27314_高中数学必修2同步第九讲精品拓展
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 9.2.3 向量的数量积
)
答案 ABC
解析 因为a·b=|a||b|cos θ,
所以|a·b|≤|a||b|,所以A错误;
根据向量加法的平行四边形法则,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b同向时,等号
成立,所以B错误;
因为(a·b)c是表示与向量c共线的向量,a(b·c)是表示与向量a共线的向量,所
②a 在 b 上的投影向量为(|a|cos
θ) =5×cos
||
1
5
120°× b=- b.
4
8
探究点三 向量的夹角
【例3】 (1)已知在△ABC中,AB=AC=4 , ·=8,则△ABC的形状
是
.
(2)|a|=3,|b|=4,a·b=-12,则向量a和b的夹角为
.
答案 (1)等边三角形
因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=0,所以(b·c)a-(c·a)b与c垂直,B错误;
因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,
所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;
根据平面向量的数量积的运算性质可知D正确.故选ACD.
规律方法
(2)180°
解析 (1) · =||| |cos∠BAC,
即 8=4×4cos∠BAC,于是
1
cos∠BAC= ,
2
因为 0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.
又 AB=AC,故△ABC 是等边三角形.
(2)设向量 a 和 b 的夹角为 θ,则
cos
·
θ=||||
(a+b)2=a2+2ab+b2
高中数学教案9新人教A版必修2教案
高中数学教案9新人教A版必修2教案教案：高中数学新人教A版必修2第9讲三角函数基本关系的推导与应用一、教学目标1.知识目标（1）了解正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。
（2）掌握正弦、余弦、正切的取值范围和周期。
2.技能目标（1）能够推导正弦、余弦的和差公式及其应用。
（2）能够应用三角函数基本关系解决实际问题。
3.情感目标培养学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生合作学习的能力。
二、教学重点1.掌握正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。
2.能够推导正弦、余弦的和差公式及其应用。
三、教学难点1.掌握正弦、余弦、正切的取值范围和周期。
2.能够应用三角函数基本关系解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课通过展示一幅太阳之类的图片，引导学生思考太阳的位置与时间的关系。
提问：阳光直射地球的位置相对于地球的位置是如何变化的？阳光直射地球的位置与时间会有什么样的关系？2.引入新知通过引导学生进一步思考，得出阳光直射地球的位置与时间的关系，即太阳的仰角与时间之间的关系。
然后引入正弦、余弦的定义。
给出一个直角三角形ABC，角A为锐角，定义正弦、余弦分别为AB与BC的比值和AB与AC的比值。
引导学生通过观察，与其他角度的直角三角形进行比较，得出正弦、余弦的取值范围和周期。
3.拓展延伸（1）推导正弦的和差公式及其应用。
将两个正弦函数相加，用三角恒等式将其转化为一个正弦函数的形式。
进一步讨论推导余弦的和差公式。
最后给出一个实际问题，引导学生应用正弦的和差公式解决问题。
（2）探究被减量为π/4的余弦的和差公式。
让学生结合实际例子，观察余弦函数的相似性，基于类似的推理过程推导余弦的和差公式。
（3）应用三角函数基本关系解决实际问题。
给出一个实际问题，让学生通过建立三角函数之间的基本关系，使用正弦、余弦、正切函数解决问题。
4.归纳总结（1）总结正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。
并让学生通过归纳总结记忆。
（2）总结正弦、余弦的和差公式的推导步骤与应用方法。
人教版高中数学必修2全册教案(K12教育文档)
人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
2、画出简单组合体的三视图。
3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。
4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。
5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
知识结构：度量一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱:一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
人教B版高中数学必修二一轮复习全套复习第九章平面解析几何第一课时直线方程课件
b≠
0)则
1 a
＋
1 b＝________.
答案
1 2
5．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程
为________．
答案 x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
xy 解析 由题意可设直线方程为a＋b＝1.
a＋ b＝ 6，
则2 a
＋1b＝1，
解 得 a＝ b＝ 3， 或 a＝ 4， b＝ 2.
