求二项式的展开项
二项展开式的通项公式推导
要推导二项展开式的通项公式，可以使用数学归纳法。
下面是推导的步骤：1.首先考虑二项式系数的定义：对于非负整数n和k，二项式系数C(n, k)表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。
它的计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2.对于给定的非负整数n，我们希望找到二项式展开式中的通项公式。
即，我们想要找到表达式(x + y)^n 中每一项的系数。
3.假设我们已经知道了展开式的前m项的系数，我们希望推导出第(m+1)项的系数。
4.根据二项式展开式的性质，展开式的第(m+1)项可以通过前m项中的系数得到。
具体而言，我们可以利用以下关系来推导：C(n, m+1) = C(n-1, m) + C(n-1, m+1)5.使用归纳法，我们可以证明上述关系成立。
首先考虑基本情况，当m=0时，C(n, 1) = C(n-1,0) + C(n-1, 1)，这是显然成立的。
接下来，假设关系在某个特定的m=m'时成立，即C(n,m') = C(n-1, m'-1) + C(n-1, m')。
我们将证明它在m=m'+1时也成立。
6.使用二项式系数的定义，我们可以将C(n, m')和C(n-1, m'-1)表示为阶乘形式，并进行化简。
然后利用归纳假设，我们将新表达式中的C(n-1, m')替换为C(n, m') - C(n-1, m'-1)。
7.最终，通过化简，我们得到了第(m+1)项的系数的通项公式：C(n, m+1) = C(n, m) * (n-m)/(m+1)8.这个通项公式描述了(x + y)^n 中每一项的系数。
通过逐项求解，我们可以获得完整的二项展开式。
注意：这里的推导过程是基于数学归纳法和二项式系数的定义进行的，以展示通项公式的推导思路。
二项式定理中展开式系数的六种常见类型
二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一、(a +b )n (n ∈N *)型例1．(x -2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是（）（A ）840（B ）－840（C ）210（D ）－210解析：在通项公式T r +1=r C 10(-2y )r x 10-r 中令r =4，即得(x -2y )10的展4开式中x 6y 4项的系数为C 10(-2)4=840,故选A 。
例2．(x -1x)8展开式中x 5的系数为。
解析：通项公式Tr +1=C x r 88-r (-1x)=(-1)C xr r r 838-r 23，由题意得8-r =5，2则r =2，故所求x 5的系数为(-1)2C 82=28。
评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。
二、(a +b )±(c +d )(n ,m ∈N )型21例3．(x 3-)4+(x +)8的展开式中整理后的常数项等于.x x2r 342r r r 1-24r 解析；(x 3-)4的通项公式为T r +1=C ,令(-)(x -)r =C 44-(2)x x x2332=－32,12-4r =0，则r =3,这时得(x 3-)4的展开式中的常数项为-C 4xn m *1k 1k 8-k k 8-2k ()x =C 8x ,令8-2k =0，则k =4,这时得(x +)8的通项公式为T k +1=C 8x x121(x +)8的展开式中的常数项为C 84=70，故(x 3-)4+(x +)8的展开式中常数项x x x等于-32+70=38。
例4．在(1-x )5-(1-x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（）(A)-5(B) 5(C)-10(D) 10解析：(1-x )5中x 3的系数-C 53=-10,-(1-x )6中x 3的系数为3-C 6⋅(-1)3=20,故(1-x )5-(1-x )6的展开式中x 3的系数为10,故选D 。
求二项式的展开项典例精讲
求二项式展开后的某项一、基础知识：1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1nx +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n rr r n T C ab -+=（注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。
对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rrab -意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。
所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。
而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的rnC ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。
二项展开式系数的求法
二项展开式系数的求法苏清军(山东省无棣二中,山东 251913)中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01收稿日期:2001-01-05作者简介:苏清军(1969—),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师. 对于(a +b )n 展开式中特定项的系数,常常从通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开式,如(a +b )m(c +d )n 、(a +b +c )n等,多有畏难情绪.这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时参考.1 有效展开 对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后部分展开,便可确定系数.例1 求(1+x )2(1+2x )5展开式中x 3的系数.解 (1+x )2(1+2x )5=(1+2x +x 2)(1+10x+40x 2+80x 3+…),所以x 3的系数为80+2×40+10=170.2 利用通项公式 即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项的系数.例2 在(1-2x )5(1+3x )4展开式中,若按x 的升幂排列,求展开式中的第三项.解 展开式中的第三项含x 2.二项式(1-2x )5的通项公式为R m +1=C m5(-2x )m,二项式(1+3x )4的通项公式为R n +1=C n4(3x )n.(m =0,1,2,3,4,5;n =0,1,2,3,4.)T m +1·R n +1=C m 5(-2x )m ·C n4(3x )n=C m 5C n 4(-2)m ·3n ·x m +n,令m +n =2,解得m =0,n =2,或m =1,n =1,或m =2,n =0.