高中数学拓展知识一欧拉公式

欧拉公式

等式i e cos i sin θθθ=+称为复数的欧拉公式（Euler's complex number

formula ）。

1714年，英国数学家科兹（1682－1716），首先发表了下述定理（用现代+，

+， +，

在的展开式中把x 换成±ix .

i =，4（）i ±

3423（1-+）（-+）!3!4!2!1!3!

x x x x x i +±=±， ix e cos x i sin x ±=±，

ix e cos x i sin x =+ (x R ∈)，

这个等式有一种直观的几何解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i 。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转2

π， 可以分别得到结果1，i ，-1，-i ，1， 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：θθsin cos i +。

根据欧拉公式 θθθsin cos i e i +=可以看出θi e 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以πi e 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。

用积分的方法也可以证明欧拉公式。

设复数()z cos x i sin x,x R =+∈，两边对x 求导数，得

2dz sin x i cos x i sin x i cos x i(cos x i sin x )iz dx

=-+=+=+=， 分离变量并对两边积分，得

1即dz idx,ln z ix C z ==+⎰⎰，

取0x =得0C =，故有ln z ix =，即ix e cos x i sin x =+。

欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事。欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职。一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。

“先生，10ｅi π+=，因此上帝存在。请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了。

图3-1 意味着单位向量逆时针旋转了π