二项式应用——系数最大值求法
专题39 二项式展开项的通项及应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用．【重点知识回眸】1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，nn C . 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值． 当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r nn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，（4）常用结论①0n C ＝1；②1nn C =；③m n m n n C C -=；④11m m m n n n C C C -+=+.4.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【典型考题解析】热点一 二项式展开式的通项公式的应用【典例1】（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【典例2】（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【典例3】（2022·山西·高三阶段练习）二项式()4x ay +的展开式中含22x y 项的系数为24，则=a ______．【典例4】（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）． 【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b )n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．3.求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路 (1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到(),()nma b c d ＋＋的通项公式，综合考虑．4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 热点二 形如()na b c ＋＋的展开式问题【典例5】（2021·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．11520【典例6】（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（ ） A ．120B ．-120C ．60D ．30【典例7（2022·山东济南·模拟预测）()3221x x -+的展开式中，含3x 项的系数为______（用数字作答）. 【规律方法】求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 热点三 二项式系数的和与各项的系数和问题【典例8】（2022·全国·高三专题练习）已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n nn n n n n +++++=，则123C C C C nn n n n ++++=（ ）A ．31B ．32C ．15D ．16【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-【典例10】（2022·北京四中高三开学考试）设多项式51010910910(1)(1)x x a x a x a x a ++-=++++，则9a =___________，0246810a a a a a a +++++=___________. 【规律方法】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.热点四 二项式系数的性质【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【典例12】（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（ ）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1 B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240xC ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32【典例13】（2022·浙江·三模）在二项式4(2)+x 的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________． 【规律方法】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式(1)(1)2f f +-(1)(1)2f f --组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 热点五 二项式定理应用【典例14】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．222234510C C C C 165++++=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．【典例16】（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.【规律方法】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. 2.特别提醒: （1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转rn rr n C ab -1r +r 1r n r r r n T C a b -+=1r T +rn C a b n r a b n r n r化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A ．160 B ．120 C ．90D ．602．（2022·全国·高三专题练习）()()52x y x y +-的展开式中的33x y 项系数为（ ） A ．30B ．10C ．-30D ．-103．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ）A ．454B ．458-C ．358D ．74．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．0B ．120-C ．120D ．160-5．（2022·全国·高三专题练习）设()011nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，若1263n a a a ++⋅⋅⋅+=，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．315xB ．320xC ．321xD ．335x6．（2023·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）n r r n n r 1r n r r r n T C a b -+=rn C a b 1r T +n r 1r T +1r +r a b n a b ()na b -A ．5B ．-5C ．15D ．-15二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A ．展开式共6项 B ．常数项为160C ．所有项的系数之和为729D ．所有项的二项式系数之和为648．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（ ）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++9．（2022·河北张家口·三模）已知52(1)(0)b ax x b x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为30，1x 项的系数为M ，则下列结论正确的是（ ） A ．0a > B ．323ab b -=C ．M 有最大值10D ．M 有最小值10-三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．11．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．12．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()31nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n =__________.（2）1921C C n nn n --+=__________.13．（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）二项式3nx x ⎫⎝的展开式中共有11项，则n =___________，常数项的值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答） 四、解答题16．（2019·江苏·高考真题）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.。
二项展开式系数的求法