所以(1-2x )5(1+3x )4展开式中第三项的系数为C 05C 24(-2)0·32+C 15C 14(-2)·3+C 25C 04(-2)2·30=54-120+40=-26.3 利用求组合数的方法 这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式各异的题目都可以实施.例3 (1996年上海高考题)在(1+x )6(1-x )4的展开式中,x 3的系数是.解 利用组合知识.展开式中含x 3项有x 3·x 0,x 2·x ,x ·x 2,x 0·x 3四种情况.所以x 3的系数是C 36+C 26·C 14·(-1)+C 16·C 24(-1)2+C 06·C 34(-1)3=20-60+36-4=-8.例4 (1992年全国高考题)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为( )(A )160. (B )240. (C )360. (D )800.分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.若借用组合知识解决可省却很多麻烦.解 根据三项的特点,展开式中x 项只能源于3x ·2·2·2·2,所以x 的系数为C 15·3·24=240,选(B ).例5 求(2x -3y -4z )6的展开式中x 3y 2z 的系数.解 利用组合知识,x 3y 2z 的系数为C 36·23·C 23·(-3)2·(-4)=-17280.72001年第12期 数学通讯。
多项式展开式公式
多项式展开式公式多项式展开式可以用于求解多种数学问题，包括代数问题、几何问题和物理问题。
在代数中，多项式展开式可以用于解决方程、求多项式的根等问题。
在几何中，多项式展开式可以用于计算多边形的面积和体积，以及解决平面上的几何问题。
在物理中，多项式展开式可以用于计算物体的运动、力学系统的能量等。
1.二项式展开式：对于形如(a+b)^n的二项式，展开式可以由二项式定理给出：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2.平方差展开式：对于形如(a-b)^2的平方差，展开式可以由平方差公式给出：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.平方和展开式：对于形如(a+b)^2的平方和，展开式可以由平方和公式给出：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.立方差展开式：对于形如(a-b)^3的立方差，展开式可以由立方差公式给出：(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^35.立方和展开式：对于形如(a+b)^3的立方和，展开式可以由立方和公式给出：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^36.二次多项式展开式：对于形如(ax+b)^2的二次多项式，展开式可以由二次多项式展开公式给出：(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^27.三次多项式展开式：对于形如(ax+b)^3的三次多项式，展开式可以由三次多项式展开公式给出：(ax+b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3这些公式是多项式展开的基础，可以根据需求进行扩展和组合。
在实际应用中，我们可以使用这些展开式公式来计算多项式表达式的值、求解方程、进行因式分解等。
二项展开式
二项展开式1. 什么是二项展开式在高等代数中，二项展开式是一种表示两个实数(或复数)之和的公式。
它是根据二项式定理推导出来的，二项式定理是代数学中非常重要的一条定理，用于计算二项式(形式如(a+b)^n)的展开式。
二项展开式的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)·a n·b0 + C(n,1)·a(n-1)·b1 + C(n,2)·a(n-2)·b2 + … + C(n,k)·a(n-k)·b k + … + C(n,n)·a0·b n其中，C(n,k)表示组合数，可以用以下公式计算：C(n,k) = n! / (k!·(n-k)!)2. 二项展开式的例子以一个具体的例子来说明二项展开式的应用。
我们假设要计算(2x + 3y)^4的展开式，其中x和y均为变量。
首先，在这个例子中，n的值为4，a的值为2x，b的值为3y。
根据二项展开式公式，我们可以把展开式表示为：(2x + 3y)^4 = C(4,0)·(2x)4·(3y)0 + C(4,1)·(2x)3·(3y)1 + C(4,2)·(2x)2·(3y)2 +C(4,3)·(2x)1·(3y)3 + C(4,4)·(2x)0·(3y)4计算组合数C(4,k)的值：C(4,0) = 4! / (0!·(4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1!·(4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2!·(4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3!·(4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4!·(4-4)!) = 1将这些计算结果代入二项展开式公式，可以得到展开式的具体形式：(2x + 3y)^4 = 1·(2x)4·(3y)0 + 4·(2x)3·(3y)1 + 6·(2x)2·(3y)2 + 4·(2x)1·(3y)3 + 1·(2x)0·(3y)4化简计算，得到最终的展开式：(2x + 3y)^4 = 16x^4 + 96x^3y + 216x2y2 + 216xy^3 + 81y^4通过计算，我们得到了(2x + 3y)^4的展开式，可以使用这个展开式计算很多复杂表达式的值。
二项式展开式系数最大值求法
二项式展开式系数最大值求法嘿，朋友们，今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题：二项式展开式系数最大值的求法。
听起来可能有点高深，其实呢，咱们把它简单化，就像喝水一样容易。
你知道吗，二项式展开就是把形如 ( (a + b)^n ) 的东西，变得更好理解。
想象一下，这就像把一个神秘的盒子打开，里面全是惊喜。
先说说二项式展开的公式，咱们得用到个家伙，叫做“二项式定理”。
它说的是，如果你把 ( (a + b)^n ) 展开，里面的每一项都可以用组合数来表示。
简单来说，就是每一项的系数是怎么来的。
就像你做饭，得把材料按比例加进去，才能做出好吃的菜。
这个组合数就像你的配料，帮助你搞定最终的结果。
嘿，别急，咱们再往深了说。
这个组合数 ( C(n, k) ) 就是个关键。
它表示从 ( n ) 个物品中选出 ( k ) 个的方式有多少种。
看上去很复杂，实际上就像是在选择你最喜欢的零食，选择的方式有很多种。
对于 ( (a + b)^n )，系数最大值出现在中间的地方。
就像一块蛋糕，越往中间切越好吃。
说到这个系数最大值，咱们得引入个小伙伴，叫做“对称性”。
