高中数学知识拓展
高中数学学习的课外拓展
高中数学学习的课外拓展高中数学学习的课外拓展在高中数学学习的旅程中，课堂上的知识只是冰山一角。
像我这样的学科，渴望被深入探索，追求更广阔的理解。
课外活动，就像是为我们打开了一扇通向无限可能的大门。
首先，考虑数学在现实生活中的应用。
我们的存在并不仅限于教室中的公式和问题。
数学是大自然语言的一部分，它在我们周围无处不在。
从金融到科学，从技术到艺术，数学的足迹随处可见。
通过参与项目和比赛，我们得以将课堂知识应用于真实世界的挑战中，这不仅拓展了我们的见识，还增强了我们解决问题的能力。
其次，课外拓展为我们提供了探索数学更深层次的机会。
它是一条向前延伸的道路，我们可以在其中自由探索不同的数学分支和理论。
从数论到几何，从概率到微积分，每一门数学学科都是一个独特的世界，等待我们去探索和发现。
课外阅读、研究项目以及参加数学社团或俱乐部，都是我们深入理解数学奥妙的途径。
此外，课外拓展还培养了我们的团队合作和沟通能力。
在数学竞赛或团队项目中，我们不仅需要独立思考和解决问题，还需要与他人合作，分享想法，协同努力。
这种合作精神不仅在数学中有所帮助，在未来的职业生涯和社会生活中同样至关重要。
最后，课外拓展是激发我们数学兴趣和热情的火种。
它使我们不仅仅是数学的学习者，更是数学的爱好者和探索者。
通过参观数学博物馆、参与数学研讨会或与数学家交流，我们的数学之旅变得更加丰富多彩，充满了探索的乐趣和挑战的精神。
综上所述，高中数学学习的课外拓展是我们数学教育中不可或缺的一部分。
它不仅扩展了我们的知识边界，还培养了我们的综合能力和创新思维。
通过课外活动，我们不仅学会了数学，更学会了如何在数学的世界里探索、发现和创造。
让我们抓住这些机会，为我们的数学学习之旅增添更多精彩和意义。
高中数学知识点拓展与深化
高中数学知识点拓展与深化高中数学作为学生学习过程中的一门重要学科，不仅仅需要掌握基础知识，还需进行知识点的拓展与深化。
本文将围绕数学的拓展与深化展开讨论，探讨如何进一步提高高中数学学习的效果。
一、数学拓展知识点1.1 平面几何的拓展在高中数学课程中，平面几何是一个非常重要的内容。
在进一步深化平面几何知识时，可以拓展讨论与平面几何相关的内容，如投影几何、射影几何等。
这些内容能够真正拓展学生的思维，帮助他们理解几何知识的更深层次含义。
1.2 函数的拓展函数是数学中的重要概念，而在高中数学中，函数的学习往往只限于基本的函数类型和图像。
为了拓展函数知识，可以探究更多的函数类型，如常用的三角函数、指数函数、对数函数等。
除此之外，还可以引入多变量函数、二阶导数等高阶概念，帮助学生更好地理解函数的性质和应用。
1.3 离散数学的拓展离散数学在高中数学中占有重要地位，但常常被忽视。
为了深化离散数学的知识，可以进一步学习集合论、图论等离散数学的分支知识。
通过学习离散数学，可以提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、数学知识点深化2.1 数列与数列极限的深化数列在高中数学中是一个重要的概念，但学校通常只限于基本的数列概念和求和公式。
为了深化数列知识，可以引入更高级的数列，如等差数列和等比数列的性质及其应用；同时，还可以探究数列极限的定义和性质，并通过实例来加深学生对数列极限的理解。
2.2 不等式的深化不等式在高中数学中也是非常重要的内容。
为了深化不等式的学习，可以引入更复杂的不等式类型，如绝对不等式、参数不等式等。
这些不等式的学习能够帮助学生培养解决实际问题的能力，并逐步提高他们的数学思维能力。
2.3 导数与微分的深化在高中数学中，导数和微分是一个相对难度较大的概念。
为了深化导数和微分的学习，可以引入更高级的概念，如高阶导数、极值与最值等。
同时，还可以介绍微分中的应用，如泰勒展开和牛顿法等，帮助学生更好地掌握导数和微分的应用技巧。
高中数学教案数学拓展
高中数学教案数学拓展高中数学教案——数学拓展教案一：概率与统计拓展1. 背景介绍：数学拓展课程的目的是为学生提供更广阔的数学知识，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
在高中数学教学中，概率与统计是一个重要的学习内容，但时间有限，往往只能覆盖基础知识。
本教案旨在通过拓展课程，进一步扩展学生的概率与统计知识。
2. 目标：- 了解概率与统计在实际生活中的应用。
- 探究更复杂的概率问题，如加法定理、乘法定理等。
- 学习统计中的高级概念和方法，如抽样调查、统计推断等。
- 培养学生的分析和解决问题的能力。
3. 教学内容：3.1 概率拓展- 加法定理：介绍加法定理的概念和公式，并通过实例讲解其应用。
- 乘法定理：介绍乘法定理的概念和公式，并通过实例讲解其应用。
- 条件概率：介绍条件概率的概念和计算方法，并通过实例讲解其应用。
- 贝叶斯定理：介绍贝叶斯定理的概念和公式，并通过实例讲解其应用。
