超详细的.二项式展开式性质
二项式展开定理
二项式展开定理
二项式展开定理是数学中一个重要的定理，它用来描述多项式的
标准形式，也就是（x + y）n的展开式。
尽管它只有简单的几个步骤，却提供了彩虹三角形群和组合数学的基础，并帮助我们解决一些较复
杂的问题。
在初步了解了二项式展开定理之后，我们来看一下它的原理。
二项式展开定理的基本形式指，（x + y）n的展开式是对于一个整数n（1≤?n?≤∞），展开式定义为：
(x + y)^n =x^n + C_n^1*x^(n-1) * y + C_n^2*x^(n-2) * y^2 + … + C_n^(n-1)*x*y^(n-1)+ y^n
其中，C_n^1为二项式系数：
C_n^1 = n!/[(n-1)! * 1!]
C_n^2 = n!/[(n-2)! * 2!]
C_n^3 = n!/[(n-3)! * 3!]
依此类推
也就是说，在同一次多项式乘积中，x和y各出现n次，可形成
n+1个不同的项，且每一项的系数都是经过精心的计算确定的最优解。
例如，
（x + y）3=x3+3x2y+3xy2+y3，其中系数3、3、3和1分别对应
了C_n^1、C_n^2、C_n^3和C_n^4
由此可知，二项式展开定理有助于快速计算出多项式乘积中各项
的系数，而不需要再把多项式拆解成若干个二次方程。
此外，将展开
式中两边乘以特定因子，在交换系数前后比较，可用来进行数学归纳
过程，有助于证明一般性数学定理，这在高数课程中会有所帮助。
总之，二项式展开定理是数学中一个重要的定理，它在求解多项
式乘积中拓宽了解决方案，帮助我们更加高效地解决数学问题。
计算二项式展开式
计算二项式展开式二项式展开式是指将一个二项式表达式按照一定的规律进行展开的过程。
它在代数中具有重要的应用，可以帮助解决各类数学问题。
本文将详细介绍在计算二项式展开式过程中需要注意的步骤和技巧。
二项式的一般形式为(a+b)^n，其中a和b为实数，n为非负整数。
在计算二项式展开式时，可以利用二项式定理进行求解。
一、二项式定理二项式定理是指(a+b)^n的展开式可以写成一系列项的和，每一项由组合数C(n,k)和幂的积组成，表达式如下：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、计算步骤计算二项式展开式的一般步骤如下：1. 根据给定的二项式表达式(a+b)^n，确定n的值和需要计算的展开项数。
2. 依次计算每一项的系数，并将其与对应的幂相乘。
3. 按照展开项的次数降序排列各项，得到最终的展开式。
三、实例演示以展开式(2x+3y)^4为例，演示计算步骤：1. 根据二项式表达式，确定n的值为4，需要计算的展开项数为5（包括次数为0的项）。
2. 分别计算各项的系数和幂的乘积，得到展开式的各项：- 第一项：C(4,0) * (2x)^4 * (3y)^0 = 1 * 16x^4 * 1 = 16x^4- 第二项：C(4,1) * (2x)^3 * (3y)^1 = 4 * 8x^3 * 3y = 96x^3y- 第三项：C(4,2) * (2x)^2 * (3y)^2 = 6 * 4x^2 * 9y^2 = 216x^2y^2 - 第四项：C(4,3) * (2x)^1 * (3y)^3 = 4 * 2x * 27y^3 = 216xy^3- 第五项：C(4,4) * (2x)^0 * (3y)^4 = 1 * 1 * 81y^4 = 81y^43. 按照展开项的次数降序排列各项，得到最终的展开式：(2x+3y)^4 = 16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4四、注意事项在计算二项式展开式时，需要注意以下几点：1. 确认二项式的形式，确定n值和需要计算的展开项数。
高二数学二项式展开式的性质
例 4 .求 1x61x4展开x3 项 式的 中 . 系 含数
分1:析 运用二项1式 x6与 定 1x理 4展分 ,再 开别 把将 乘, 积
将所 x3系 有数 的相 . 加即可
1 x 6 1 x 4 1 c 6 1 x c 6 2 x 2 c 6 6 x 6 1 c 1 4 x c 4 2 x 2 c 1 4 x 3 c 4 4 x 4
例如 f(x)(ab)nx C n 0anC n 1an 1 b x C n 2an 2 b2x2 C n ran r(b)rx C n nbnxn
a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n
(1)求展开式：
例1.求(1 2x)8的展开式
例 2 .若 1 2 C n 1 2 2 C n 2 2 n C n n 21 求 n 87
(3)证明恒等式
例 1 . 求 : C 1 n 2 C n 2 证 3 C n 3 n C n n n 2 n 1
(4)求近似问题
例1求 . 近似 (精值确0到 .00:1) (1)(.1.005 3)(2). (0.999)88
▲ (ab)n题型【方法】:利用通项与分解因式列表法
含 x3项的 : c系 4 3c6 1c数 4 2c6 2c为 1 4c6 3 8
分析2：
1x61x41x241x2,这里 x3项 含只有一 : 种 1x24含 x2的项 x与 12含 x的项,相 这乘 样可简化 .
