二项式定理解题技巧

二项式定理

1．二项式定理：

011()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n

C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.

③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r

n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0

1

2

,,,,,,.r

n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括

二项式系数）。

4．常用的结论： 令1,,a

b x == 0122(1)()n r r n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n

r r n n n

n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0

n n n

C C =， (1)

k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a

b ==,则二项式系数的和为0122r n

n n n n n n C C C C C ++++++= ，

变形式1

221r n

n n

n n n C C C C +++++=- 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ，

从而得到：0

2421321

11222

r r n

n n

n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=

⨯= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

00112220120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=----- 令则①令则024135(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++= ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C

-,12n n

C

+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为

121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有1

12

r r

r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。 6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例：1

2321666 .n n n

n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=

解：012233(16)

6666n

n

n n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅ 与已知的有一些差距，

123211221666(666)6

n

n n

n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=

⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666

n n n

n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-

练：1

231393 .n n n

n n n C C C C -++++= 解：设1231393n n

n

n n n n

S C C C C -=++++ ，则122330122333333333331(13)1

n n n n

n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+- (13)141

33

n n n S +--∴==

题型二：利用通项公式求n

x 的系数；

例：在二项式324

1()n

x x

+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知2

45n n

C -=，即2

45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由