π π，－ 2
D.－
π 2，
0
答案 B
1
－b1 ＝ b <0，又倾斜角的取值范围为
0－a
[0，π
)，故直
线
PQ的倾
斜角的取
值范围为π 2
， π .
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4．
(07·北京)若
A(2,2)，B(a,0)，
C(0，b)共线(a，
又直线经过点A(－1，－3)， 因此所求直线方程为y＋ 3＝－34(x＋1)，
即3x＋ 4y＋15＝0.
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探究2 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形 式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能 表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线， 故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用 点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
∴ 直线 l的方 程为 x－ 6y＋ 6＝ 0或 x－ 6y－ 6＝ 0.
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题型三 直线方程的应用 例3 经过点P(2,1)的直线L分别与两坐标轴的正半轴交于A，B两点； (1)求当△AOB的面积最小时直线L的方程； (2)求当|OA|＋|OB|最小时直线L的方程； (3)求当|PA|·|PB|最小时直线L的方程； (4)求当|OA|·|OB|最小时直线L的方程． 【解析】 由条件知，斜率k必存在． 设直线方程为y－1＝k(x－2)，显然k<0，
人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第9章 统计 章 末核心素养整合
(3)由上述图表可知数据落在区间[109,121)内的频率为0.940.03=0.91,则估计这批树苗高度在区间[109,121)内的株数为2
000×0.91=1 820.
专题三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【典型例题3】(1)若一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数为10,
另一组样本数据2x1+4,2x2+4,…,2xn+4的方差为8,则两组样本
其中身高在区间[140,150]上的学生人数为10,则从身高在区
间[140,150]上选取的学生人数为 ×10=3.
(3)根据频率分布直方图知,区间[110,120)对应的小矩形最高,
+
因此估计这所小学学生身高的众数为
=115.
又0.005×10+0.035×10=0.4<0.5,0.4+0.030×10=0.7>0.5,
[75,85) [85,95) [95,105)
值分组
频数
6
26
38
[105,115) [115,125]
22
8
①估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表);
②根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品
符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”
∴产品合格率为×100%=85%.
∴10 000×85%=8 500.
故根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格个数为8
500.
【跟踪训练2】某花木公司为了调查某种树苗的生长情况,
抽取了一个容量为100的样本,测得树苗的高度(单位:cm)数据
2021年春季沪教版数学必修二--第9讲 期中复习(练习)提升卷(教师版)
第9讲 期中复习（练习）提升卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）如图，三个全等的三角形ABF 、BCD △、CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．【答案】26【分析】如果设AE x =，根据题意可知CD AE x ==，2EF DE x ==，且60CAE ACE ∠+∠=︒，由此在ACE 中借助于正弦定理，构造出ACE ∠的方程，再根据2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθ===++计算可得．【详解】解：如图，设ACE θ∠=，22EF AE x ==，因为ABF BCD CAE ≅≅，且ABC 与DEF 均为为等边三角形，所以ACE BAF ∠=∠，所以60ACE CAE CAE BAF ∠+∠=∠+∠=︒，所以60CAE θ∠=︒-． 结合22EF AE x ==可得CD AE x ==，2DE EF x ==，所以3CE x =， 在ACE 中，由正弦定理得sin sin AE CEACE CAE=∠∠，即3sin sin(60)x x θθ=︒-， 即sin(60)3sin θθ︒-=1sin 3sin 2θθθ-=，7sin 2θθ=，解得tan θ=．所以222222sin cos 2tan 7sin 22sin cos sin cos tan 11θθθθθθθθθ=====+++⎝⎭．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 【答案】－34【解析】因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα+＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα-＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．3．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 4．（2020·上海奉贤区·高一期中）已知sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，则cos 223πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝________． 【答案】79-【详解】由sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝13，得cos26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1－2sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝79，即cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝79， 所以cos 223πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 23ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝79-，故答案为79-. 