二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理中展开式系数的六类题型
求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()(*∈+N n b a n 型
例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ）
（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210
解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展
开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。

例2．8)1
(x x -展开式中5x 的系数为 。

解析：通项公式r r
r r r r
r x C x x C T 2388881)1()1
(--+-=-= ，由题意得52
38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()(*
∈+±+N m n d c b a m n 型
例3．843)1()2(x
x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x
-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x
-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x
+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）
(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10
解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。

评注：求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、
),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。

解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617
)2(-C 和437)2(-C ，故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617
)2(-C +437)2(-C =1008。

例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）
（A ）14- （B ）14 （C ）28-
（D ） 28
略解：8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和58C ,故()()811x x -+ 展开式中5x 的系数为458814C C -=,故选B 。

评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()(*∈++N n c b a n 型
例7．5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项为 . 解法一：5)212(++x x =5
2)12(⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x ，通项公式521512()2k k k k x T C x -+=+, 51()2k x x
-+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=52552r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ，则52=+r k ，可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。

当2,1==r k 时，得展开式中项为11
2225422C C -=；
当1,3==r k 时,
，得展开式中项为311522C C -=
当0,5==r k
时，得展开式中项为55C =。

综上，5)212(++x
x
的展开式中整理后的常数项为22+=。

解法二：5)212(++x x =52)2222(x x x ++=[]552)2()2(x x +=510)
2()2(x x +，对于二项式10)2(+x 中，r r r r x C T )2(10101-+=，要得到常数项需510=-r ，即5=r 。

所以，常数项为22632
)2(55510=⋅C 。

解法三：5)212(++x x 是5
个三项式1(2x x
+相乘。

常数项的产生有三种情况：在5
个相乘的三项式1(2x x +中，从其中一个取2
x ，从另外4个三项式中选一个取1x
，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可
得113354312C C C ⋅⋅⋅⋅=从其中两个取2x ，从另外3个三项式中选两个取1x
，从剩余的1
个三项式中取常数项相乘，可得222531()2C C ⋅⋅=5个相
乘的三项式1(2x x
+
中取常数项相乘，可得555C ⋅
=。

综上，5)212(++x
x 的展开式中整理后的常数项
为22
+=。

评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。

解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。

五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型
例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 。

（用数字作答）
解析：由题意得2x 项的系数为352625242322
=++++C C C C C 。

例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 解析：(1－x )
5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459
(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x
------=-- 5)1(x -中4x 的系数为455C =，9)1(x --中4x 的系数为－49126C =-,－126+5= －121,故选D 。

评注：例8的解法是先求出各展开式中2x 项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x )5，公比为(1－x )的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。

例8和例9的解答方法是求1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤<的展开式中某特定项系数的两种常规方法。

六 、求展开式中若干项系数的和或差
例10．若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，
则_______)()()()(20040302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)
解析：在2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ， 令1=x ，则1)1(200420043210=-=+++++a a a a a
故)()()()(20040302010a a a a a a a a ++++++++
=20030a +200420043210=+++++a a a a a 。

例11．423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2312420)()(a a a a a +-++的值为（ ）
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2
解析：在423401234(2x a a x a x a x a x =++++中，
令1=x ，可得=++++43210a a a a a 4)32(+，
令1-=x ，可得=+-+-43210a a a a a 4)32(-
所以，2312420)()(a a a a a +-++=))((3142031420a a a a a a a a a a --++++++
=))((4321043210a a a a a a a a a a +-+-++++=4)32(+4)32(-=1,故选A 。

评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。

赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。

实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。