3.2 统计拓展- 抽样调查：介绍抽样调查的目的和方法，并进行示范和练习。
- 统计推断：介绍统计推断的概念和方法，并通过实例讲解其应用。
- 样本误差：介绍样本误差的概念和计算方法，并通过实例讲解其应用。
- 卡方检验：介绍卡方检验的概念和步骤，并通过实例讲解其应用。
4. 教学步骤：4.1 概率拓展- 阐述加法定理的概念和公式，并通过实例演示如何计算概率。
- 阐述乘法定理的概念和公式，并通过实例演示如何计算概率。
- 引导学生思考条件概率和贝叶斯定理的应用，并让他们通过小组讨论解决相关问题。
4.2 统计拓展- 介绍抽样调查的目的和方法，并展示实际调查案例。
- 阐述统计推断的概念和方法，并通过案例分析让学生理解其应用。
- 讲解样本误差的计算方法，并指导学生进行实践操作。
- 演示卡方检验的步骤，并通过案例讲解其具体应用。
5. 拓展训练与活动：- 布置概率与统计的拓展练习题，鼓励学生独立解决问题，并进行同学间的互评和交流。
- 组织学生进行概率游戏或统计实验，让他们亲身体验数学在生活中的应用和乐趣。
高一数学拓展知识点全部
高一数学拓展知识点全部高一数学是我们进入中学后首次接触到的数学课程，其中包含了一些基础的数学知识和技巧。
然而，我们也需要了解一些更加深入和拓展的数学知识，以便在以后的学习和应用中能够更好地发挥作用。
下面，我将介绍一些高一数学拓展知识点。
一、复数与复数运算复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数具有加法、减法、乘法和除法等运算规则，能够在解决实际问题时发挥重要作用，比如在电路分析、信号处理等领域。
二、排列与组合排列是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排列的方法总数。
组合是指从n个不同元素中，任取m （m≤n）个元素组成一个集合的方法总数。
排列和组合在数学中有广泛的应用，如概率、组合数学等领域。
三、向量的基本概念向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头的形式。
向量有加法、减法、数量乘法等运算规则，能够用来描述物体的位移、速度、力等概念。
向量还可以表示直线和平面的方向，有助于解决几何问题。
四、三角函数与三角恒等式三角函数是以角度为自变量的函数，主要有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在几何和物理学中有广泛的应用，如解决三角形的边长和角度、分析周期性现象等。
三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系，通过这些等式可以简化计算和证明过程。
五、导数与微分导数是函数在某一点上的变化率，可以用来求函数的切线和极值等问题。
微分是导数的一种应用，可以用来求函数的近似值和最优解等。
导数和微分在数学和物理学中有重要的应用，如求速度、加速度、最优化等问题。
六、数列和级数数列是按一定规律排列的一组数，级数是数列的和。
数列和级数在数学和物理学中经常出现，如数学规律的发现、求和问题等。
通过数列和级数的研究，可以揭示一些数学背后的奥秘和规律。
七、数值方法与近似计算数值方法是一种通过计算机来解决数学问题的方法，比如牛顿迭代法、二分法等。
近似计算是指通过一些近似的方法来求解数学问题，如泰勒展开、线性插值等。
高中数学必修知识拓展与引申
高中数学是十分重要的一块学科，主要内容当中数学必修知识是考生
们在学习中最重要的基础知识以及研究知识。
针对高中数学必修知识，我们需要将所学知识进行拓展与引申，使人能够有更加深入的认识与
提高学习成绩。
首先要把握数学知识的基本原理，只有真正懂得基本原理，才能完成
数学的学习与掌握。
如基本算法、公式的本质，这样学习到的知识才
更加实用，能够应用于更多的数学课题中，从而更能够充分激发学习
的热情，也不失为一种联系数学基本知识和拓展和引申的长足跨越。
其次，要灵活运用数学知识，实现数学知识真正的学习和融汇贯通，
要想在现有数学知识中找到扩展和引申的新内容，可以通过交叉联系
不同知识，将一方面的知识应用另一方面的情况，达到新的应用结果。
要想更好拓展和引申，就要在学习过程中加强思考和问题解决，不断
地探索更多可能性，将现有知识拓展到新领域，不断利用创意解题，
以更好地锻炼自己的能力，实现深度学习。
最后，要进行综合研究，借鉴学习更多社会知识，将平面几何、向量
计算等数学知识等应用到社会实践中，如生活中可以应用数学方程式，进行农业生产的投资决策，也可以通过几何原理计算出最优的运动轨迹，辅助人们正确地解决实际问题，这样也可以让学生更好地切实认
识到数学在社会中的重要性。
高中数学必修知识是相当重要的，要想扩展引申并得到实际应用，就
需要把握基本原理，灵活运用，加强思考和问题的解决能力，以及综
合性学习社会实际应用。
最后，考生们要充分思考和理解其中的知识，以得到更好的成绩。