5．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______. 【答案】23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】因为()tan 3αβ-=,tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan α+=⎝⎭化简可求得tan α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 011β=-< 所以2πβπ<<则20παβ-<-< 所以223παβ-=- 故答案为: 23π-【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.6．（2020·上海崇明区·高一期末）已知等腰三角形底角正弦值为45，则顶角的余弦值是_________ 【答案】725【分析】利用诱导公式及二倍角公式求解即可． 【详解】设等腰三角形的底角为α ，则顶角为2.πα-22247cos(2)cos 2(12sin )2sin 12()1.525παααα∴-=-=--=-=⨯-=【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式，解题的关键是根据题目条件熟练地选用余弦的二倍角公式来解决问题．7．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3B ⎛ ⎝⎭，所以1π224ABCS ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.8．（2019·上海市文来中学高一期末）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，()424,,n 04x x f x x x ππππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎛⎫≤⎧⎪⎪=⎨≤ ⎪⎝⎭，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()2πα+=____.【答案】2-【分析】作出函数()y f x =的图像，结合图像可得1m =，即1y =，从而可得四个不同的实数根，进而可得34πα=，代入即可求解. 【详解】当0x ≥时，函数在区间0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，()f x 的极大值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极小值为02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π， 作出函数当0x ≥时的图像如图， 函数函数()y f x =是R 上的偶函数，∴当0x <时()y f x =的图像与当0x ≥时的图像关于y 轴对称，故函数x ∈R 的图像如图所示，将()()f x m m R =∈进行平移，可得当1m =时， 两图像有且仅有四个不同的实数根， 令1y =，可得12,44x x ππ=-=，334x π=-，434x π=， 所以34πα=，3sin()cos cos242ππαα∴+===-故答案为：2-【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．（2019·上海市实验学校高一期末）如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<，x ∈R ）的部分图像，则()y f x =函数解析式为________【答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像，先求得2,A T π==，得到()2sin(2)f x x ϕ=+，再由()212f π=，得到sin()16πϕ+=，结合||2ϕπ<，求得3πϕ=，即可得到函数的解析式.【详解】由题意，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像， 可得12,43124A T πππ==-=，所以T π=，又由22w Tπ==，即()2sin(2)f x x ϕ=+，又由()2sin(2)2sin()212126f πππϕϕ=⨯+=+=，即sin()16πϕ+=， 解得2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10．（2019·上海黄浦区·高一期末）已知函数2()cos 2sin f x x a x b =-++，x ∈R （常数a 、b R ∈），若当且仅当sin x a =时，函数()f x 取得最大值1，则实数b 的数值为______. 【答案】-1【分析】先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可 【详解】()222()cos 2sin 1sin 2sin sin 2sin 1f x x a x b x a x b x a x b =-++=--++=++-令[]sin ,1,1t x t =∈-，()221f t t at b =++-，对称轴为t a =-；当0a >时，1t =时函数值最大，1a =，解得1b =-；当0a =时，对称轴为0t =，函数在1t =±时取到最大值，与题设矛盾； 当0a <时，1t =-时函数值最大，1a =-，解得1b =-； 故b 的数值为：-1 故答案为：-1【点睛】本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题11．（2019·上海市宜川中学）有60个角12360θθθθ⋯、、、、，在它们的终边上各有一点12360P P P P ⋯、、、、，如果点k P 的坐标为()()()cos 30cos k 60160k k k N -︒+︒≤≤∈，，，，则12360sin sin sin sin θθθθ+++⋯+=___________.【答案】0.5-【分析】利用诱导公式得12360θθθθ⋯、、、、，的度数，结合正弦函数值关于x 轴对称求解【详解】()cos(30),cos(60)k k ︒︒-+即()cos(30),sin(30)k k --1160,,,θθθ∴分别为29,28,29,30︒⋯--，又29,29;28,21;8;,,︒--⋯-，1均关于x 轴对称，()sin 300.5,sin 00-=-=故60123sin sin sin sin 0.5θθθθ+++⋯+=-，故答案为0.5-【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦函数的对称性，是基础题 12．（2019·上海市七宝中学高一期中）已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题:①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像．