二项展开式系数的求法苏清军(山东省无棣二中,山东 251913)中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01收稿日期:2001-01-05作者简介:苏清军(1969—),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师. 对于(a +b )n 展开式中特定项的系数,常常从通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开式,如(a +b )m(c +d )n 、(a +b +c )n等,多有畏难情绪.这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时参考.1 有效展开 对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后部分展开,便可确定系数.例1 求(1+x )2(1+2x )5展开式中x 3的系数.解 (1+x )2(1+2x )5=(1+2x +x 2)(1+10x+40x 2+80x 3+…),所以x 3的系数为80+2×40+10=170.2 利用通项公式 即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项的系数.例2 在(1-2x )5(1+3x )4展开式中,若按x 的升幂排列,求展开式中的第三项.解 展开式中的第三项含x 2.二项式(1-2x )5的通项公式为R m +1=C m5(-2x )m,二项式(1+3x )4的通项公式为R n +1=C n4(3x )n.(m =0,1,2,3,4,5;n =0,1,2,3,4.)T m +1·R n +1=C m 5(-2x )m ·C n4(3x )n=C m 5C n 4(-2)m ·3n ·x m +n,令m +n =2,解得m =0,n =2,或m =1,n =1,或m =2,n =0.所以(1-2x )5(1+3x )4展开式中第三项的系数为C 05C 24(-2)0·32+C 15C 14(-2)·3+C 25C 04(-2)2·30=54-120+40=-26.3 利用求组合数的方法 这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式各异的题目都可以实施.例3 (1996年上海高考题)在(1+x )6(1-x )4的展开式中,x 3的系数是.解 利用组合知识.展开式中含x 3项有x 3·x 0,x 2·x ,x ·x 2,x 0·x 3四种情况.所以x 3的系数是C 36+C 26·C 14·(-1)+C 16·C 24(-1)2+C 06·C 34(-1)3=20-60+36-4=-8.例4 (1992年全国高考题)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为( )(A )160. (B )240. (C )360. (D )800.分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.若借用组合知识解决可省却很多麻烦.解 根据三项的特点,展开式中x 项只能源于3x ·2·2·2·2,所以x 的系数为C 15·3·24=240,选(B ).例5 求(2x -3y -4z )6的展开式中x 3y 2z 的系数.解 利用组合知识,x 3y 2z 的系数为C 36·23·C 23·(-3)2·(-4)=-17280.72001年第12期 数学通讯。
专题44 二项式定理(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
专题44二项式定理【题型归纳目录】题型一：求二项展开式中的参数题型二：求二项展开式中的常数项题型三：求二项展开式中的有理项题型四：求二项展开式中的特定项系数题型五：求三项展开式中的指定项题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数题型七：求二项式系数最值题型八：求项的系数最值题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和题型十：求奇数项或偶数项系数和题型十一：整数和余数问题题型十二：近似计算问题题型十三：证明组合恒等式题型十四：二项式定理与数列求和题型十五：杨辉三角【考点预测】知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数rn C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，（2）二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n nC C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ （*N n ∈）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++ （4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是rn C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项r n r rnC a b -和()n b a +的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b-+=-（只需把b -看成b 代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m mn n n C C C -+=+．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn m nn C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r nn nn n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221rn n n n n n C C C C +++++=- ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n n n nn n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设()011222nn n n r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ==，可得：012n nn n nC C C =+++ ②令11a b ==，，可得：()012301nnn n n n n C C C C C =-+-+- ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++ （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++= ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++ ．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．（可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++ ，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【典例例题】题型一：求二项展开式中的参数例1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （）A ．2B ．-2C ．8D ．-8例2．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（）A ．－1B ．1C ．±1D ．2例3．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4例4．（2022·湖北·高三阶段练习）若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7例5．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））()5m x -展开式中3x 的系数为20-，则2m =（）A ．2B ．1C ．3D 【方法技巧与总结】在形如()m n N ax bx +的展开式中求t x 的系数，关键是利用通项求r ，则Nm tr m n-=-．题型二：求二项展开式中的常数项例6．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．160B ．120C ．90D ．60例7．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）62x⎛⎝的展开式中的常数项为（）A ．60-B ．60C ．64D ．120例8．（2022·全国·高三专题练习（理））二项式()5*nx n ⎛∈ ⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5例9．（2022·全国·模拟预测）二项式10的展开式中的常数项为（）A ．210B ．－210C ．252D ．－252【方法技巧与总结】写出通项，令指数为零，确定r ，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例10．（2022·全国·高三专题练习）在二项式)11x的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.