含 x3项的系 :c1 4数 c1 2为 8
例1.在( x 1 )100的展开式中有多少项是有理项. 3x
例2.在(1 - x3 )(1 x)10的展开式中求 x5的系数
例3.在(x 2 3 x 2)5的展开式中 x的系数 (240)
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
二项式性质及应用
二项式性质及应用二项式是代数学中常见的一个概念，它是由两项代数式（一般是两个变量的和或差）构成的式子。
在数学上，二项式具有许多重要的性质和应用。
首先，二项式的展开式有着特殊的形式，称为二项式定理。
二项式定理的表述如下：对于任意实数a和b以及自然数n，有(x+y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,k) *x^(n-k) * y^k + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
例如C(5,2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数，计算结果为10。
二项式定理可以通过排列组合中的思想进行证明，它能够将一个复杂的二项式展开式转化为多个简单的幂次项相乘的形式。
二项式定理的一个重要应用是多项式的展开。
将一个多项式展开成二项式的形式，不仅可以简化计算过程，还可以方便地求取多项式的系数。
例如，如果要计算(x+y)^4的展开式，可以直接使用二项式定理展开，得到(x+y)^4 = C(4,0) * x^4 * y^0 + C(4,1) * x^3 * y^1 + C(4,2) * x^2 * y^2 + C(4,3) * x^1 * y^3 + C(4,4) * x^0 * y^4= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4通过展开式，可以快速得到多项式的各个项的系数，从而进行进一步的计算或分析。
其次，二项式性质使得它在概率论和统计学中有着广泛的应用。
在概率论中，二项式分布描述了一系列独立重复实验的结果，每次实验只有两种可能的结果（成功或失败）。
二项式分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中X为成功的次数，n为实验的总次数，p为每次实验成功的概率，q为每次实验失败的概率。
二项式分布可以应用于各种实际问题，如投掷硬币、游戏中的输赢情况等。
二项定理展开式
二项定理展开式二项定理，又称二项式定理，是组合数学中的一条重要定理，也是高中数学和大学数学中常见的内容之一。
它是指任何一个形如(a+b)^n的二项式的展开式都可以用组合数学中的二项系数来表示。
二项定理的表达式为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n其中，^表示指数运算，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项定理的展开式给出了一个二项式的多项式展开形式，其中每一项的系数即为组合数。
它可以用于解决概率问题、组合问题、代数问题等许多数学问题，因此具有广泛的应用价值。
首先，二项定理的展开式可以用于计算二项式的值。
通过二项定理，我们可以不需要手工计算每个二项式的值，而是通过组合数直接计算得出结果。
这在实际计算中能够极大地简化问题，提高计算效率。
其次，二项定理的展开式可以用于求解排列组合问题。
例如，在概率论中，我们常常需要求解从n个元素中选取k个元素的组合数。
这时，我们可以利用二项式定理，将问题转化为一个二项式的展开式，从而直接计算得到所需组合数，避免了逐个枚举的繁琐计算。
同时，二项定理的展开式还可以用于解决代数问题。
通过展开二项式，我们可以得到多项式的展开形式，从而进一步进行多项式的运算、因式分解等操作。
这在代数学中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和应用多项式。
除此之外，二项定理的展开式也涉及到了数学中的一些重要概念和性质。
例如，展开式中每一项的系数恰好对应了组合数的性质，体现了组合数学的重要性；同时，展开式中的各项次数也具有一定的规律性，反映了二项式的特点。
综上所述，二项定理展开式是一条生动、全面且具有指导意义的数学定理。
通过它，我们可以更好地理解二项式、组合数和多项式，同时也能够解决许多实际问题。
二项式展开式系数的性质
(C ) C .