其中真命题有________(填所有真命题的序号). 【答案】②④【分析】由正弦函数的奇偶性和指数的运算性质，可判断()f x 的奇偶性；由()0f x =，解方程可得零点个数；由(1)()f x f x -=，可得()f x 的对称性，可判断正确结论． 【详解】由sin()sin()x x ππ-=-，可得sin()y x π=为奇函数， 而120192019x x y -=+，不为偶函数， 则()f x 不是奇函数，故①错误；由()0f x =，可得sin()0x π=，即x k ππ=，即x k =，k Z ∈，在[2π-，2]π上，6x =-，5-，⋯，0，1，⋯，6，共有13个实根，故②正确； 由11sin (1)sin (1)()2019201920192019x x x xx xf x f x ππ----===++，可得()f x 的图象关于直线12x =对称， 故函数()f x 在区间(0,1)上不单调，故③错误，④正确． 故答案为②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、对称性的判断，以及零点个数，考查定义法和化简运算能力，属于基础题． 二、选择题（每题4分，共16分）13．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值. 【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin025α=>，2α是第一象限的角，所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.15．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）将函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 A ．cos 2y x = B ．22cos y x =C ．D ．22sin y x =【答案】B【解析】由题意知:平移后的函数解析式为12sin 2()4y x π=++=12sin(2)2x π++ =212cos 22cos x x +=,选B.16．（2020·上海市实验学校高一期末）已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．4π B ．2π C ．2π-D ．3π-【答案】C【解析】由函数()()(0)f x sin x ，ωϕωϕπ=+><的图象可知： T π=，2ω=122f ππϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选C三、解答题（本大题共5题，共48分，解答各题必须写出必要步骤） 17．（2020·上海市建平中学）已知1sin cos 5αα+=-，(0,)απ∈，求下列式子的值： （1）sin cos αα； （2）tan2α；（3）33sin cos αα+． 【答案】（1）1225-；（2）3；（3）37125-．【分析】（1）将已知条件两边平方，由此求得sin cos αα的值.（2）由sin cos αα的值，求得cos sin αα-的值，进而求得sin ,cos αα的值，从而求得tan2α的值.（3）由sin ,cos αα的值求得33sin cos αα+的值.【详解】（1）由1sin cos 5αα+=-两边平方得()221sin cos 5αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 221sin 2sin cos cos 25αααα++=，即112sin cos 25αα+=，所以12sin cos 25αα=-. （2）由于12sin cos 25αα=-且(0,)απ∈，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 0αα<>，所以cos sin 0αα-<.而()22449cos sin 12sin cos 12525αααα-=-=+=，所以 7cos sin 5αα-=-.由1sin cos 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得34sin ,cos 55αα==-，所以21sin sincossin sin 2222tan1cos 21cos coscos 222αααααααααα⋅====++353415==-.（3）333334276437sin cos 55125125125αα⎛⎫⎛⎫+=+-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和降次公式，属于中档题.18．（2020·上海市控江中学高一期中）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 【答案】（1）3-；（2）1试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）tan tan214tan() 3.41211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-（Ⅱ）原式222sin cos sin sin cos 2cos aααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-． 考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用19．（2019·上海市向明中学高一期中）在ABC ∆，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A C p B +=⋅，0p >，且214ac b =. （1）当54p =，1b =时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围.【答案】（1）1a =，14c =或14a =，1c =；（2）⎝. 【分析】（1）考虑用正弦定理将已知条件sin sin sin A C p B +=⋅化成边的形式，联立方程组求解即可；（2）先求出p 的表达式，然后观察该式的特点求p 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 所以sin sin sin A C p B +=⋅，即a c p b +=⋅，所以54p =，1b =时，得54a c +=， 因为21144ac b ==，所以1a =，14c =或14a =，1c =；（2）由（1）知，a c p b +=⋅， 又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅，得()()()22222cos 21cos b a c ac ac B p b ac B =+--⋅=⋅-+， 因为214ac b =， 所以()()()22222cos 21cos b a c ac ac B a c ac B =+--⋅=+-+()()221=21cos 4p b b B ⋅-⋅+，所以()211=1cos 2p B -+，所以231=cos 22p B +，因为B 为锐角，所以0cos 1B <<，所以2322p <<且0p >，所以p ∈⎝.