例11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知)nx 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．例12．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知)()*,112nn N n ∈≤≤的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值______．例13．（2022·全国·高三专题练习）100+的展开式中系数为有理数项的共有_______项.例14．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）在50的展开式中有__项为有理数．【方法技巧与总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例15．（2022·北京海淀·一模）在4)x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．1-B ．1C ．4-D ．4例16．（2022·云南·高三阶段练习（理））在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．20B ．20-C ．15D ．15-例17．（2022·全国·高三专题练习）若()2nx y -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n =（）．A ．9B ．10C ．11D ．12例18．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．10-B ．5-C ．5D ．10【方法技巧与总结】写出通项，确定r ，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例19．（2022·广东·高三阶段练习）()102321x x ++的展开式中，2x 项的系数为___________．例20．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______.例21．（2022·山西大附中高三阶段练习（理））5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.例22．（2022·广东·广州市庆丰实验学校一模）622(21)x x+-的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）例23．（2022·全国·高三专题练习）151234()x x x x +++的展开式合并前的项数为（）A ．415C B ．415A C ．44154A A ⋅D ．154例24．（2022·河北邢台·高三期末（理））411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-例25．（2022·四川绵阳·三模（理））在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（）A ．50-B ．30-C ．30D ．50例26．（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（）A ．120B ．-120C ．60D ．30【方法技巧与总结】三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++ ()rq n r q q r nn r C C a b c ---=++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例27．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）()61y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．6B ．9-C ．6-D ．9例28．（2022·四川·高三开学考试（理））()632112x x x ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．240B ．240-C ．400D ．80例29．（2022·云南师大附中高三阶段练习）6211(2)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160B ．160-C ．148D ．148-例30．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为-40，则m =（）A ．3-B ．3C ．13D ．13-例31．（2022·江苏南京·三模）（1＋x ）4（1＋2y ）a （a ∈N*）的展开式中，记xmyn 项的系数为f （m ，n ）．若f （0，1）＋f （1，0）＝8，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3例32．（2022·全国·高三专题练习）在5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中，含32x y 的项的系数是（）A ．10B ．12C ．15D ．20【方法技巧与总结】分配系数法题型七：求二项式系数最值例33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（）A ．7B ．8C ．9D ．10例34．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（）A ．3280x B ．4560x C ．3280x 和4560x D ．5672x 和4560x例35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8例36．（2022·全国·高三专题练习）5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2-例37．（2022·安徽·高三阶段练习（理））在1)2nx -的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（）A ．454B ．358-C ．358D ．7【方法技巧与总结】利用二项式系数性质中的最大值求解即可．题型八：求项的系数最值例38．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．例39．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项．例40．（2022·全国·高三专题练习）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．例41．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）()2*nn N ∈展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.例42．（2022·上海·高三开学考试）假如1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________.【方法技巧与总结】有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：11r r r r T T T T +-≥⎧⎨≥⎩，注意：系数比较大小．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和例43．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，则1237a a a a ++++= _________.（用数字作答）例44．（2022·广东·高三阶段练习）已知2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ，若01281n a a a a ++++= ，则自然数n 等于_____．例45．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习（理））若35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为___________.例46．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．-1例47．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++ ，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++= （）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯例48．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ ，则（）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑例49．（2022·全国·高三专题练习）设2002200012200(21)x a a x a x a x -=++++ ，求(1)展开式中各二项式系数的和；(2)12200a a a +++ 的值．例50．（2022·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知2012(21)n nn x a a x a x a x -=+++（n ∈N*），___________(1)求122222n na a a +++ 的值：(2)求12323n a a a na +++ 的值.