它告诉咱们，当 ( k ) 等于 ( n/2 ) 的时候，系数往往最大。
就像打麻将，大家都想和牌，正中间的那几张牌最容易赢。
咱们也可以利用这个规律，直接找出系数最大的位置。
可不就是那种“坐稳了，别动”的感觉嘛。
哦，对了，还有个小窍门。
咱们可以通过比较相邻的系数来找最大值。
就像在比赛中，咱们看谁的成绩比谁高，系数比较完，最大的那个自然就浮出水面。
简单吧？直接计算几个就知道了，没什么复杂的操作。
想象一下，就像看世界杯一样，哪个球队表现好，哪个就能夺冠。
来，咱们用个实际的例子来看看。
假设你有 ( (x + y)^6 )，咱们先把它展开。
你会得到的项是 ( C(6, 0)x^6y^0 + C(6, 1)x^5y^1 + C(6, 2)x^4y^2 + C(6, 3)x^3y^3 + C(6,4)x^2y^4 + C(6, 5)x^1y^5 + C(6, 6)x^0y^6 )。
二项式定理--展开式
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
(a+b)4= a4 + 4a4b+6a2b2 +4ab3 + b4
14641
(a+b)5= a5 +5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1
十三世纪的阿拉伯人就已经发现了： 从第二行起，每行除两端的1以外的 每一个数都等于它肩上的两个数的和
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求二项式展开后的某项一、基础知识：1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()n a b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。
对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。
所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。
而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。
例如：()521x +展开式中第三项为()3223521T C x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()3223352180T C x x =⋅⋅= 化简后的结果80为该项的系数（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。
例如()51x + 展开式的第三项为 ()322351T C x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为103、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如212,5x x就是有理项，就不是有理项。
4、()na b +与()na b -的联系：首先观察他们的通项公式：()n a b +：1r n r r r n T C a b -+= ()n a b -：()()'11r rr n r r n r r r n n T C a b C a b --+=-=-两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。
其绝对值相等。
所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题5、二项式系数的最大值：在01,,,n n n n C C C 中，数值最大的位于这列数的中间位置。
若n 为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如5n =时，最大项为2355C C =，若n 为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如6n =时，最大项为36C证明：在01,,,n n n n C C C 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为rn C ，则有()()()()()()11!!11!!1!1!1!!11!!11!1!r r n n r r n n n n r n r r n r C C r n r n n C C r n r n r r r n r -+⎧⎧≥≥⎪----⎡⎤⎪⎧≥⎪⎪⎣⎦⎪+-⇒⇒⎨⎨⎨≥⎪⎩⎪⎪≥≥⎪⎪--+⎩+-+⎡⎤⎣⎦⎩ 所以解得：1212n r n r +⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩即1122n n r -+≤≤ 所以当n 为奇数时（21n k =-），不等式变为1k r k -≤≤，即1r k =-或r k =为中间项当n 为偶数时（2n k =），不等式变为11+22k r k -≤≤，即r k =为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计算所得，大致分为两种情况：()__n+型：不妨设项1r T +的系数为1r P + ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要比相邻项大，所以有112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩，再根据通项公式代入解不等式即可()__n-型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。
即1113r r r r P P P P +-++≥⎧⎨≥⎩，在运算上较为复杂；一种是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为()__n+的最大值问题，然后在考虑符号确定系数最大值。
例1：二项式82x ⎛- ⎝展开式中的常数项是_________方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 的值再代入计算即可解：()88118331881122rrrr rr r rr x T C x C xx-----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭依题意可得：18063r r r --=⇒=∴ 常数项为()266781172T C ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭方法二：思路：对82x ⎛- ⎝中的8个2x ⎛- ⎝因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出2x，六个式子出-所以常数项为：622872x C ⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝答案：7小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出r 的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案，将其作为一个组合问题求解。
