二项式系数的性质及应用1
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
6.3.2 二项式系数的性质课件【高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册】
(r 1≤)！(11,5即 r 1)！≤1,
r
315！
3(15 r 1)
解得r≤12,同理,由 C≥1r531r,解得r≥11,所r！以(15展 r开)！式中系数最大的项对应的
C 3 r1 r1 15
r=11,12,即展开式中系数最大的项是T12=C1115 (3x)11和T13=C1125 (3x)12.
…(+2a101))10 ( 2 1)10
=
=1.
答案:720 1
角度2 展开式中的最大项问题 【典例】1.(2020·随州高二检测)在 (x 1 )n 的展开式中,只有第5项的二项
x
式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 2.已知(1+3x)n的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求: (1)展开式中二项式系数最大的项. (2)展开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)
4.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________. 【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8= C180·22=180. 答案:180
类型一 二项式系数性质的应用 【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+ x )n(n∈N+)的展开式中,各二项式系 数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为( ) A.40 B.30 C.20 D.10 2.已知在 ( x 2 )n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(2)
Cr1 n
,
Crn
,
Crn
1
之间有什么关系?
二项式系数的性质及应用
（1）二项式系数的和； （2）各项系数之和； （3）奇数项的二项式系数之和；
偶数项的二项式系数之和； （4）奇数项的系数之和；偶数项的系数之和.
例2、已知：
（1 x）（1 x）2 （1 x）n a0 a1x a2 x2 an xn
求： a1 a2 an 的值.
例3、已知 1 2x 3x2 7 a0 a1x a2x2
a13x13 a14 x14. （1）求a0 a1 a2 a14； （2）求a0 a2 a4 a14； （3）求a1 a3 a5 a13.
例4、已知（1 x）（ 3 2x）9 a（0 x 1）14 a（1 x 1）13 a1（3 x 1） a14.
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
说明1、这就是说（，a b）n
的展开式的各二项式系数之和等于 2n
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
2、同时，由于
C
0 n
1 ，上式还可以写成
Cn1 Cn2 Cnn 2n 1
3、这是组合数公式，表示在n不同元素中，每次 取1个、2个、3个、…、n个元素的所有组合数之 和。
练习
1、在（x 1）11的展开式中，求系数最小项的系数？
变式：把（x 1）11改成（2x 1）11 ，结果又如何？
2、求（2x 3y）28 的展开式中系数最大的是第几项？
解：设展开式中系数最大的项为第r+1项，则
C
r 28
228 r
3r
＞C
r 1 28
229 r
3r 1
C
r 28
二项式系数的性质及应用(1)
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
例.用二项式定理证明：99100 1能被1000整除.
跟踪训练：求9192 被100除所得的余数.
跟踪训练：求9192 被100除所得的余数.
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
r
当堂检测：
1.若 (x 2)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 __________. 2.已知 (1 kx2 )6 （ k 是正整数）的展开式中， x8 的系数小于 120， 则 k ______.
当堂检测：
1.若 (x 2)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 __________. 2.已知 (1 kx2 )6 （ k 是正整数）的展开式中， x8 的系数小于 120， 则 k ______.
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式展开式系数的性质
π π nπ nπ n n 证明： 2 cos + i sin = ( 2) cos + i ( 2) sin 4 4 4 4
n
①
π π 2 2 n +i 又 2 cos + i sin = 2 = (1 + i ) 4 4 2 2
n
n
1 2 3 4 5 6 7 = 1 + Cn i Cn Cn i + Cn + Cn i Cn Cn i +L
= (1 C + C C + L) + i (C C + C C + L) ②
2 n 4 n 6 n 1 n 3 n 5 n 7 n
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
4
6 10
6
8 10
8
10 10
10
105 5 ∴第 5 项系数最大，即 x3 。 8
2. (1) 求 (1 + 2 x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2 x) 展开式中系数最大的项。
7
C7k 2k ≥ C7k 1 2k 1 13 16 ≤k≤ k =5 解： k k (1) k +1 k +1 3 3 C7 2 ≥ C7 2
1 10! 1 10! k !(10 k )! 2k ≥ (k + 1)!(9 k )! 2k +1 1 10! 1 10! k ≥ k 1 k !(10 k )! 2 (k 1)!(11 k )! 2
k +1 1 10 k ≥ 2 8 11 ≤k≤ k =3 3 3 11 k ≥ 2 k
二项式展开式系数 的性质
二项式定理的数值计算与应用
二项式定理的数值计算与应用二项式定理是代数学中的一条重要定理，描述了二项式的幂的展开形式。
它在数值计算和实际应用中具有广泛的应用。
本文将探讨二项式定理的数值计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、二项式定理的数值计算二项式定理的一般形式为：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,n-1)* x^1 * y^(n-1) + C(n,n) * x^0 * y^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