例51．（2022·全国·高三专题练习）()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ .求：(1)0122022a a a a ++++ ；(2)1352021a a a a +++ ；(3)0122022a a a a ++++ ；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？(6)1232022232022a a a a ++++ .例52．（2022·全国·高三专题练习）已知8280128(13)x a a x a x a x-=++++ (1)求128a a a +++ ；(2)求2468a a a a +++.【方法技巧与总结】二项展开式二项式系数和：2n ；奇数项与偶数项二项式系数和相等：12n -．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++（01...n a a a ，，，是系数），令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+．题型十：求奇数项或偶数项系数和例53．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++ x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．例54．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．例55．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)nnn x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.例56．（2022·湖北武汉·模拟预测）在5()(1)a x x ++展开式中，x 的所有奇数次幂项的系数之和为20，则=a _____________．例57．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（）A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-例58．（2022·江苏南通·高三开学考试）在61⎛ ⎝的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A ．365-B ．364-C ．364D ．365例59．（2022·全国·高三专题练习）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【方法技巧与总结】2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例60．（2022·全国·高三专题练习）已知3029292828130303022C 2C 2C S =+++⋅⋅⋅+，则S 除以10所得的余数是（）A ．2B ．3C ．6D ．8例61．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知202274a +能够被15整除，则a 的一个可能取值是（）A ．1B ．2C ．0D ．1-例62．（2022·陕西·西安中学一模（理））设a Z ∈，且013a ≤<，若202251a +能被13整除，则=a （）A ．0B ．1C ．11D ．12例63．（2022·全国·高三专题练习）1223310101010101010180808080(1)8080k k k C C C C -+-++-++ 除以78的余数是（）A ．1-B ．1C ．87-D ．87例64．（2022·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++ a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019题型十二：近似计算问题例65．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．例66．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.例67．（2022·全国·高三专题练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A ．106B ．107C ．108D ．109题型十三：证明组合恒等式例68．（2022·江苏·高三专题练习）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考查恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ．（2）求证：22212220(1)()(1)nr n nn n n r r C n C n C --=+-=+∑．例69．（多选题）（2022·江苏·海安市曲塘中学高三期末）下列关系式成立的是（）A ．0n C ＋21n C ＋222n C ＋233n C ＋…＋2n nn C ＝3nB ．202nC ＋12n C ＋222n C ＋32n C ＋…＋212n n C -＋222n n C ＝3·22n-1C ．1n C ·12＋2n C ·22＋3n C ·32＋…＋nn C n 2＝n ·2n -1D ．(0n C )2＋(1n C )2＋(2n C )2＋…＋(nn C )2＝2nnC 例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）设*N n ∈，下列恒等式正确的为（）A ．1212n n n n n C C C -+++= B ．121122n n n n n C C nC n -+++=⋅ C ．()2122221212n n n n n C C n C n n -+++=+ D ．()31323112432n n n n n C C n C n -+++=- 题型十四：二项式定理与数列求和例71．（2022·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当*n ∈N 时，sin x x =222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又根据泰勒展开式可以得到35sin 3!5!x x x x =-+++()()121121!n n x n ---+- ，根据以上两式可求得22221111123n +++++= （）A ．26πB ．23πC ．28πD ．24π例72．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）．(1)求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；(2)若1212C C C nn n n n n A S S S =++⋅⋅⋅+，求n A ．例73．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足1a a =，*1(46)410()21n n n a n a n N n ++++=∈+．(1)试判断数列2{}21n a n ++是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项n a ．(2)如果1a =时，数列{}n a 的前n 项和为n S ．试求出n S ，并证明341111(3)10nn S S S ++⋯+< ．题型十五：杨辉三角例74．（2022·山东·高三开学考试）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．123456…35791113…81216202428…………………该数表的第一行是数列{}n ，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n 项和n S =______．例75．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第()N ,2n n n *∈≥行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．例76．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式()()1,2,3,na b n +=⋅⋅⋅展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第()*,k k n k ≤∈N 个数组成的数列称为第k 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k 斜列与第1k +斜列各项之和最大时，k 的值为（）A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012例77．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为n a ，如：{}12112,1214,,n a a a =+==++=⋯的前n 项和记为n S ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为n b ，{}n b 的前n 项和记为n T ，则下列说法正确的有（）A ．91022S =B ．14n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为1111n a +--C ．