二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲
赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。
二项式定理教学设计教案
●课题二项式定理(二)●教学目标(一)教学知识点1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.“赋值法”.(二)能力训练要求1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的数学素质.2.树立由一般到特殊的意识.●教学重点1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性：∵kn C =k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜21+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21C -n n 或21C +n n .(4)各二项式系数和0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n .2.“赋值法”在解题中的运用.●教学难点与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.●教学方法发现法●教具准备投影片一张.内容：课本P 107图10-9.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师生共同活动］(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…n n C b n .T r +1=r n C a n-r b r .Ⅱ.讲授新课［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.［师］能用我们所学知识解释一下吗？［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C .［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.(打出投影片)［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.同学们看出哪些性质？［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.［师］为什么呢？［生］因为m n C =m n n-C . ［师］还有什么性质？［生］增减性与最大值.当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大；当n 是奇数时, 21C -n n ,21C +n n 相等，且最大.［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }.［师］可以解释上述性质吗？［生］∵kn C =kk k n n n n ⋅-+---)!1()1()2)(1( =1C -k n ·k k n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k nk n ＞1,即kn C ＞1C -k n .当k k n 1+-＜1,即k ＞21+n 时，1C C -k nk n ＜1,即kn C ＜1C -k n . ［师］还有其他性质吗？［生］∵(1+x )n =0C n +1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,当x =1时， 2n =0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .［师］是否还可发现其他性质呢？［生］在(a +b )n 的展开式中，令a =1,b =-1,则可得0=0C n -1C n +2C n -3C n +…=(0C n +2C n +…)-(1C n +3C n +…)，即0C n +2C n +…=1C n +3C n +….也就是说，在(a +b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.［师］下面看怎样应用这些性质.［例1］求(1+2x -3x 2)5的展开式中的x 5项的系数.［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？［生甲］我认为可以将(2x -3x 2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x 5项的系数，最后通过求和得到所求.［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x 5项的系数有些烦琐.［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.［生丙］我注意到括号内的(1+2x -3x 2)恰好可以分解因式为(1-x )(1+3x ),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x 5项的多种情形：x 0·x 5,x 1·x 4,x 2·x 3,x 3·x 2,x 4·x 1,x 5·x 0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.解法一：∵(1+2x -3x 2)5=［1+(2x -3x 2)］5=1+5(2x -3x 2)+10(2x -3x 2)2+10(2x -3x 2)3+5(2x -3x 2)4+(2x -3x 2)5=1+5x (2-3x )+10x 2(2-3x )2+10x 3(2-3x )3+5x 4(2-3x )4+x 5(2-3x )5,∴x 5项的系数为上式各项中含x 5项的系数和，即1023C ·21·(-3)2+514C ·23·(-3)1+25=92. 解法二：∵(1+2x -3x 2)5=(1-x )5·(1+3x )5=(1-5x +10x 2-10x 3+5x 4-x 5)·(1+15x +90x 2+270x 3+405x 4+243x 5),∴展开式中x 5项的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.［例2］求(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16的展开式中x 3项的系数.［师］请大家审读题目后，考虑如何获得含x 3项的系数.［生甲］我认为可以求出每一项中含x 3项的系数，并注意发现其变化规律，依次为33C ,34C ,35C ,…,316C ，但是,33C ,34C ,…,316C 各项之和的求解较为复杂.［师］甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢？［生丁］可以用我们前面所学的组合数性质，将33C +34C =44C +34C =45C ，再将45C +35C =46C ，以此类推，达到求和的目的. ［师］很好，乙同学求和的关键是将首项33C 变为44C ，然后多次应用组合数的性质达到化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即kk C +k k 1C ++k k 2C ++…+k n C =11C ++k n ，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用.