二项式展开式专题
高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)
6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为 ． （2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-， 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
求二项式的展开项典例精讲
求二项式展开后的某项一、基础知识：1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1nx +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n rr r n T C ab -+=（注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。
对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rrab -意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。
所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。
而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的rnC ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。
专题39 二项式展开项的通项及应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用．【重点知识回眸】1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，nn C . 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值． 当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r nn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，（4）常用结论①0n C ＝1；②1nn C =；③m n m n n C C -=；④11m m m n n n C C C -+=+.4.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【典型考题解析】热点一 二项式展开式的通项公式的应用【典例1】（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【典例2】（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【典例3】（2022·山西·高三阶段练习）二项式()4x ay +的展开式中含22x y 项的系数为24，则=a ______．【典例4】（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）． 【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b )n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．3.求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路 (1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到(),()nma b c d ＋＋的通项公式，综合考虑．4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 热点二 形如()na b c ＋＋的展开式问题【典例5】（2021·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．11520【典例6】（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（ ） A ．120B ．-120C ．60D ．30【典例7（2022·山东济南·模拟预测）()3221x x -+的展开式中，含3x 项的系数为______（用数字作答）. 【规律方法】求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 热点三 二项式系数的和与各项的系数和问题【典例8】（2022·全国·高三专题练习）已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n nn n n n n +++++=，则123C C C C nn n n n ++++=（ ）A ．31B ．32C ．15D ．16【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-【典例10】（2022·北京四中高三开学考试）设多项式51010910910(1)(1)x x a x a x a x a ++-=++++，则9a =___________，0246810a a a a a a +++++=___________. 【规律方法】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.热点四 二项式系数的性质【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【典例12】（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（ ）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1 B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240xC ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32【典例13】（2022·浙江·三模）在二项式4(2)+x 的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________． 【规律方法】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式(1)(1)2f f +-(1)(1)2f f --组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 热点五 二项式定理应用【典例14】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．222234510C C C C 165++++=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．【典例16】（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.【规律方法】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. 2.特别提醒: （1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转rn rr n C ab -1r +r 1r n r r r n T C a b -+=1r T +rn C a b n r a b n r n r化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A ．160 B ．