5666b =D ．564084T =【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）在()522x x +-的展开式中，含4x 的项的系数为（）A ．-120B ．-40C ．-30D ．2003．（2022·福建泉州·模拟预测）101x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数等于（）A ．45-B ．10-C ．10D ．454．（2022·湖南益阳·模拟预测）若()526012612(12)x x a a x a x a x +-=++++ ，x ∈R ，则2a 的值为（）A ．20-B ．20C ．40D ．605．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（）A ．0B ．120-C ．120D ．160-6．（2022·北京房山·高三开学考试）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则2a =（）A ．6B ．24C ．6-D ．24-7．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++- ，则（）A ．001132n nn n b a b a b a -+-++-=- B ．0101012()nn nb bb a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++ D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++ 8．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式()281(1)ax x x ++-，若展开式中含2x 的项的系数为21，则=a （）A ．3B ．2C ．1D ．-19．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则3a =（）A ．280B ．35C ．35-D ．280-二、多选题10．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++11．（2022·浙江·高三开学考试）在二项式6⎛⎝的展开式中，正确的说法是（）A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是1C ．偶数项的二项式系数和为32D ．第4项的二项式系数最大12．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知函数()6260126()(12),0,1,2,3,,6i f x x a a x a x a x a i =-=+++⋅⋅⋅+∈=⋅⋅⋅R 的定义域为R ．（）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．(5)f 被8整除余数为713．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ ，下列结论正确的是（）A ．0123n n a a a a +++=+ B．当5,==n x()(12),*+=+∈n x a a b N ，则a b=C ．当12n =时，012,,,,n a a a a 中最大的是7a D ．当12n =时，3124111223411121222222-+-++-= a a a a a a 14．（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240x C ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32三、填空题15．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）()()()357222x y y z z x ---的展开式中不含z 的各项系数之和______.16．（2022·广东广东·高三阶段练习）6(23)x y z ++的展开式中，32xy z 的系数为___________.17．（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.18．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.19．（2022·浙江·高三开学考试）多项式()287801781(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++ ，则3a =___________.20．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）将（1＋x ）n （n ∈N *）的展开式中x 2的系数记为n a ，则232022111a a a +++= ________．。
二项式定理的应用--求系数
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
4.导பைடு நூலகம்型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
x
为－20，则自然数n＝_______
法2：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得
(x 1 2)n x
的通项为
Cnk
Cnrk
x
k
(
1 x
)r
(2)nk
r
Cnk
Cr nk
x
k
r
(2)
nk
r
由题意得
kr 0
Cnk
Cr nk
(2)
nk
r
20
后续工作等同法1，操作量较大……
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
lnim[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ] ____
析①:ln因im[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ]
(a0a1a2a3 a2n)(a0a1a2a3 a2n)
二项展开式中系数最大项的问题
二项展开式中系数最大项的问题例5 已知(x ＋12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列． ①求n 的值；②求展开式中系数最大的项．[解析] ①由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍去)．②设第r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12r C r 8≥12r ＋1C r ＋18，12r C r 8≥12r －1C r －18.即⎩⎪⎨⎪⎧ 18－r ≥12(r ＋1)，12r ≥19－r .解得r ＝2或r ＝3.所以系数最大的项为T 3＝7x 5，T 4＝7x 72 .名师点拨 ☞求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． 〔变式训练4〕已知(x 23 ＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23 )3·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2·(3x 2)3＝270x 223 .(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23 )5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10+4r 3 ， 故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23 ·(3x 2)4＝405x 263 .。
二项式系数最大值公式
二项式系数最大值公式
首先，二项式系数定义为在数学中用来表示n阶多项式(a + bx^n)^n中x^n系数的值。
通常，当n很大时，二项式系数很难精确地计算。
因此，我们可以使用两种方法来计算最大值。
第一种方法是使用二项式定理，它位于数学的第二部分中。
它的通用表达式为：（a + bx^n)^n = (2n)!/n!，其中a和b为多项式的值。
具体来说，我们可以通过计算（2n）!/n!的除数的期望值（平均值）来获得二项式系数最大值公式，即平均值等于二项式系数最大值公式。
另一种方法是使用概率分布模型，可以通过公式P（X = nX）= n/（2n）! 来计算二项式系数最大值。
这种方法也可以被称为二项式分布，它在统计学的第四部分中有重要的应用。
总的来说，如果想要计算二项式系数最大值，我们可以根据参数a和b的数值，按照上述两种方法中的公式来计算出来。
如果使用它们，那么就可以更准确地计算出最大值。
在总结二项式系数最大值公式时，要记住以下信息：使用二项式定理来计算它，可以通过计算（2n）!/n!的平均值。
此外，也可以使用概率分布模型，可以通过公式P（X = nX）= n/（2n）! 计算最大值。
记住了这些，想要计算出二项式系数的最大值就不再是什么难事了。
高考数学复习：二项式定理
思维升华
(1)赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a＋bx)n， 则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇数项 的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12[g(1) －g(－1)].
