二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。
二项式定理赋值法求各项系数的和
二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知(1 一2兀)，=a Q + a{x + a2x2 +••• + fl7x7.求：(1)q + 色 + ・•・ + 吗：(2 ) % + a? +1— + ①；(3) I a。
丨 +1 q I +• • • +1 吗I ・解：(1)肖x = 1时，(l-2x)7 =(1-2)7 =-1,展开式右边为4)+5 + °2 + …+ “7/. a。
+ q + a】+ …+ ①=—1,当X = 0 时t a() = 1 • a x + a2H ----- =— 1 -1 = —2,(2)令兀=1 •4)+4 +“2 +••・ + 心=一1 ①令兀=一],_ q + 6 _ 角 + °4 _ °5 + °6 _ ^7 = 3? ②1 + 3?①一② 得：2(q +角+。
5 +6)= _1_3? ■«! +«3 +«5 +«7 =-———.2(3)由展开式知：a x,a3y a5,a7均为负，a。
,色皿4卫8均为正，•••由(2)中©+<§)得：2(q)+ ① + ① + ©)= 一1 + 3?,一1 + 37：.a0+a2+a4+a6=—-—-I a() I +1 a】I + ・• • +1 a? 1= a。
—ci] + d丁—(厶 + 偽—①+ “6 —°7=(a0 +。
2 + 4 +。
6)-(4 +。
3 + “5 +)= 37例6・设(l + x) + (l + x)2 +(l + X)'+・・・ + (l + X)" = 670+67|X + rt2X2+••• + ©/", 为a{}+a A +a2+••・ + a n = 254时.求n的值.解：令x = \得：勺+厲+①+…+ ①=2 + 22 + 23 + ・..+ 2" =^_^ = 254,2 — 1・•・ 2" =12&w = 7,点评:对于f（x） = a（）（x-ay1 + Q]（x一+・・・ + %,令x —“ = 1,11卩x = d +1可得各项系数的和“° + q +①+…+ ©的值；令x — " = 一1,即X = d — 1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在（2x-3y）10的展开式中，求：①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:閃为二项式系数特抬组合数C爲故在①，③中只需求组合数的和，而与二项式2x-3y中的系数无关.解:设（2x-3y）" =t/o x10+a]x）y + a2x^y2+ …+ （*）»各项系数和即为"o+d] +・・+山（）,奇数项系数和为5+“2+・・・+ 4（），偶数项系数和为I" + 5 + “5 ------- 1-, X的奇次项系数和为© + “3 + “5 -------------- 旳，X的偶次项系数和d（）+ Cly+ “4 "I"10 ・由于（*）是恒等式,故可用“賦值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C^+C：o+…+ C；；=21。
二项式定理及其应用赋值法
1 n
22
Cn2
2nCnn 2187
求：Cn1
C
r n
C
n n
的值
跟踪例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5
(B)x5-1
(C)x5+1
(D)(x-1)5-1
例例22、 设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练一练
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
a0 a1x a2x2 ... a12x12 f (1) a0 a1 a2 a12 44 f (1) a0 a1a2 a3 a12 0
小结
▪ 二项式定理是个恒等式，即对a、b的一切值 都成立，我们可根据具体问题灵活选取a、b 的值，一般取1、-1、0等
复习
1.二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
b
n
(n
妙用赋值法，巧解高考数学二项式问题
妙用赋值法，巧解高考数学二项式问题
离高考已经越来越近，如果把握住这个短暂日子，掌握相应的方式方法，也可以在高考数学方面得到快速提高。
而今天我们就介绍一个巧解高考数学二项式问题的方法--赋值法。
二项式定理是高中相对独立的内容，知识不多，但是解题方法对学生的思维发展、能力的培养和数学素质的提高是十分有益的，下面结合具体的题目，妙用赋值法，巧解二项式问题。
出现，重点考查求二项式展开式中特定项系数，求二项展开式中某指定项或项数，求二项展开式的二项式系数或展开式的系数的性质。
有时也考查两个二项式的积或三项的特定项系数或特定项问题，还有以二项式定理为载体考查数列求和、不等式证明等。
二项式定理求系数
二项式定理求系数二项式定理是代数学中的重要定理，它描述了一个二次多项式的展开式中各项的系数。
在这篇文章中，我们将详细介绍二项式定理以及如何利用该定理求解系数。
一、二项式定理的表达式二项式定理可以用以下表达式表示：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$其中，$n$为非负整数，$C_n^k$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，$a$和$b$为任意实数。
二、二项式定理的求解过程利用二项式定理求解系数的过程如下：1.确定展开式中的幂次。
根据二项式定理，展开式的幂次从0到$n$，其中$n$为给定的非负整数。
2.确定各项的系数。
根据二项式定理的表达式，可以看出展开式中各项的系数由组合数$C_n^k$决定。
$C_n^k$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数，可以用公式$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$计算得出。
3.确定各项的幂指数。
根据二项式定理的表达式，可以看出第$k$项的幂指数为$a^{n-k}b^k$。
4.计算各项的值。
根据确定的系数和幂指数，可以计算出展开式中各项的值。
三、例题分析现在我们通过一个例题来进一步理解二项式定理的求解过程。
例题：将$(a+b)^3$展开。
根据二项式定理，展开式为：$(a+b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3$展开式的各项系数如下：第一项的系数为$C_3^0=1$，幂指数为$a^3b^0=a^3$。
第二项的系数为$C_3^1=3$，幂指数为$a^2b^1=ab$。
第三项的系数为$C_3^2=3$，幂指数为$a^1b^2=a^2b^2$。
第四项的系数为$C_3^3=1$，幂指数为$a^0b^3=b^3$。
因此，展开式为：$(a+b)^3=a^3+3ab+a^2b^2+b^3$四、总结通过以上例题的分析，我们可以看出，二项式定理是求解二次多项式展开式中各项系数的有力工具。
二项式系数的赋值法总结
二项式系数的赋值法总结二项式系数是组合数学中重要的一类系数，表示为 nCm，其中 n 和 m 都是非负整数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合数量。
计算二项式系数是组合数学的基础之一，对于求解概率、排列组合等数学问题有着广泛的应用。
赋值法是一种较为简便的计算二项式系数的方法，其基本思想是将已知的系数作为中间变量进行存储，并通过递推公式求解出目标系数。
以下是二项式系数的赋值法总结及其实现方法。
1. 递推公式二项式系数的递推公式是 nCm = (n-1)C(m-1) + (n-1)Cm，即从n 个元素中选取 m 个元素数量等于从 n-1 个元素中选取 m-1 个元素数量加上从 n-1 个元素中选取 m 个元素数量。
这个公式可以通过组合数学的排列组合知识来证明。