120 C ．90D ．602．（2022·全国·高三专题练习）()()52x y x y +-的展开式中的33x y 项系数为（ ） A ．30B ．10C ．-30D ．-103．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ）A ．454B ．458-C ．358D ．74．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．0B ．120-C ．120D ．160-5．（2022·全国·高三专题练习）设()011nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，若1263n a a a ++⋅⋅⋅+=，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．315xB ．320xC ．321xD ．335x6．（2023·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）n r r n n r 1r n r r r n T C a b -+=rn C a b 1r T +n r 1r T +1r +r a b n a b ()na b -A ．5B ．-5C ．15D ．-15二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A ．展开式共6项 B ．常数项为160C ．所有项的系数之和为729D ．所有项的二项式系数之和为648．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（ ）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++9．（2022·河北张家口·三模）已知52(1)(0)b ax x b x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为30，1x 项的系数为M ，则下列结论正确的是（ ） A ．0a > B ．323ab b -=C ．M 有最大值10D ．M 有最小值10-三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．11．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．12．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()31nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n =__________.（2）1921C C n nn n --+=__________.13．（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）二项式3nx x ⎫⎝的展开式中共有11项，则n =___________，常数项的值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答） 四、解答题16．（2019·江苏·高考真题）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.。
二项展开式终极拿分必读
二项展开式是高中数学人教A 版选修2-3重点内容，也是必考内容。
分值稳定在5分，题型稳定在填空题。
难度为简单到中等。
是考生必得分的题目。
下面从基础知识到重点题型为同学们做总结，喜欢的请收藏。
一、基础知识：①n )b a +（展开式共有n+1项。
②n )b a +（展开式的二项式系数和为n 2。
奇偶项二项式系数和各占一半即1-n 2。
含有一个常数及一个变量的二项式求展开式系数和只需设变量为1即可。
③n )b a +（展开式二项式系数有最大值，其排列方式就是杨辉三角，由小到大再小。
具体讲，展开式有奇数项的，中间一项即21n +项最大。
为偶数项的12n 2n +或项最大。
④求展开式系数，都要用赋值法，常用赋值为0，-1，1.⑤展开式通项公式：1r 1r n 1r n r b ac T -+--=（灵魂哦） 二、常见题型：①求某项。
②求某（些）项系数。
三、常用方法：赋值法。
四、重点题型及对策：例一：（2020全国三卷14,5分）62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的常数项是_____________. 分析：考察二项展开式的通项公式，属于简单题，分母有变量，先化简，再求值。
解： 62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()612x 2x -+，由1r 1r n 1r n r b a c T -+--==1r 1r -721r 6)x 2()(x c --- =r 3-151r 61-r r x c 2T -=，常数项指数为0，故令15-3r=0,得r=5,代入得=5T 464c 2=240.记住，先化简再求值永远是王道。
例二：（2019全国三卷4，改编,5分）42)x 1)(x 21++（展开式中4x 的系数是___________. 分析：考察通项公式，指数幂运算性质及乘法分配律。
无需化简。
（原式是两项相乘，由乘法分配律）出现四次幂的情况可能是：①1.4ax 或者②22bx .x 2。
只要求出第二个式子展开式中4次幂和2次幂系数即可。
二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式1.“（“+〃）"”型的展开式例1.求（3« + J）4的展开式：解：原式=（亨）4 = 3 y/x X-=3Gt），+ 0： 3靖 +（3x）2 + d 由）+。
：］A= -4（8 lx4 + 84x3 + 54x2 +12x +1） =81x2 +84x+—+ -4 + 54厂x 厂2."（“一匕）"”型的展开式例2.求（36一，=）4的展开式：分析：解决此题，只需要把（34一3）4改写成［36+（—一的形式然后按照二项展开式yjx y］X 的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3.二项式展开式的“逆用”例3.计算1—3C：+9C：—27C：+~・+（-1）"3"C；：解：原式=<7>d（一到+C：（-3）2+C：（—3）3+....+ C»3）” =（1-3）” =（-2）”二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素a反 Q? 9例4.已知（一一1一）’的展开式中工3的系数为一，常数4的值为______________x V 2 4解：= C；（色尸（J） = G；（-l）r-2^ •，产「x V 23 Q令三•一9 = 3,即〃=8依题意，得C；（一1）8・27.。
内=“解得。
=一12.确定二项展开式的常数项例5.（五一二，）1°展开式中的常数项是]5-5 5解：7；+1 =c;Q ^）i0-r （--y=（-\yc;0-x 令5—7r= 5 即r= 6. 所以常数项是（-l ）6c* =2103 .求单一二项式指定器的系数例6.（』一一-）9展开式中X 9的系数是 _____________ 2%解:心=仁“产（-/ =仁”2（一'7=仁（-；）“心令18 - 3x = 9,则广=3,从而可以得到的系数为：。
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
专题11 二项式的计算(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
