高中数学求展开式中的特定项

高中数学求展开式中的特定项1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．⑷几点注意①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r nT C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．知识内容⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1k n n n n n k n k C k k ---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n C ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 1003(23)的展开式中共有_____项是有理项．典例分析【例3】 61034(1)(1)x x ++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例13】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例15】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若n xx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【例23】 在2)n x的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若n x x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（）A ．3个B ．2C ．1D ．0【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【例34】 在261(2)x x -的展开式中常数项是 ，中间项是________．【例35】 已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ） A ．1- B ．1 C ．45- D ．45【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．120有理项【例41】 求二项式15的展开式中： ⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项．【例43】二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．【例44】已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n；②求展开式中的有理项．【例45】二项展开式15中，有理项的项数是（）A．3B．4C．5D．6【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【例47】12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项【例48】若(51a+=+a，b为有理数），则a b+=（）A．45B．55C．70D．80系数最大的项【例49】已知(nx+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】20(23)x+展开式中系数最大的项是第几项？【例51】已知(13)nx+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例52】在132nxx-⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A．7-B．7C．28-D．28【例53】已知lg8(2)xx x+的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x．【例54】求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含3x的项；⑵系数最大的项．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． ⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项；④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例61】 设)()21*4n n +∈N 的整数部分和小数部分分别为n M 与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．【例62】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求a b的取值范围．【例63】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例64】 如果232(3)n x x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式()1n x +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为 ．。