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同时考查学生的推理与计算能力. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 正弦定理变形：sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C =⋅=⋅=⋅，余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅， 其中()2222a c a c ac +=+-. 20．（2019·上海市宜川中学）已知函数()()23sin 2cos 1.2f x x x x ππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值时对应的x 的值； (2)设方程()f x m =在区间()0π，内有两个相异的实数根12x x 、，求12x x +的值； (3)如果对于区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意一个x ，都有()1f x a -≤成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）的最大值为2，此时x ＝k π6π+，k ∈Z ，f （x ）的最小值为﹣2，此时x ＝k π3π-，k ∈Z ；（2）x 1+x 2＝3π或x 1+x 2＝43π；（3）a ≥1．【分析】（1）利用三角形的恒等变换，将f （x ）化简成f （x ）＝2sin （2x 6π+），再求f （x ）的最大值和最小值，（2）根据函数图象，找到m 的取值范围，观察x 1和x 2的关系，写出x 1+x 2的值， （3）根据定义域求得f （x ）的取值范围，再求a 的取值范围．【详解】（1）f （x ）＝（π+x ）sin （32π+x ）+2cos 2x ﹣1，=x +cos2x ，＝2sin （2x 6π+）， f （x ）的最大值为2，x 取得最大值对应的x 的值x ＝k π6π+，k ∈Z ， f （x ）的最小值为﹣2，x 取得最小值对应x 的值x ＝k π3π-，k ∈Z ，（2）f （x ）＝m ，sin （2x 6π+）2m=，f （x ）＝m 在（0，π）内有相异的两个实数根x 1，x 2，⇔f （x ）与y 2m=有两个不同的交点，1122m ＜＜或1122m -＜＜， 由图象可知：当m ∈（1，2）函数y ＝f （x ）的图象关于直线x 6π=对称，x 1+x 2＝263ππ⨯=；当m ∈（-1，2），函数y ＝f （x ）的图象关于直线x 23π=对称， x 1+x 2＝22433ππ⨯=，综上x 1+x 2＝3π或x 1+x 2＝43π （3）f （x ）﹣a ≤1，即a ≥f （x ）﹣1，x ∈[6π-，3π]，2x 6π+∈[6π-，56π]，∴f （x ）∈[﹣1，2]， ∴a ≥1．【点睛】本题考查根据三角恒等变换，化简求函数的最值，根据定义域求函数的取值范围，属于中档题．21．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表：（1）求[]{}(0)ff f ：（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，求1234n x x x x +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+（3）若()sin()y f x A x b ωϕ==++，其中0,0,0,03A b ωπϕπ><<<<<<，求此函数的解析式，并求*(1)(2)(3)()f f f n n N ++⋅⋅⋅+∈． 【答案】（1）2；（2）4n ；（3）见解析 【分析】（1）由内往外计算即可；（2）由已知，通过计算易得数列{}n x 是以4为周期的周期数列，先计算1234x x x x +++的值，利用1234n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=1234()x x x x +++即可得到答案；（3）代入表中数据即可得到()y f x =的解析式，再分n 为奇数、偶数讨论求和即可. 【详解】（1）由表中数据可得[]{}(0)f f f =((3))(1)2f f f =-=.（2）12x =，由于1()n n x f x +=，则21()(2)0x f x f ===，32()(0)3x f x f ===，43()(3)1x f x f ===-，54()(1)2x f x f ==-=，所以15,x x =，依次递推可得数列{}n x 的周期为4，又12344x x x x +++=，所以12344n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=.（3）由题意得(1)2(1)2(0)3(2)0f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，由(1)(1)f f -=，得sin()sin()ωϕωϕ+=-+，即sin cos 0ωϕ=，又0ωπ<<，则sin 0ω≠，从而cos 0ϕ=，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=，故(0)3(2)cos 20(1)cos 2f A b f A b f A b ωω=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩，消b ，得2cos 32(2cos 1)30A A A A ωω+-=⎧⎨-+-=⎩ 所以22242230A A A A -+-+=，解得12,1,cos 2A b ω===，又0ωπ<<， 所以3πω=，所以()2sin()12cos 1323f x x x πππ=++=+， 此函数有最小正周期6，且(6)(0)3f f ==，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，当*2,n k k N =∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)[(1)(2)(6)]63f f f k k f f f k n +++=+++==；当*21,n k k N =-∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)(62)(61)(6)[(1)(2)(6)]5f f f k f k f k f k k f f f +++-----=+++-6532k n =-=-.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.。
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第9章 平面向量 9.4 向量应用
5√37
37
.