二项式定理的相关计算1．已知2nax⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则n =__________.【解答】根据展开式的二项式系数之和为2n ，所以2128n =，解得7n =，故答案为：7.2．若()8ax y -的展开式中35x y 的系数为448-，则=a __________.【解答】二项式()8ax y -展开式的通项为()()818C rrr r T ax y -+=-所以()8ax y -的展开式中含35x y 的项为()()5533358C 56ax y a x y -=-，所以()8ax y -的展开式中35x y 的系数为356448a -=-，所以2a =.故答案为：23．10x⎛⎝的展开式中x 的系数为______（用数字表示）.【解答】10x⎛ ⎝的通项为()(){}131010221010C 1C 1,0,1,2,,10r r r r r r x x x r ---=-∈ -,令310162r r -=⇒=，所以展开式中x 的系数为()6610C 1210-=,故答案为：2104．()()8x y x y -+的展开式中72x y 的系数是______.【解答】二项式()8x y -中，()8181C rr r r r T x y -+=-，当x y +中取x 时，这一项为()981C rr r r x y --，所以2r =，()2281C 28-=，当x y +中取y 时，这一项为()8181C r r r r x y -+-，所以1r =，()1181C 8-=-，所以展开式中27x y 的系数为-+=82820.故答案为：20.5．若621(12)x x ⎫++⎪⎭的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中4x 的系数为__________．【解答】令1x =，得)631192=，解得1a =，进而可得61(x x+的展开式为6216C r rr T x -+=，令1r =，得14426C 6T x x ==，令2r =，得22236C 15T x x ==，故4x 的系数为1621536⨯+⨯=．故答案为：366．83x ⎛- ⎝的展开式中，2x -项的系数为__________．【解答】由二项式展开式通项为58883188C (3)((1)3C r r rrrrr r T x x---+==-，令5823r -=-，则6r =，则2622783C 252T x x --==，故2x -项的系数为252.故答案为：2527．已知323401234(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则123a a a ++=__________．【解答】依题意323401234(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，令0x =，得01a =，令1x =，得012340a a a a a ++++=.因为43343C ,a x x x =-⨯可以得出343C 1a =-=-,01234123110a a a a a a a a ++++=+++-=，故1230a a a ++=.故答案为：0.8．已知二项式521a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为59-，则=a ______________.【解答】由题意可知225211()a a x x x x ⎛⎫++++ ⎝⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎭，则其通项为521(),0,1,5C ,2,rr ra x r xT +==+，而2(r a x x +的通项为312C C ,0,1,2,,kk r k k k r k k r r a T x a x k r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令30,3r k r k -=∴=，当0k =时，0r =；当1k =时，3r =；当2k ≥时，6r ≥，不合题意，由二项式521a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为59-，可得0003115053C C C C 59a a +=-，即3060a =-，解得2a =-，故答案为：2-9．在()52231x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______．【解答】()55522222313x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中x 的项为322322355223C C 24040200x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以展开式中x 的系数为200-．故答案为：200-.10．()52x x +的展开式中9x 的系数为______【解答】()52x x +展开式的通项为()()5210155C C 0,1,2,,5rrr r rr T x x x r --+=⋅== ，令109r -=，解得1r =，所以展开式中9x 的系数为15C 5=.故答案为：5.11．已知常数0m >，6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数是60，则m 的值为_____________．【解答】由已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则其展开式的通项为66266C C rr r r r rm x m xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，又其二项展开式中2x 项的系数是60，则令622r -=，即2r =，2226C 1560m m ==，又0m >，所以2m =，故答案为：2.12．若()()512x a x -+的展开式中3x 的系数为60，则实数=a ________．【解答】∵()()512x a x -+的展开式中含3x 的项为()()()2323355C 2C 24080x x a x a x ⋅-⋅=-，由已知3x 的系数为408060a -=，∴14a =-．故答案为：14-.13．()()532x y x y +-的展开式中33x y 的系数是______.（用数字作答）【解答】()()()()55532322x y x y x x y y x y +-=-+-，而()52x y -的通项为55C (2)r rr xy --，0,1,2,3,4,5r =，故展开式中33x y 的系数是3322553C (2)C (2)200⨯⨯-+⨯-=-,故答案为：200-.14．在61(21)x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为____________．（结果填数字）【解答】设6(21)x -的展开式通项为666166C (2)(1)(1)2C rrr r r r rr T x x ---+=-=-，当6r 3-=时，3r =，3x 的系数为3336(1)2C 160-=-；当65r -=时，1r =，5x 的系数为1516(1)2C 192-=-；所以4x 的系数为1(160)(1)(192)32⨯-+-⨯-=.故答案为：3215．(72展开式中含3x 项的系数为______.【解答】(72展开式的通项公式为(()772177C 21C 2r rrr rrr r T x --+==-，令32r =，则6r =，所以含3x 项为63377C 214T x x ==，所以(72展开式中含3x 项的系数为14.故答案为：14.16．