在实际计算中，当n较大时，直接展开计算会导致复杂的运算和较长的计算时间。
为了节省计算资源，我们可以利用二项式定理的性质进行数值计算。
首先，我们可以利用组合数的性质，C(n,k) = C(n, n-k)。
这个性质可以帮助我们化简计算过程。
其次，我们可以使用递推公式，C(n,k) =C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，来计算组合数，从而减少计算量。
例如，我们要计算 (2 + 3)^5 的展开式。
根据二项式定理，展开式为：C(5,0) * 2^5 * 3^0 + C(5,1) * 2^4 * 3^1 + C(5,2) * 2^3 * 3^2 + C(5,3) * 2^2 * 3^3 + C(5,4) * 2^1 * 3^4 + C(5,5) * 2^0 * 3^5通过利用组合数的性质和递推公式，我们可以得到：1 * 2^5 * 3^0 + 5 * 2^4 * 3^1 + 10 * 2^3 * 3^2 + 10 * 2^2 * 3^3 + 5 *2^1 * 3^4 + 1 * 2^0 * 3^5进一步计算，得到最终结果：1 * 32 * 1 + 5 * 16 *3 + 10 * 8 * 9 + 10 *4 * 27 +5 * 2 * 81 + 1 * 1 * 243= 32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243= 3125因此，(2 + 3)^5 = 3125。
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n1
方法(1):倒序相加； 方法(2):运用重要结论：
1 n 2 n 3 n
kC nC
k n
n1
k 1 n 1
n n
变：C 2C 4C 2 C
典型例题
3、求证:对一切正整数n,都有:
1 n 1 1 1 0 1 1 2 r n (1 ) Cn Cn Cn 2 Cn r Cn n n n n n n 1 1 1 11 1 2 2 3 n( n 1) 1 3 n 1 n(n 1)(n 2)(n r 1) 1 1 r Cn r (r 2) r n r ! n r ! r (r 1)
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相数. )
1 n 9.如果 ( x 3 ) 的展开式中,只有第6项的系数最大, x
3
那么常数项是( ) A.462 B.252
……
0 2
C10
C0
1 C2
C
1 1
(a+b)n的展开式的二项式系数:
C , C , , C , , C
0 n 1 n r n
从函数角度看, C {0,1,2,…，n} f(r),其定义域为 是 n+1 个孤立的点.
r n 可以看成是以r为自变量的函数
n n
,其图象
二项式系数的哪些性质： (1)对称性： C
5 1 5 15 35
6 1 6 21 56
7 1 7 28
8 1 8 36
9 1 9
10
1
70 126
56 126 85
一 一 一 84 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十 二 十 六 一 五 十 五 杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
m n
C
n
nm n
(2)每行两端都是1，除1以外的每个数都等于“肩” m m1 m 上两数之和.即: C C C
n n1
n
(3)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
(4)增减性与最大值： r r 1 r n 1 n 1 时, Cn 当r 时, Cn Cn ; 当 r 2 2 n ①当n为偶数时, ②当n为奇数时,
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,…时, (a+b)n展开式的二项式系数,写 出n=6时的二项式系数.
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b)1 ------------------------- 1 1 (a+b)2 ------------------------ 1 2 1 (a+b)3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b)4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b)5 -------------- 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
C.210
D.10
巩固练习
10.设 (2 (1)求a0;
x a100 x
2
100
a2 a3 a100 ; (3)求 a1 a3 a5 a99 ; 2 2 (4)求 (a0 a2 a4 a100 ) (a1 a3 a5 a99 )
巩固练习
5、(x-2)9的展开式中,各二项式系数的最大值是____, 它是展开式中的第_____项.
6、(2a-3b)n的展开式中,二项式系数最大的是第8项和 第9项,则它的第4项的系数是________. 7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
C
r 1 n ;
Cn2
C 、C
C
r n
n 1 2 n
最大;
n 1 2 最大; n
先增后减,在中间取得最大值.
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
4 1 4 10 20 35
各项的二项式系数可以排成如图形状 : 0 你能得到二项式系数的 哪些性质?
C 22 0 1 3 2 C 3 C3 C 3 C 3 4 1 0 2 3 C C4 C4 C4 C4 4 5 1 2 3 4 0 C 5 C5 C 5 C 5 C 5 C 5 1 C 60 C 6 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 C
1 n 2 (1 ) 3 n
综合练习
1、915÷10的余数是_______; 2、今天是星期六,今天后的第100100天是星期_____. 3、二项式(x-2)9的展开式中各项系数之和为( A.512 B.-1 C.1 D.-10 )
4、(2x-y)5的展开式中各项系数和是________.展 开式中二项式系数和是_______.
(2)求 a1 (5)求 | a1 | | a2
| | a3 | | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为A,偶数项之和为B, 则(1-x2)n的展开式的各项和为___________.
8.(1+x+1/x)7展开式中的常数项为________.
9.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
典型例题
1、求证：在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和.
C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 2 2、求证：Cn 2Cn
n1
3C nC n 2
3 n n n