高中数学拓展公式及定理
高中数学拓展公式及定理
1. 二次函数相关公式：顶点坐标公式、对称轴公式、最值公式、根公式等。
2. 平面向量相关公式：向量共线/垂直判定公式、向量模长公式、向量加减乘除法等。
3. 三角函数相关公式：基本公式、诱导公式、万能公式等。
4. 导数相关公式：导数定义公式、导数求法公式、导数初等公式等。
5. 积分相关公式：积分定义公式、换元积分公式、分部积分公式等。
6. 矩阵相关公式：矩阵加减法、数乘法、矩阵乘法、逆矩阵求法等。
7. 不等式相关定理：柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、几何平均-算数平均不等式等。
8. 极限相关定理：夹逼定理、洛必达法则、泰勒公式等。
9. 数列相关定理：递推公式、通项公式、等差数列/等比数列求和公式等。
10. 几何相关定理：勾股定理、余弦定理、正弦定理等。
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高中数学学习中的知识点拓展与延伸
高中数学学习中的知识点拓展与延伸在高中数学学习中，我们通常会接触到各种知识点和概念，这些知识点虽然在课本中有详细的介绍，但往往只涉及到基本的内容。
为了更好地理解和应用数学知识，我们可以进行知识点的拓展与延伸。
本文将就高中数学学习中的知识点进行拓展与延伸，帮助读者更好地掌握这些知识。
一、数列与函数的拓展数列和函数是高中数学学习中的重要内容，我们可以从以下几个方面进行拓展和延伸。
1.1 数列的通项公式的推导通常情况下，在数列的学习中，我们只会给出数列的前几项，然后通过观察找出数列的规律，得到数列的通项公式。
但是，在实际问题中，我们有时候需要给定数列的通项公式，然后根据这个公式求解其他相关问题。
因此，我们可以探索数列通项公式的推导方法，从而更好地理解数列的性质和规律。
1.2 函数的图像与性质函数的图像是函数学习中的重要内容，我们可以通过利用计算机绘制函数的图像，观察函数在不同定义域上的变化趋势，进一步理解函数的性质。
同时，我们还可以研究函数的极值、最值等性质，从而深入探究函数的特点和规律。
二、几何图形的拓展几何学是数学中的一个重要分支，学习几何图形的性质和变换是高中数学中的基础内容，我们可以在此基础上进行以下拓展与延伸。
2.1 不规则图形的性质我们通常学习的几何图形大多是规则的，例如正方形、圆形等。
但是实际问题中，我们也会遇到不规则图形，如五角星、溜冰鞋形等。
对于这些不规则图形，我们可以研究它们的性质和特点，比如对称性、边长之间的关系等，从而深入理解几何图形的性质。
2.2 空间几何的应用除了平面几何，空间几何也是数学学习中的内容之一。
我们可以拓展学习空间几何的知识，例如研究三维几何图形的性质和变换，以及它们在现实生活中的应用。
例如，我们可以研究立方体在建筑设计中的应用，从而将数学的知识与实际问题相结合。
三、微积分的拓展微积分是高中数学的重点和难点之一，我们可以在学习微积分的基础上进行以下拓展与延伸。
3.1 曲线的长度与曲面的面积在微积分学习中，我们通常学习了曲线的弧长和曲面的面积的计算方法。
高中数学分章节全部知识点(含拓展内容)全面细致总结(必修必备版)
第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集∅【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（20)〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →． ②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：yxo（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符当n 是偶数时，正数a 的正的n负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2⇔af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k2⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2b q a ->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q=②02x a->，则()M f p =xxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a=- ③若2b q a ->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q =②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。