434log 2(log 3)x x+展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【解答】434log 2(log 3)x x+展开式通项公式44214344344log 2log 3)()log 43)(log 2C ((C ,)N,r r r r r rrr T xx r x r --+-==⋅∈≤，令420r -=，解得2r =，则2223234log 3)(lo 2113(C 62)24g T ==⨯=⋅，所以434log 2(log 3)x x +展开式的常数项是32.故答案为：3217．()5(2)0ax a +≠的展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，则=a ___________.【解答】由5(2)ax +的展开式的通项为55155C 2()2C r rr r r rr r T ax a x --+=⋅⋅=⋅，令1r =，可得411252C 80T a x ax =⋅⋅=；令2r =，可得322222252C 80T a x a x =⋅⋅=，因为展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，可得2a a =，又因为0a ≠，所以1a =.故答案为：1.18．已知()42340123412x a a x a x a x a x +=++++，则024a a a ++的值等于______.【解答】令1x =，则401234381a a a a a ++++==；令1x =-，则012341a a a a a -+-+=，上述两式相加得()0242811a a a ++=+，故02441a a a ++=；故答案为：41.19．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则2345a a a a +++=___________．（用数字作答）【解答】因为()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，令0x =，得01a =-；令1x =，得50123456232a a a a a a a ++++++==；又()()()()555211211x x x x x -=-+++，二项式5(1)x +的通项公式为55155C 1C r r r rr r T x x --+=⋅⋅=⋅，则0652C 2a =⨯=，41521(1)C 3a =⨯+-⨯=-，所以2345322(3)(1)34a a a a +++=-----=．故答案为：3420．()52211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为________.【解答】因为()51x +的二项展开式为5155C 1C ,0,1,2,3,4,5rrr r rr T x x r -+=⨯⨯==，所以3x 项为335334655221C 2C 12T T x x x x⨯+⨯=+=，即展开式中3x 项的系数为12.故答案为：12.21．已知a >0，若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，且5126a =，则a =______.【解答】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，又99()[(1)1]x a x a ++-=+，展开式通项为919C (1)(1)r rr r T x a -+=+-，5126a =对应5(1)x +的系数，故得到95r -=，解得4r =，其系数为449C (1)1260a a -=⇒=或2a =.又a >0，故实数a 的值为2.故答案为：2.22．若()312nx x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为132，则展开式中3x 的系数为______.【解答】因为()312nx x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为132,令1x =,得1121232n⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,所以n =6.因为62x ⎛ ⎝展开式的通顶公式为663621661C C (1)22r rrrr r rr x T x---+⎛⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝,令3632r -=,得2r =;令3602r-=,得4r =,所以展开式中3x 的系数为4224661175C C 2216⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：751623．5x⎛ ⎝的展开式中含1x -项的系数为_________．【解答】解：5x⎛ ⎝展开式的通项为3552155C C (2)rr r r r r T x x --+⎛==- ⎝，令3512r -=-，得4r =，所以展开式中常数项为445C (2)80-=．故答案为：8024．4(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是__________．【解答】由题意可知4(1)x -中3x 的系数为114C (1)4-=-,2x 的系数为224C (1)6-=,故4(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是16(2)(4)14⨯+-⨯-=，故答案为：1425．41(2)x x+展开式的常数项是__________．（用数字作答）【解答】41(2)x x +展开式的通项公式是44421441C (2)(2C ,N,4r r r r r rr T x x r r x ---+==∈≤，由420r -=，得2r =，所以41(2x x+展开式的常数项为22342C 4624T ==⨯=.故答案为：2426．若()6x ay +展开式中33x y 的系数为160-，则=a ______．【解答】()6x ay +的通项为：()66166C C rr r r r r rr T x ay a x y --+==，令3r =，则336C 160a =-，解得：2a =-.故答案为：2-.27．已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为243，则这个展开式中3x 项的系数是__________．【解答】在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中令1x =得展开式中各项系数的和为3243n =，求出5n =．12nx x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式的通项55521551C (2)2C rr r r rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，得41331151,2C 80r T x x +=∴=⋅⋅=．故答案为：80．28．在6(31)x -的展开式中，含2x 的项的系数为__________.【解答】在6(31)x -展开式中，第1k +项为666166C (3)(1)C 3(1)kkk k kk k k T x x ---+=-=-，06,N k k ≤≤∈，令4k =，得含有2x 的项的系数为4246C 3(1)135⋅⋅-=；故答案为：135.29．二项式5(13)(12)x x +-的展开式中的4x 项的系数为___________.【解答】5(12)x -展开式的通项为()()155C 22C kkk k kk T x x +=-=-，0,1,2,3,4,5k =，所以当4k =时，()4444552C 80T x x =-=，当3k =时，()3333452C 80T x x =-=-，所以二项式5(13)(12)x x +-的展开式中含4x 项的系数为801(80)3160⨯+-⨯=-.故答案为：160-.30．在91x ⎫⎪⎭的展开式中，6x -的系数为________．