二项式系数性质及应用.ppt
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二项式系数的性质课件
[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋
二项式系数的性质(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第三册)
21
7
1.
复习巩固：
1. 二项式定理：
(a b)n C n0 a n C n1a n1b C n2a n 2b 2 C nk a n k b k C nnb n . n N* .
2. 通项公式：
Tk 1 C nk a n k b k .
1
7
28
84
210
1
8
36
120
1
9
45
1
10
1
4. 若一个集合含有n个元素,则这个集合共有多少个子集？
解：若子集元素个数为0 时,子集有C n0个；
若子集元素个数为1 时,子集有C n1个；
若子集元素个数为2 时,子集有Cn2个；
若子集元素个数为n 时,子集有C nn个.
∴这个集合共有C n0 C n1 C n2 C nn 2n 个子集 .
得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)
＝(－3)n.
即：B－A＝(－3)n.
∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数性质可得：
C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝2n－C0n＝28－1＝255.
小结：
随堂检测
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(
A．n，n＋1
C．n＋1，n＋2
解析
2n＋1
B．n－1，n
D．n＋2，n＋3
2n＋1－1
为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第
＋1
二项式性质课件
展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
5.4.2 二项式系数的性质 教学课件(38张PPT) 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
（2）将三项式视为二项式，利用二项式定理逐次展开，不同的分组方式展开过
程中的运算繁简也不相同，要注意结合三项式中各项的特征合理分组，以简化运
算．如求 x
1
n
2 的展开式，可视为 x
1
x
x
x2
2x
n
1
x
x 1 2n xn 等．
n
2 ，或 x 2
1 n ，或变形 x
特别地，若三项式可因式分解为两个二项式的乘积，则可分 别利用二项式定理展开，再利用多项式的乘法法则展开．
等．
（2）在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它"肩上"两个数的和（由组
合数的性质:
C
k n
1
Ckn 1
Ckn 即得）；当二项式的次数不大时，可借助杨辉三角直
接写出各项的二项式系数.
二项式系数的性质
(1）各二项式系数的和
①在二项式定理中，令 a=b=1，则有 2n
C0n
C1n
C
2 n
展开式中各项的二项式系数之和为 2"．即 C0n C1n C2n
，
又当
r
12
时，
C12 24
取最大值，
则系数最大的项是第
二项式系数的性质及应用-PPT课件
r
n
2
1
时，
C r1 n
Cnr
(4) Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
(5)在 (a b)n 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
式系数的和.
(6)当 n 为偶数时，Cn0 Cn2 ... Cnn 2n1
2
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
3
跟踪训练：
已知 (1 2x 3x2 )7 a0 a1x a2 x2 ... a13x13 a14 x14 ，求： (1) a0 a1 a2 ... a14 (2) a1 a3 a5 ... a13
4
考点二： (a b)n 展开式的二项式系数的最大值 例.在 (1 2x)10 的展开式中.
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
1
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
10
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
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2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn
Cnm n
得到．
图象的对称轴： r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于：Ckn
n(n
1)(n 2) (n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
nk 1
所以C
k n
相对于C
作业： 1.课本 P35 习题 2.课课练 第11课时
2，5，7
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
C1909071
C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期六
练习：课本 P35 练习 1--5
小结
1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有三条性质，要理解和掌握;
2.要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆;只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项; 3.尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解 决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
11 121 13 31
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
(a b)4
14 6 41
C40C41C42C43C44
(a b)5
(a b)6
……
(a b)n
1 5 10 10 5 1
C50C51C52C53C54C55
1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
r n1Cnn
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r),
其定义域是：0,1,2, , n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
0 n
1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
二项式系数的性质
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1, Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（对称性）
（2）
Cnm
C m1 n
Cm n1
（3）当r 当r
n 1 n21
2
时， 时，
最大的项和系数最大的项。
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不含
x的项等于(
)
A.210
B.120
C.461
D.416
赋值法
例4 已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 , 则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________ (4) a0-a1+a2-a3 +… -a7 =______
Cnr Cnr
1
C r1 n
Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
例1 证明在(a b)n的展开式中，奇
数项的二项式系数的和等于偶数项的二
项式系数的和．
例2 用二项式定理证明：
9910 1能被1000整除。
例3 (1 2x)n 的展开式中第6项与第7
项的系数相等，求展开式中二项式系数
1.5.2 二项式系数的 性质及应用
一.复习回顾 1.(a+b)n的二项展开式是_________.
2.通项公式是 _T_r_+1__=__C__rn_a__n-_r_b_r.
3.第r+1项的二项式系数是什么？
二、新课
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
L
C
r n
a
nr
br
L
Cnnbn
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？ 共有多少个？
下面我们来研究二项式系数的有关性质。 我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有 什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3
变式：若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例5、今天是星期五，那么 8100 天后的这
一天是星期几？
那么31000 天后
8100 （7 1）100
是星期几？
C10007100 C1100799 C1r007100r
系数
C
2 n
取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n1
n1
C
2 n
、
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
k n
1的增减情况由
决定．
k
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由： n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当 k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的。
由对称性可知：它的后半部分是逐渐减小的； 且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n