2. 赋值法实现通过递推公式可以得出赋值法的实现思路：先将 nC0 = 1 存储在数组中，然后通过递推公式依次计算 nC1、nC2、...、nCn。
具体实现方法：（1）定义一个大小为（n+1）x（n+1）的二维数组，每个元素初始化为0；（2）将第0列的元素全部赋值为1，即nC0 = 1；（3）根据递推公式，依次计算nC1、nC2、...、nCn，存储在对应位置上；（4）最后数组中第n行第m列即为所求的二项式系数nCm。
3. 时间复杂度和空间复杂度赋值法的时间复杂度和空间复杂度均为 O(n^2)，因为需要计算（n+1）x（n+1）的二维数组，并进行n次递推运算。
总之，赋值法是计算二项式系数的一种简便有效的方法，它既方便了计算，又能够减少计算量，满足现代计算机处理大型数据的需要。
通过掌握赋值法的实现方法，我们可以更好地应用它解决各种与排列组合有关的问题，为数学研究和应用提供有力支持。
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程二项式定理赋值法求各项系数的和例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++L .解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a aa -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例6．设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7n n ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a=+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8．在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.。
二项式定理 二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．知识内容赋值求某些项系数的和与差③注意二项式系数（rn C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rn C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若1()nx x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152典例分析【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例6】 在二项式412nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx -的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin 22sin cos x x x =． ⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk kn k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k n n -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ． 1+B ．1C ．1+D ．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例34】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3。
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二项式定理赋值法求各项系数的和
例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：
（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L .
解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a ++++L
∴0127a a a a ++++L 1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，
（2）令1x =， 0
127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例6． 设()()()()231111n
x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，
当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值
解：令1x =得：
230122222n
n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，
点评：对于
101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例8．在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r
n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),
各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.
②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C Λ,
偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C Λ.
④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ,
令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ (2)
(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为2
5110+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25
110-.
⑤x 的奇次项系数和为25
1109531-=++++a a a a Λ;
x 的偶次项系数和为2
511010420+=++++a a a a Λ. 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一
例7．求证：1231232n n n
n n n C C C nC n -++++=⋅L ． 证（法一）倒序相加：设S =12323n n
n n n C C C nC ++++L ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ②
∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，
由①+②得：()0122n n n n n S n C C C C =++++L ， ∴11222
n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---， ∴ ()1230121112123n n n
n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12
n n -=⋅ 1．设()()()()()591413
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=； ②()953399632+=
2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为
3．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ）
A.0
B.pq
C.22p q +
D.22p q -。