【解答】因为91x ⎫-⎪⎭的展开式的通项公式为()9191C 09,rrr r T r r x -*+⎛⎫=-≤≤∈ ⎪⎝⎭N ，即()()932191C 09,r rr r T xr r -*+=-≤≤∈N ，所以由9362r-=-，得到7r =，故6x -的系数为779(1)C 36-=-.故答案为：36-.31．712x xx ⎛⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝的展开式中常数项为______.【解答】72x⎛ ⎝的展开式中通项为()()37772177,0,1,2C 2C 21,,7kk kk kk k k k T x x---+⎛==- ⎝= ,所以要使712x xx ⎛⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝展开式中出现常数项，需3712k -=或1-，当3712k -=时，4k =；当3712k -=-时，163k =（舍去），所以常数项为()44371C 21280x x -⋅=，故答案为：280.32．在二项式622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的二项式系数为__________．【解答】因为()621231662C C 2rrr r r rr T x x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，0r =，1，2，…，6.令1233r -=，得3r =，所以3x 项的二项式系数为36C 20=.故答案为：2033．()72213x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中82x y 的系数为__________.（用数字作答）【解答】由题意得()()()777222221313x yx y x y xy x y=⎛⎫+-⎝+-- ⎪⎭，因为()72x y -的展开式的通项为()()()714212771C C rrrrr r rr T x y x y --+-==-，令2r =，()2102223710121C x y T x y ==-，令3r =，()33838347C 135T x y x y =-=-，所以()41313x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中82x y 的系数为()2135384+-⨯=-，故答案为：84-.34．6⎛⎝的展开式中x 的系数为___________.【解答】6⎛+ ⎝的展开式的通项公式为(663166C C 32rrrr r r rr T x ---+==，令31r -=，得2r =，所以展开式中x 的系数为2426C 324860⨯⨯=.故答案为:4860.35．431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为______．【解答】二项式431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()43441441C C 1rr r r rr rT x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令440r -=，解得1r =，所以()021144C 1T x =-=-，所以展开式中常数项为4-.故答案为：4-36．已知二项式9112x ax -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为18-，则该二项展开式中的常数项为___________.【解答】9112x ax -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()91931222199C C rr rrr rr T x axa x---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令93322r -=，解得1r =，∴19C 918a a -=-=-，解得2a =，令93022r -=，解得3r =，∴该二项展开式中的常数项为()3392C 672-=-.故答案为：672-.37．102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【解答】二项式102x⎛ ⎝展开式的通项为()()520102211010C C 1rrr r r r T xx--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r -=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．38．已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20，则实数m 的值为______．【解答】展开式的通项为66266C C rrrr r rm xm x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，令620r -=解得3r =，∴336C 20m =．∴1m =．故答案为：139．()8221x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______．【解答】82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为828188(2)C (2)C r rr r r r r r T x x x --+-=-⋅⋅-⋅=.令820,4r r -==，令822,5r r -=-=.则()8221x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中的常数项为445588212(2)C (2)9C 1⨯-⋅--=⋅.故答案为：291240．二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_______________（用数值表示）．【解答】由二项式定理可得()()()()()40123404113122131140144444222222x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭C C C C C ，显然其常数项为第三项即()22214224x x -=C ，故答案为：2441．在1022x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）【解答】1022x ⎫⎪⎭展开式通项为：1051021101022C 2C rrrrr rr T x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令10502r -=，解得：2r =，223102C 445180T ∴=⨯=⨯=，即常数项为180.故答案为：180.42．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数是______．【解答】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()621231662C C 2rrr r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令1233r -=，得3r =，所以含3x 项的系数为()()336C 2208160-=⨯-=-，故答案为：160-．43．8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．