解析 因为物体处于平衡状态,所以 F1+F2+F3=0.
因此 F3=-(F1+F2),于是|F3|= (1 + 2 )2 = |1 |2 + |2 |2 + 21 ·2
=√32 + 42 + 2 × 3 × 4 × cos60°= √37,
设 F1 与 F3 的夹角是 θ.
A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
则 =(2,1),=(1,-2).
因为 ·=2×1+1×(-2)=2-2=0.
所以 ⊥ ,即 AF⊥DE.
规律方法
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法:
①选取基底;
②用基底表示相关向量;
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③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系;
依题意可得
+ -16 = -( + )( > 0),
解得 x=8,y=-8,即风速为 8i-8j,
因此风速为西北方向,大小为 8√2 km/h.
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1.一物体受到相互垂直的两个力 F1,F2 的作用,两力大小都为 5√3 N,则两个
力的合力的大小为(
)
A.5 N
和大小的,是一个向量.故选B.
3.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案 A
解析
3
∵=(3,3), =(-2,-2),∴=- ,
2
∴与 共线.又||≠| |,∴该四边形为梯形.
高一必修二数学第9章知识点总结
高一必修二数学第9章知识点总结第一节探究勾股定理勾股定理是我们研究数学的基础之一，它被广泛应用在几何、物理等领域中。
勾股定理的数学表达式为：在一个直角三角形中，直角边的两边的平方和等于斜边的平方。
在勾股定理的使用过程中，我们可以利用它求解直角三角形的各个边长，或者验证一个三边是否构成了一个直角三角形。
第二节直角三角函数直角三角函数是计算直角三角形各边长度和角度大小的重要工具。
在直角三角函数中，我们主要学习了正弦、余弦和正切三种基本函数。
正弦函数表示的是一个角的相对于斜边的长度，余弦函数表示的是一个角的相对于直角边的长度，正切函数表示的是一个角的正弦值与余弦值的商。
在实际应用中，我们可以利用直角三角函数求解各种问题，比如测量不可直接测量的高度、距离等。
第三节三角恒等式三角恒等式是指在三角函数中成立的恒等关系。
掌握了三角恒等式的性质，我们可以在求解问题过程中化简表达式、变换角度等。
常见的三角恒等式有：用各种角度表示的正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及与角度平方和的关系等。
在解决问题的过程中，利用三角恒等式可以简化计算步骤，提高计算效率。
第四节解直角三角形解直角三角形是通过给定的初等三角函数值，求解直角三角形各个边长和角度大小的问题。
我们可以利用之前学习过的直角三角函数或者三角恒等式，结合已知条件来求解未知量。
解直角三角形的基本步骤是：根据已知条件确定所求解的直角三角形种类，然后利用相应的三角函数或者三角恒等式，通过解方程来求解未知量。
在解题过程中，我们需要注意合理选择解法，注意单位的转换以及问题的实际意义。
第五节平面向量平面向量是指在数学中用有向线段表示的量，它有大小和方向两个特征。
在平面向量的运算中，我们主要学习了向量的加法、数乘和点乘三种运算法则。
向量的加法是将两个向量的位移效果进行相加，数乘是将向量的大小进行缩放或者反向，点乘是将两个向量的夹角与大小进行运算得到一个标量。
平面向量的运用十分广泛，可以用于解决平面几何、力学等实际问题，也可以用于向量方程和直线方程的表示。