n n n C C C ．由题意得4652n n n C C C +=,即221980n n -+=．∴n =７或n =１4．当n =7时，展开式中二项式系数最大的项为4T 和5T ， ∴343347135()(2)22T C x x ==,4344571()(2)702T C x x ==. 当n ＝1４时，展开式中二项式系数最大的项为8T ，∴77778141()(2)34322T C x x ==．评注：求二项式()na b +系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时中间一项的二项式系数最大．２.二项展开式中系数最大项问题例2 已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于12１，求展开式中系数最大的项．解：末三项的二项式系数分别为21,,n n nn n n C C C --，由题设，得21121n n n nn n C C C --++=，即211121n n C C ++=.∴22400n n +-=, ∴15(16n n ==-舍去).∵11515(3)3r r r r rr T C x C x +==•，设r T 项,1r T +项和2r T +的系数分别为1,r r t t +,和2r t +，则1111151152153,3,3r r r r r r r r r t C t C t C --++++=•=•=•.设1r t +最大，则11151511151533,33r r r r r r r r C C C C --++⎧•≥•⎪⎨•≥•⎪⎩ 可知r =11或r =12. ∴展开式中系数最大的项是111111121212121513153,3T C x T C x =•=•．例３ 求7(12)x -展开式中系数最大的项.解:展开式共有８项,系数最大的项必为正项,即在第一、三、五、七这四项中取得,又因7(12)x -括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右,故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．443577661777(2)1(2)4T C C T C C -==>-系数系数，所以系数最大的项是第五项，44457(2)560T C x x =-=． 评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理,使解题过程得到简化．3．二项展开式中指定项系数最大(小)项问题例4 已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项的系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值.解：∵()f x =0011222()()()m n m n m n C C C C x C C x ++++++，∴112211m n C C m n +⨯=+=，∴112m n =-∴2222242355m n C C n n +=-+=2233514()816n -+∵n N +∈,∴n ＝3时，上式有最小值22．即()f x 展开式中2x 项系数的最小值是22.评注:对于此类问题,可利用二项式定理展开,求出2x 项的系数,再将问题转化为二次函数知识进行求解． ４.展开式中最大项（数值)问题 例５设x =50(1)x +展开式中第几项最大?解:设第r +1项为1r T +且最大,则有11505011112505029r r r r r r r r r r r r C C T T r T T C C --+++++⎧≥≥⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≥≥⎩⎪⎩． ∴50(1)x +展开式中第30项最大.评注:此类问题同第二类问题类似,常设出它的最大项,列不等式组，再确定该项.。