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
，
令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2， 所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式1.“（“+〃）"”型的展开式例1.求（3« + J）4的展开式：解：原式=（亨）4 = 3 y/x X-=3Gt），+ 0： 3靖 +（3x）2 + d 由）+。
：］A= -4（8 lx4 + 84x3 + 54x2 +12x +1） =81x2 +84x+—+ -4 + 54厂x 厂2."（“一匕）"”型的展开式例2.求（36一，=）4的展开式：分析：解决此题，只需要把（34一3）4改写成［36+（—一的形式然后按照二项展开式yjx y］X 的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3.二项式展开式的“逆用”例3.计算1—3C：+9C：—27C：+~・+（-1）"3"C；：解：原式=<7>d（一到+C：（-3）2+C：（—3）3+....+ C»3）” =（1-3）” =（-2）”二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素a反 Q? 9例4.已知（一一1一）’的展开式中工3的系数为一，常数4的值为______________x V 2 4解：= C；（色尸（J） = G；（-l）r-2^ •，产「x V 23 Q令三•一9 = 3,即〃=8依题意，得C；（一1）8・27.。
内=“解得。
=一12.确定二项展开式的常数项例5.（五一二，）1°展开式中的常数项是]5-5 5解：7；+1 =c;Q ^）i0-r （--y=（-\yc;0-x 令5—7r= 5 即r= 6. 所以常数项是（-l ）6c* =2103 .求单一二项式指定器的系数例6.（』一一-）9展开式中X 9的系数是 _____________ 2%解:心=仁“产（-/ =仁”2（一'7=仁（-；）“心令18 - 3x = 9,则广=3,从而可以得到的系数为：。
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设展开式各Ai项系数分别为
(i=1,2,3 ,n+1),第r+1项系数最大,应
用
Ar 1 Ar 1
,A求r 出r Ar 2
这节课我们通过两个例题研究了二项展 开式中两类系数最大项的求解方法,它们的实 质都是分析通项公式，结合二项式系数的性质 去求解。希望同学们在解题中认真思索，细心 体会，加以总结，积累经验，形成方法。
1二项式定理 a b n an c1nan1b cnnbn
2 二项展开式的 通项 Tr1 cnr anrbr
3 二项式系数的性质
对称性 增减性与最大值 各二项式系数和
思考
例1 在 x y11的展开式中，求(1)二项式系
数最大的项；(2) 项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项。
Tr1 Tr Tr1 Tr2
即为
c8r c8r
4r 4r
c8r1 4r1 c8r1 4r1
解得
31 5
r
36 5
即可得
r=7
T 8
c87
47
131072
规律
如果求 a bxn展开式中系数最
大项,对a,b为1或-1较简单,对一般情形
a,b均为正数时，应采用待定系数法,
解：由于
Tr1 c1r1x11r y r 1 r c1r1x11r yr
(1)由二项式系数性质知，第6, 7项二 项式系数最大
T6 462x6 y5 T7 462x5 y6
(2) 设第r+1项系数绝对值为 Ar 1
则 Ar 1 c1r1
T6 462x6 y5 T7 462x5 y6
T5 c84 2x4 1120x4
1 前面的系数 2 剩下的项
(2)设二项展开式第r+1项系数最大，记为 Ar
Ar1 Ar
ArBiblioteka 1Ar 2cc88rr
2r 2r
c8r 1 2r 1
c r 1 8
2r
1
解得 5 r 6
T6 c85 2x5 1792x5 T7 c86 2x6 1792x6
(3) 由上可以知道系数最大项为第7项
T7 462x5 y6
例2 在(1 2x)n的展开式中，已知第6项与
第7项系数相等，求它展开式中：(1)二项式 系数最大的项；(2)系数最大的项；(3)当 x=2时展开式中最大的项.
解：
T6
cn5
2x5
T7
cn6
2x6
n=8
(1)由二项式系数性质知，第5项二项式系数 数最大