【解答】8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项为()884188311C C 20,1,2,,82rr r rr r r T r x x x --+==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令840r -=，得2r =，所以常数项为282C 72=．故答案为：7.44．二项式()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【解答】51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式为5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令-+=5210r ，得3r =；令520r -=，得52r =（舍）.所以()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为35C 10=．故答案为：1045．若在61x ⎫⎪⎭的展开式中，2x -的系数为__________．（用数字作答）【解答】61x ⎫⎪⎭的展开式通项为()()46231661C C 10,1,2,,6kkk k kk k T x k x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭，令4223k -=-，可得3k =，因此，展开式中2x -的系数为()336C 120⋅-=-.故答案为：20-.46．已知54(1)(13)ax x -+的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为_________．【解答】解：5(1)ax -展开式的通项公式为()5C 1,2, (5)r ax r -=，，4(13)x +展开式的通项公式为()4C 31,2, (4)s x s =，，所以54(1)(13)ax x -+的展开式中x 的系数为()()010111005454C C 3C C 32a a -+-=，解得2a =，故答案为：247．在4(21)x +的展开式中，2x 的系数为__________．（用数字作答）【解答】4(21)x +的展开式通项公式为()414C 2rr r T x -+=，令2r =，得()22234C 224T x x ==，故2x 的系数为24.故答案为：24.48．()226()x y x y ++的展开式中，53x y 的系数为____．【解答】因为23332155366C C 26x x y y x y x y +=，所以53x y 的系数为26．故答案为：2649．已知()()811ax x -+的展开式中5x 的系数为84-，则实数a 的值是________.【解答】()81x +的通项公式为81C r r r T x +=，所以81888C (1)(1)(1)C C r r r r r r x x a ax x ax x +-+=-⋅=-，令=5r ，则8C r r x 的展开式中5x 的系数为58C 56=；令154r r ,+==，则18C r r a x +的展开式中5x 的系数为48C 70a a =；故()()811ax x -+的展开式中5x 的系数为567084a -=-,2a ∴=.故答案为：2.50．6313⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式中2x 的系数为______.【解答】361(3)x x-展开式的通项公式为()6184161C 3r r r r r T x --+=-⨯⨯⋅，令1842r -=，解得4r =，1C3135--⨯⨯=.故答案为：135.所以含2x的项的系数为()44646。
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二项式展开式专题一、基础知识：1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()n a b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。
对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。
所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。
而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。
例如：()521x +展开式中第三项为()3223521T C x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()3223352180T C x x =⋅⋅= 化简后的结果80为该项的系数（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。
例如()51x + 展开式的第三项为 ()322351T C x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为103、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如212,5x x就是有理项，就不是有理项。
4、()na b +与()na b -的联系：首先观察他们的通项公式：()n a b +：1r n r r r n T C a b -+= ()n a b -：()()'11r rr n r r n r r r n n T C a b C a b --+=-=-两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。
其绝对值相等。
所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题5、二项式系数的最大值：在01,,,n n n n C C C 中，数值最大的位于这列数的中间位置。
若n 为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如5n =时，最大项为2355C C =，若n 为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如6n =时，最大项为36C证明：在01,,,n n n n C C C 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为rn C ，则有()()()()()()11!!11!!1!1!1!!11!!11!1!r r n n r r n n n n r n r r n r C C r n r n n C C r n r n r r r n r -+⎧⎧≥≥⎪----⎡⎤⎪⎧≥⎪⎪⎣⎦⎪+-⇒⇒⎨⎨⎨≥⎪⎩⎪⎪≥≥⎪⎪--+⎩+-+⎡⎤⎣⎦⎩ 所以解得：1212n r n r +⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩即1122n n r -+≤≤ 所以当n 为奇数时（21n k =-），不等式变为1k r k -≤≤，即1r k =-或r k =为中间项当n 为偶数时（2n k =），不等式变为11+22k r k -≤≤，即r k =为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计算所得，大致分为两种情况：()__n+型：不妨设项1r T +的系数为1r P + ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要比相邻项大，所以有112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩，再根据通项公式代入解不等式即可()__n-型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。