［师］下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法.［生戊］我认为，可以将原式化简后再求x 3项的系数，具体做法是：把(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16看作首项为(1+x )3,公比为(1+x )(当x ≠-1时)，项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和公式求和可得原式=xx x 317)1()1(+-+,从上式可以看出只有(1+x )17展开式中含x 4的项与x 相除可得含x 3项，所以只需考查(1+x )17的展开式中含x 4的系数即可.［生己］戊同学在叙述过程中提到x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作等比数列前n 项和，那么当x =-1时又如何解释呢？［生庚］我认为，由于此题的目的是求x 3项的系数，其中x 是任意的变量，而当x ≠-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x =-1的情形.［师］大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙.［师］下面请大家写出完整的解答过程.解法一：由题意(1+x )3,(1+x )4,…,(1+x )16的展开式中x 3项的系数依次为33C ,34C ，…，316C ，∴所求展开式中含x 3的项的系数为33C +34C +35C +...+316C =(44C +34C )+35C + (316)=(45C +35C )+…+316C =46C +…+316C =…=416C +316C =417C .又417C =2380,∴所求展开式中含x 3的系数为2380.解法二：当x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作是首项为(1+x )3,公比为(1+x ),项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和的求和公式可得原式=[]1)1(1)1()1(143-+-++x x x =x x x 317)1()1(+-+.显然只有(1+x )17展开式中x 4项与分母x 相除可得x 3项，∴含x 3项的系数为417C =2380.Ⅲ.课堂练习(学生练习，老师讲评)课本P 109练习1～3.1.(1)1016C =1015C +915C =515C +915C =a +b ;(2)49C =126;(3)111C +311C +…+1111C =210=1024;(4)原式=21221=+n n . 2.证明：∵0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =2n ,C n +2C n +…=1C n +3C n +…,∴0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =(0C n +2C n +…)+(1C n +3C n +…)=2(0C n +2C n +…)=2n .∴0C n +2C n +…+n nC =22n=2n -1. 评述：注意灵活利用二项式系数性质.Ⅳ.课时小结通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.Ⅴ.课后作业(一)课本P 109习题10.4 4、5.(二)预习提纲如何利用二项式定理、通项公式及二项式系数性质解决相关问题？。
二项式系数的赋值法总结
二项式系数的赋值法总结二项式系数是组合数学中重要的一类系数，表示为 nCm，其中 n 和 m 都是非负整数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的不同组合数量。
计算二项式系数是组合数学的基础之一，对于求解概率、排列组合等数学问题有着广泛的应用。
赋值法是一种较为简便的计算二项式系数的方法，其基本思想是将已知的系数作为中间变量进行存储，并通过递推公式求解出目标系数。
以下是二项式系数的赋值法总结及其实现方法。
1. 递推公式二项式系数的递推公式是 nCm = (n-1)C(m-1) + (n-1)Cm，即从n 个元素中选取 m 个元素数量等于从 n-1 个元素中选取 m-1 个元素数量加上从 n-1 个元素中选取 m 个元素数量。
这个公式可以通过组合数学的排列组合知识来证明。
2. 赋值法实现通过递推公式可以得出赋值法的实现思路：先将 nC0 = 1 存储在数组中，然后通过递推公式依次计算 nC1、nC2、...、nCn。
具体实现方法：（1）定义一个大小为（n+1）x（n+1）的二维数组，每个元素初始化为0；（2）将第0列的元素全部赋值为1，即nC0 = 1；（3）根据递推公式，依次计算nC1、nC2、...、nCn，存储在对应位置上；（4）最后数组中第n行第m列即为所求的二项式系数nCm。
3. 时间复杂度和空间复杂度赋值法的时间复杂度和空间复杂度均为 O(n^2)，因为需要计算（n+1）x（n+1）的二维数组，并进行n次递推运算。
总之，赋值法是计算二项式系数的一种简便有效的方法，它既方便了计算，又能够减少计算量，满足现代计算机处理大型数据的需要。
通过掌握赋值法的实现方法，我们可以更好地应用它解决各种与排列组合有关的问题，为数学研究和应用提供有力支持。
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程二项式定理赋值法求各项系数的和例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++L .解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++L∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，（2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a aa -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例6．设()()()()231111nx x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-，∴2128,7n n ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a=+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8．在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.。
公开课——利用二项式定理求通项、系数,赋值法求系数和