例2：在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是____________ 思路一：考虑二项展开的通项公式：()()()626211231666rrr r r r r r r T C x x C x C x -----+===由所求可得：12333r r -=⇒= 3334620T C x x ∴==思路二：可将其视为6个因式出项的问题，若要凑成3x ，需要3个2x ，3个1x所以该项为：()333236120C x x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭答案：20小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式，结合条件求出r 的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。
例3：若二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第四项等于7，则x 的值是____________思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：7171r rrr T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，第四项中3r =，3344717T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得：15x =- 答案：15x =-例4：已知91x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为212-，则实数a 的值为__________思路：先利用通项公式求出3x 的项，在利用系数的条件求出a 的值即可 解：99219911r rrrr rr T C xC x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9233r r ∴-=⇒= 3333493184T C x x a a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭3842122a a ∴=-⇒=- 答案：2a =-例5：已知二项式2()n x x+的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定n 的取值，先利用二项式系数和求出n ：216n =即4n =，再求42()x x+展开式的常数项为2224224C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭答案：24例6：()()5211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数为___________思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以()21x x ++为例） 1：()21x x ++出1，则()51x -出4x ，该项为：()4445115C x x ⋅⋅⋅-=2：()21x x ++出x ，则()51x -出3x ，该项为：()33245110x C x x ⋅⋅⋅-=-3：()21x x ++出2x ，则()51x -出2x ，该项为：()222345110x C x x ⋅⋅⋅-=综上所述：合并后的4x 项的系数为5例7：()1021x x -+ 展开式中3x 项的系数为（ ）A. 210-B. 210C. 30D. 30-思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：（1）：1个2x ，1个()x -，8个1，所得项为：()1218831098190C x C x C x ⋅-⋅=- （2）：3个()x -，7个1，所得项为：()337731071120C x C x -⋅=-所以3x 项的系数为210-答案：A例8：二项式24展开式中，有理项的项数共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 7思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手：242411364242424rrr r r C x x C x---⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,,24r =，r 的取值只需要让364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项 小炼有话说：在整理通项公式时可将x 的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。
例9：二项式()821x +展开式中系数最大的项为___________思路：考虑()821x +展开式的通项公式为88182r r r r T C x --+=，其系数设为1r P +，即818=2r r r P C -+，若要1r P +最大，则首先要大于相邻项，即112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩ ，代入解得r 的范围即可确定出r 的值，从而求出该项 解：()888188212rr r r r r r T C x C x ---+=⋅= 设1r T +项的系数为818=2r r r P C -+若1r P +最大，则()()81818818+18+112882222r r rr r r r r r r r r C C P P P P C C ----+--++⎧≥≥⎧⎪⇒⎨⎨≥≥⎩⎪⎩ ()()()()()()89878!8!1222!8!1!9!98!8!2122!8!1!7!81r r r rr r r r r rr r r r r r ----⎧⎧≥≥⎪⎪---⎪⎪-∴⇒⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪-+--+⎩⎩解得：23r ≤≤ 2r ∴=或3r =∴经检验：系数最大的项为5341792T T x ==答案：51792x例10：已知()()210901210019,g x a a x a x a xhxbb x bx =++++=+++，若()()()()()19101121x x x g x h x +-=-+，则9a =（ ）A. 0B. 19102⨯C. 18102-⨯D.1832-⨯思路：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在()()101x g x -中，与9a 相关的最高次项为19x ，故以此为突破口求9a ，等式左边19x 的系数为()()1918181922C -+-，而右边19x 的系数为()99910101a a C +⋅-，所以()()()919189189101019122a a C C +⋅-=-+-，只需再求出10a 即可，同样选取含10a 的最高次项，即20x ，左边20x 的系数为()192-，右边20x 的系数为10a ，所以()19102a =-。