即1113r r r r P P P P +-++≥⎧⎨≥⎩，在运算上较为复杂；一种是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为()__n+的最大值问题，然后在考虑符号确定系数最大值。
例1：二项式82x ⎛- ⎝展开式中的常数项是_________方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 的值再代入计算即可解：()88118331881122rrrr rr rrr x T C x C xx-----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭依题意可得：18063r r r --=⇒=∴ 常数项为()266781172T C ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭方法二：思路：对82x ⎛- ⎝中的8个2x ⎛ ⎝因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出2x，六个式子出-所以常数项为：622872x C ⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝答案：7小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出r 的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案，将其作为一个组合问题求解。
例2：在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是____________ 思路一：考虑二项展开的通项公式：()()()626211231666rrr r r r r r r T C x x C x C x -----+===由所求可得：12333r r -=⇒= 3334620T C x x ∴==思路二：可将其视为6个因式出项的问题，若要凑成3x ，需要3个2x ，3个1x所以该项为：()333236120C x x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭答案：20小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式，结合条件求出r 的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。
例3：若二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第四项等于7，则x 的值是____________思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：7171r rrr T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，第四项中3r =，3344717T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得：15x =- 答案：15x =-例4：已知91x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为212-，则实数a 的值为__________思路：先利用通项公式求出3x 的项，在利用系数的条件求出a 的值即可 解：99219911r rr rr rr T C xC x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9233r r ∴-=⇒= 3333493184T C x x a a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭3842122a a ∴=-⇒=- 答案：2a =-例5：已知二项式2()n x x+的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定n 的取值，先利用二项式系数和求出n ：216n =即4n =，再求42()x x+展开式的常数项为2224224C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭答案：24例6：()()5211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数为___________思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以()21x x ++为例） 1：()21x x ++出1，则()51x -出4x ，该项为：()4445115C x x ⋅⋅⋅-=2：()21x x ++出x ，则()51x -出3x ，该项为：()33245110x C x x ⋅⋅⋅-=-3：()21x x ++出2x ，则()51x -出2x ，该项为：()222345110x C x x ⋅⋅⋅-=综上所述：合并后的4x 项的系数为5例7：()1021x x -+ 展开式中3x 项的系数为（ ）A. 210-B. 210C. 30D. 30-思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：（1）：1个2x ，1个()x -，8个1，所得项为：()1218831098190C x C x C x ⋅-⋅=- （2）：3个()x -，7个1，所得项为：()337731071120C x C x -⋅=-所以3x 项的系数为210- 答案：A例8：二项式24展开式中，有理项的项数共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 7思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手：242411364242424rrr r r C x x C x---⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,,24r =，r 的取值只需要让364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项 小炼有话说：在整理通项公式时可将x 的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。
例9：二项式()821x +展开式中系数最大的项为___________思路：考虑()821x +展开式的通项公式为88182r r r r T C x --+=，其系数设为1r P +，即818=2rrr P C -+，若要1r P +最大，则首先要大于相邻项，即112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩ ，代入解得r 的范围即可确定出r 的值，从而求出该项 解：()888188212rr r r r r r T C x C x ---+=⋅= 设1r T +项的系数为818=2r r r P C -+若1r P +最大，则()()81818818+18+112882222r r rr r r r r r r r r C C P P P P C C ----+--++⎧≥≥⎧⎪⇒⎨⎨≥≥⎩⎪⎩ ()()()()()()89878!8!1222!8!1!9!98!8!2122!8!1!7!81r r r r r r r r r rr r r r r r ----⎧⎧≥≥⎪⎪---⎪⎪-∴⇒⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪-+--+⎩⎩解得：23r ≤≤ 2r ∴=或3r =∴经检验：系数最大的项为5341792T T x ==。