二项式定理的应用学习目标：1.通过练习，能够利用二项展开式的通项、组合知识求特定项及系数；2.通过训练，会用赋值法恰当地赋值，求展开式中系数的和.一、自主学习1．二项式定理(a+b )n = ，其展开式共有 项，二项式系数为 (k = )， 项的系数是二项式系数与a ，b 的系数的乘积, 展开式中的第k+1项叫做 ，记作T k+1= .2. 相关性质(1)对称性在(a+b )n 的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即C n m = .(2)增减性与最大值①增减性：当k <n+12时，二项式系数逐渐 ；当k > n+12时，二项式系数逐渐 .②最大值：当二项式的次数n 为偶数时，中间 项的二项式系数 取得最大值；当二项式的次数n 为奇数时，中间 项的二项式系数 同时取得最大值.(3)系数和二项式系数和：C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n k +⋯+C n n = (令a = , b = 即可). 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：C n 0+C n 2+C n 4+⋅⋅⋅+C n 2r +⋅⋅⋅=C n 1+C n 3+C n 5+⋯+C n 2r+1+⋅⋅⋅= (令a = , b = 即可).二、合作探究1. 求二项展开式中的特定项及系数例1 已知二项式(x +√x)6，求： (1)它的展开式中的常数项；(2)它的展开式中x 3的二项式系数和系数.练习1 若(x −√x )n 的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为32，求：(1)它的展开式中的有理项；(2)它的展开式中系数最大的项.例2 (2019·全国卷Ⅲ) (1+2x 2 )(1+x )4的展开式中x 3的系数为练习2 (2020·全国卷Ⅰ) (x+y x 2)(x+y )5的展开式中x 3y 3的系数为 例3 (1+x +1x 3)10的展开式中，x 2项的系数为练习3 (2015·全国卷Ⅰ) ( x 2+x+y )5的展开式中，x 5y 2的系数为2. 利用赋值法求展开式系数的和例4 设(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，求下列各式的值：(1) a 0；(2) a 1+a 2+a 3+⋯+a 10；(3) a 1+a 3+a 5+a 7+a 9；(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|.练习4 已知(1−2x)2021=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2021x 2021，求下列各式的值：(1) a 1+a 2+a 3+⋯+a 2021；(2) a 2+a 4+a 6+⋯+a 2020；(3)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 2021|；(4)(a 0+a 2+⋯+a 2020)2－(a 1+a 3+⋯+a 2021)2.三、巩固延伸1. 在二项式(√1x 4+√x 23)n 的展开式中倒数第3项的系数为45，求x 3的系数.2. 若(√1x 3+√1x 25)n 的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项. 3. 已知在(a －x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数为207，求x 6的系数.变式：求(1+2x)3(1−x)4展开式中x 2的系数.4. (1+x +1x 2021)10的展开式中，x 2项的系数为 .5. (2020·浙江卷)若(1+2x)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x 1+a 0,则a 1+a 3+a 5= .6. 若二项展开式(12+2x)n (n <10)中的第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中系 数最大的项.四、课堂小结。
二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲
二项式定理赋值法求各项系数的和教学提纲一、引言（200字）二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，它可以用于展开任意整指数幂的二项式。
在教学中，可以采用赋值法来求解各项系数的和，这种教学方法能够让学生更好地理解和掌握二项式定理的应用。
本提纲将介绍如何使用赋值法来教授二项式定理求解各项系数的和，主要包括教学目标、教学步骤和教学评价等内容。
二、教学目标（200字）1.理解二项式定理的基本概念和公式；2.掌握使用赋值法求解二项式定理各项系数的和的方法；3.培养学生的逻辑思维能力和问题求解能力；4.增强学生对数学的兴趣和学习动力。
三、教学步骤（600字）1.复习与导入（100字）-复习二项式定理的基本概念和公式；-引导学生思考如何求解二项式各项系数的和。
2.讲解赋值法求解各项系数的和（300字）-介绍赋值法的基本原理；-以具体的例子说明如何应用赋值法求解二项式各项系数的和；-提醒学生注意赋值时的技巧和要点。
3.练习与训练（400字）-给学生提供一些简单的练习题，要求他们使用赋值法求解各项系数的和；-引导学生思考和讨论解题思路和方法；-鼓励学生积极参与训练，提高他们的问题解决能力。
4.拓展与应用（200字）-引导学生探索更复杂的二项式定理应用问题；五、教学评价（200字）1.反馈评价（100字）-给学生提供一些评价标准，帮助他们自我评价；-鼓励学生积极参与讨论和互评，提高他们的学习和合作能力。
2.教师评价（100字）-结合学生的课堂表现、练习和思考能力等多个因素进行综合评价；-鼓励并提出学生进一步提高的建议。
六、教学反思（200字）。
完整版二项式定理教案
1.3.1 二项式定理（第一课时）、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功, 在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计:三、典例分析例1例1、求(2 _)4的展开式x解：(2 -)4C：24C4 23(丄)C4 22(-)2C：2 (-)3C：』)x x x x x “32 24 8 116 2 3 4x x x x例2 (1)求(1 2x)5的展开式中第3项5 23 2 3解.(1 2x)的展开式的第3项疋T2 1 C5 1 (2x) 40 x,1 9 3例3.求(x -)9的展开式中x3的系数x1解：••• (x -)9的展开式的通项是xT k 1 C9x9 k(1)k C9k x9 2k,x二9 2k 3 , k 3，二x3的系数C： 84课堂检测：1.(2a b)4的展开式中的第2项•解：T2 1 C4(2a)3b 32a3b,2.(x 1)10的展开式的第6项的系数(D )厂6 厂6 厂5 厂5A. C10B. C10C. C10D. C10x 5 23.(1 )5的展开式中x2的系数为(C )25A. 10B. 5C. -D. 12四、小结X二项式定理：通理J(灯+小『=Ctf+U十%+…彳U旷方*+…+6弟斤十］域的一，顼成乘数区别：展开式中第2项的系数，第2项二项式系数4思考：展开式中第3项的系数，第3项二项式系数通过例题让学生更好的理解二项式定理强调：通项公式的应用进一步巩固二项式定理学生应用二项式定理明确通项的作用板书设计：1.3.1 二项式定理一. 二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n(n N* )1.项数：n 1项；2•指数：字母a , b的指数和为n ,a 的指数由n 递减至0，b的指数由0递增至n ；3.二项式系数：C n0,C n1,C n2,L ,C n k L ,C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1项：T k 1 C n k a n k b k二. 典例三. 作业。