n 2 n n 2n
n 证明：从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2 n。
又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法 也可按以下分类进行：
甲组 0个 1个 2个 n个
乙组 n个 n 1 个 n2个 0个
取法数
0 n Cn Cn 1 n 1 Cn Cn 2 n2 Cn Cn
令a 1, b 1, 则0 C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
0 2 2r 3 2 r 1 n 1 Cn Cn Cn C1 C C 2 n n n
性质4：
4. ( x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小 n n 当 n 为偶数时，中间项为第 1 项，二项式系数 Cn2 最大； 2
2 n 4 n 6 n n
n n n n 证明： 2 cos i sin ( 2) cos i( 2) sin 4 4 4 4
2 2 n 又 2 cos i sin 2 i (1 i ) 4 4 2 2
n 0 Cn Cn
0 n 1 n1 2 n 2 由加法原理，Cn Cn Cn Cn Cn Cn
n 0 n Cn Cn C2 n，
0 2 1 2 2 2 即 (Cn ) (Cn ) (Cn )
n 2 n (Cn ) C2 n .
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证： 1 1 1 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! 1 2n1 (n 1)!1! n!
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
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（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等． （2）增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
1 3 4 1 4 ) 1 C ( ) C ( ) C ( ) C4 ( ) x x x x x r 二项式系数： n 4 6 4 1 C 1 2 3 4 . 项的系数：该项所有常数因子的积. x x x x
解: 1 （
１4 例１：求（１＋ ) 的展开式 x 1 1 1
4 1 4 2 4
2
3 4
例２：2 x (
1 x
) 展开式中第 3项的二式系项数
6 5 4 2 1 ) 2 x 240 x 2 x x
2
6
及第3项的系数
T3 T21
2 C6 (2
x ) (
4
1
2 第三项的二项式系数为 C6 15
，第三项的系数为240.
解:
x 3 9 ( ) 的展开式常数项 例３： 3 x 1
二项式定理：
*
理 特 征
右边的多项式叫做的
(a b)n 展开式
1.二项式系数规律：
0 1 2 n Cn、Cn、Cn、 、Cn
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.通项公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
练习：
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 1、求 ( 3 x
x 9 4 T5 T41 C ( ) ( 3 5 x 9 5 T6 T51 C9 ( ) ( 3 2
4 9
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
3 4 3 ) 42 x x 3 3 5 ) 42 x 2 x
考察在 n=1, 2, 3, 4 时，(a+b) n 的展开式的系数规律.
我国古代优秀成果介绍：
(a+b)1= (a+b)2= (a+b)3= (a+b)4=
a+b , a2+2ab+b2 , a3+3a2b+3ab2+b3 , a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 1
列出上述各展开式的系数： 规律: (1)表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和.
二项式定理
b) 对于（a+b）n = (a b )(a b ) (a
的展开式有哪些项？
n个
二项式定理
(a+b)n bn
=C a +C
0 n n
1 n-1 na b+
C
2 n-2 2 r n-r r n a b +…＋ n b +…+ n a n
C
C
右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式, 它一共有 n+1 项. 其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项, 记作 Tr+1 即
2.已知（ x
系数与第３项的二项式系数之比是：１４：３， 求展开式中的第４项
) n 的展开式中，第５项的二项式 2 x
二项式系数的性质
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
特值思想、不可忽视
二项式定理对任意的数a、b都成
立，当然对特殊的a、b也成立！
r 9
1 9 3 变式：求（ x 2 ) 展开式中含 x 的项 x
通项公式： Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
9 r r x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2 6 1 96 6 T7 C9 ( ) 3 2268 3
Tr+1= Cnr an(1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n (2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系. 试一试：写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。
总 结
(n N ) 定 (a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnr a nr br Cnnbn
1 1
1
1 1 3
2
3
1
1
试一试：你能根据杨 辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗？
4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角形
(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(1 x ) C C x C x C x ;
n 0 n 1 n r n r n n n 0 1 r n (1 1)n Cn Cn Cn Cn ; 0 1 r n (1 x )n Cn Cn x (1)r C n x r (1)n C n x n ;
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
例１：已知（１＋x)n展开式中x2 的系数等于 x的系数的３倍，求二项式系数最大的项
解:
例2：已知（１－２x)n展开式中二项式系数和 及所有项的系数之和
解:
变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，
求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和 （2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值 （3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6
二项式系数的性质
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等． （2）增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数