二项式定理中的赋值技巧
ʏ河南省许昌市建安区第一高级中学 丁书珍ʏ河南省鄢陵县第二高级中学 刘俊霞在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解㊂即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧㊂已知(1+x )n=C 0n+C 1nx +C 2nx 2+ +C n n x n,令x =1,得2n=C 0n +C 1n +C 2n+ +C nn ㊂这就是说,(a +b )n的展开式的各二项式系数的和等于2n㊂例1 求证:在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和㊂解析:奇数项的二项式系数的和为C 0n +C 2n +C 4n + ;偶数项的二项式系数的和为C 1n+C 3n+C 5n + ㊂由于(a +b )n =C 0n a n +C 1na n -1b +C 2n a n -2b 2+ +C n nb n 中的a ,b 可以取任意实数,因此我们可以通过对a ,b 适当赋值来得到上述两个系数和㊂在展开式(a +b )n=C 0na n+C 1na n -1b +C 2na n -2b 2+ +C n nb n中,令a =1,b =-1,得(1-1)n=C 0n-C 1n+C 2n+ +(-1)kC k n++(-1)n C n n ㊂即(C 0n +C 2n +C 4n + )-(C 1n +C 3n +C 5n + )=0㊂因此,C 0n +C 2n +C 4n + =C 1n +C 3n +C 5n + ㊂故在(a +b )n 的展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和㊂点评:实际上,a ,b 既可以取实数,也可以取多项式㊂我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ,b 的值㊂例2 已知(3x -1)8=a 8x 8+a 7x 7+ +a 1x +a 0,求下列各式的值:(1)a 8+a 7+ +a 1+a 0;(2)|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|;(3)a 1+a 3+a 5+a 7㊂解析:(1)令x =1,得a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28=256㊂(2)因为|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0,所以令x =-1,得:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=48=65536㊂(3)由(1)和(2)知:a 8+a 7+ +a 1+a 0=(3-1)8=28,a 8-a 7+ -a 1+a 0=(-3-1)8=216㊂则a 1+a 3+a 5+a 7=28-2162=27-215=-32640㊂点评:赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法,注意取值要有利于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项㊂同时,要注意问题的实质及变形,如求各项系数的绝对值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋值求解㊂同时注意这类问题的变形写法,如:|a 8|+|a 7|+|a 6|+ +|a 0|=a 8-a 7+ -a 1+a 0=(a 8+a 6+a 4+ )-(a 7+a 5+a 3+ )等㊂对于比较繁杂式子的求值问题,22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月要先观察式子的特点,结合所学知识如因式分解等,对式子进行因式分解,再赋值求解㊂例3 已知(2-3x )100=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 100x 100,求下列各式的值:(1)a 0;(2)a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100;(3)a 2+a 4+ +a 100;(4)(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2㊂解析:(1)令x =0,可得a 0=2100㊂(2)令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂所以a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100-2100㊂(3)令x =-1,可得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂结合(2)可得:a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则a 0+a 2+a 4+ +a 100=(2-3)100+(2+3)1002㊂由(1)知a 0=2100㊂所以a 2+a 4++a 100=(2-3)100+(2+3)1002-2100㊂(4)由(2)知a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100=(2-3)100㊂由(3)知a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100=(2+3)100㊂则(a 0+a 2+ +a 100)2-(a 1+a 3+ +a 99)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a 100)㊃(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4+ +a 100)=(2-3)100㊃(2+3)100=1㊂点评:一般地,对于多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ a nx n,各项系数和为f (1),奇次项系数和为f (1)-f (-1)2,偶次项系数和为f (1)+f (-1)2,a 0=f (0)㊂例4 已知(2x +1)n=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n的展开式中的各项系数和为243,求a 1+2a 2+3a 3+ +n a n 值㊂解析:令x =1,可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ +a n =3n=243㊂解得n =5㊂对(2x +1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+ +a nx n求导,可得:2n (2x +1)n -1=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ +n a nx n -1㊂令x =1,可得:a 1+2a 2+3a 3+ +n a n =2n ㊃3n -1=2ˑ5ˑ34=810㊂点评:观察问题中的式子,我们发现,a n前面的系数是原式x n的幂指数,先借助于求导可以实现数由指数位置向系数位置的转化,再对求导所得结果赋值即可得到该类型题的答案㊂例5 (1)若(1+m x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 6x 6,且a 0+a 1+a 2+ +a 6=64,则求实数m 的值㊂(2)已知C 4n =C 6n ,设(3x -4)n=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a n (x -1)n,求a 1+a 2+ +a n ㊂解析:(1)令x =1,可得(1+m )6=a 0+a 1+a 2+ +a 6=64㊂则1+m =2或1+m =-2㊂解得m =1或m =-3㊂(2)因为C 4n =C 6n ,所以n =10㊂则(3x -4)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a 10(x -1)10㊂令x -1=0,即x =1,可得a 0=(3-4)10=1㊂令x -1=1,即x =2,可得a 0+a 1+a 2+ +a 10=(6-4)10=210㊂故a 1+a 2+ +a 10=210-1㊂点评:在与二项式定理有关的赋值求值问题中,首先要观察需要求值问题与原题中条件之间的关系,从展开式入手,通过比较,正确找出需要赋的值,才能求出正确的答案㊂(责任编辑 徐利杰)32解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月。
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二项式定理赋值法求各项系数的和
二项式定理赋值法求各项系数的和
例2．已知7270127(12)
x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L .
解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a ++++L
∴0
127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，
（2）令1x =， 0
127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，
∴ 70246132
a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例6． 设
()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ， 当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值
解：令1x =得：
230122222n
n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，
点评：对于
101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例8．在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.
解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*),
各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为
9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和
10420a a a a ++++Λ.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为101010110010
2=+++C C C Λ. ②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.
③奇数项的二项式系数和为91010210010
2=+++C C C Λ, 偶数项的二项式系数和为9910310110
2=+++C C C Λ. ④设10102829110010)
32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ, 令1==y x ,得到110210=++++a a a a Λ…(1),
令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a Λ (2)
(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a Λ, ∴奇数项的系数和为2
5110+;
(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a Λ, ∴偶数项的系数和为25
110-.
⑤x 的奇次项系数和为25
1109531-=++++a a a a Λ;
x 的偶次项系数和为2
511010420+=++++a a a a Λ. 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一
例7．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．
证（法一）倒序相加：设S
=12323n n n n n C C C nC ++++L ① 又∵S
=1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++L ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==L ，
由①+②得：()0122n n n n n S
n C C C C =++++L ， ∴11222
n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ． （法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅
==---， ∴ ()1230121112123n n n
n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++L L 12n n -=⋅
1．设()()()()()591413
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++L 求：① 0114a a a +++L ②1313a a a +++L ．答案：①9319683=；
②()953399632+=
2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-L （6n >）的展开式中，6x 的系数为
3．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ）
A.0
B.
pq C.22p q + D.22p q -。