赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用
赋值法在二项式定理中的应用赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．一、用赋值法解决二项式系数的有关问题利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．思路设法从已知等式中求出n．(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．二、用赋值法解决项的系数的有关问题例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．在①式中令x = 1得4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．a3)2－(a1＋a3)2 =[ ] A．1B．－1C．0D．2解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．故选A．三、综合应用在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．在所给的展开式中，令x = －1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．。
二项式定理应用常见类型及其解题方法
二项式定理应用常见类型及其解题方法一、知识点回顾： 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意准确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，按降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，按升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数，包含符号）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理的常见题型及解法特全版
Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ， 填 2 2 2
（备用题） ： （05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3
1 的展开式中没有 常数项， 且 2≤n≤8， n N* ， ．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。 （备用题） （05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2） 一般的系数最大或最小问题 例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有
赋值法在高中数学中的应用
赋值法在高中数学中的应用康乐一中 倾转莉摘要： 赋值法在高中数学中应用广泛，本文总结了赋值法在高中数学中主要应用有函数方程，二项式定理，算法，恒成立问题，解选择题与填空题等。
关键字：赋值法 抽象函数 二项式定理 算法 恒等变化赋值法就是给变量赋予特殊的数值。
可以把抽象的问题具体化，把普遍的问题特殊化。
赋值法在高中数学中的应用常见在以下几个方面：一．赋值法在抽象函数性质中的应用赋值法在函数性质中应用最广，特别是应用在抽象函数中用来的判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性，求函数的值域，判断函数的周期性，求函数的解析式等方面。
（一）判断函数的奇偶性例1 已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ，x ≠0），对任意非零实数x 1x 2都有f （x 1x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），试判断f （x ）的奇偶性。
解：取x 1＝－1，x 2＝1得f （－1）= f （－1）＋（1），所以f （1）=0又取x 1=x 2=－1，得f （1）=f （－1）＋f （－1），所以f （－1）=0再取x 1=x ，x 2=－1，则有f （－x ）= f （x ），即f （－x ）=f （x ） 因为f （x ）为非零函数，所以f （x ）为偶函数。
(二)讨论函数的单调性例2． 设f （x ）定义于实数集R 上，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f （x ＋y ）= f （x ）f （y ），求证f （x ）在R 上为增函数。
证明：由f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）中取x =y =0得f （0）=f 2（0）。
若f （0）=0，令x ＞0，y =0，则f （x ）=0，与f （x ）＞1矛盾。
所以f （0）≠0，即有f （0）=1。
当x ＞0时，f （x ）＞1＞0，当x <0时，f （－x ）>1>0，而0)(1)( x f x f -=，又x =0时，f （0）=>0，所以f （x ）∈R ，f （x ）>0。
二项式定理赋值法求各项系数的和
二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知(1 一2兀)，=a Q + a{x + a2x2 +••• + fl7x7.求：(1)q + 色 + ・•・ + 吗：(2 ) % + a? +1— + ①；(3) I a。
丨 +1 q I +• • • +1 吗I ・解：(1)肖x = 1时，(l-2x)7 =(1-2)7 =-1,展开式右边为4)+5 + °2 + …+ “7/. a。
+ q + a】+ …+ ①=—1,当X = 0 时t a() = 1 • a x + a2H ----- =— 1 -1 = —2,(2)令兀=1 •4)+4 +“2 +••・ + 心=一1 ①令兀=一],_ q + 6 _ 角 + °4 _ °5 + °6 _ ^7 = 3? ②1 + 3?①一② 得：2(q +角+。
5 +6)= _1_3? ■«! +«3 +«5 +«7 =-———.2(3)由展开式知：a x,a3y a5,a7均为负，a。
,色皿4卫8均为正，•••由(2)中©+<§)得：2(q)+ ① + ① + ©)= 一1 + 3?,一1 + 37：.a0+a2+a4+a6=—-—-I a() I +1 a】I + ・• • +1 a? 1= a。
—ci] + d丁—(厶 + 偽—①+ “6 —°7=(a0 +。
2 + 4 +。
6)-(4 +。
3 + “5 +)= 37例6・设(l + x) + (l + x)2 +(l + X)'+・・・ + (l + X)" = 670+67|X + rt2X2+••• + ©/", 为a{}+a A +a2+••・ + a n = 254时.求n的值.解：令x = \得：勺+厲+①+…+ ①=2 + 22 + 23 + ・..+ 2" =^_^ = 254,2 — 1・•・ 2" =12&w = 7,点评:对于f（x） = a（）（x-ay1 + Q]（x一+・・・ + %,令x —“ = 1,11卩x = d +1可得各项系数的和“° + q +①+…+ ©的值；令x — " = 一1,即X = d — 1,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在（2x-3y）10的展开式中，求：①二项式系数的和；②各项系数的和；③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；④奇数项系数和与偶数项系数和；⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:閃为二项式系数特抬组合数C爲故在①，③中只需求组合数的和，而与二项式2x-3y中的系数无关.解:设（2x-3y）" =t/o x10+a]x）y + a2x^y2+ …+ （*）»各项系数和即为"o+d] +・・+山（）,奇数项系数和为5+“2+・・・+ 4（），偶数项系数和为I" + 5 + “5 ------- 1-, X的奇次项系数和为© + “3 + “5 -------------- 旳，X的偶次项系数和d（）+ Cly+ “4 "I"10 ・由于（*）是恒等式,故可用“賦值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C^+C：o+…+ C；；=21。
高考数学复习考点知识专题讲解与训练52---二项式定理
高考数学复习考点知识专题讲解与训练专题52 二项式定理【考纲要求】1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.【知识清单】知识点1. 二项式定理1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .知识点2. 二项式系数的性质1. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012rnn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，2.注意:（1）．分清r n r r n C a b -是第1r +项，而不是第r 项.(2)．在通项公式1r n r r r n T C a b -+=中，含有1r T +、r n C 、a 、b 、n 、r 这六个参数，只有a 、b 、n 、r 是独立的，在未知n 、r 的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n 、r ,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r ，再求所需的某项；有时则需先求n ,计算时要注意n 和r 的取值范围以及 它们之间的大小关系.(4) 在1r n r r r n T C a b -+=中，r n C 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而1r T +项的系数是指化简后字母外的数．知识点3. 二项式定理的应用二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①()11n x nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++； （5）证明不等式.【考点梳理】考点一 ： 二项式定理【典例1】（2020·北京高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【典例3】（2020·天津高考真题）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rrrr r rr T C xC x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10．【典例4】（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15rrr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是305214123032555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560.【规律方法】1.二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．2．求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法逐层展开法的求解步骤：【变式探究】1.（2018·全国高考真题（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由题可得()5210315522rrr r r rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C =⨯=故选C.2.（2017·全国高考真题（理））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2r rrr T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=.3.（2019·天津高考真题（理））83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________.【答案】28【解析】8848418831(2)()(1)28r r rr r r r r T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r ，所以的常数项为228(1)28C -=.4.（2017·山东高考真题（理））已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】（1+3x ）n的展开式中通项公式：T r +1rn =（3x ）r ＝3rrn x r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为：4．【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()n a b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．考点二 ： 二项式系数的性质及各项系数和【典例5】（2020·浙江高三月考）二项式6的展开式中，所有有理项．．．（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有____种．（用数字作答）【答案】32. 144.【解析】因为二项式6的展开式的通项为6126321666---+==r rr r r r T C C x x x ，因为2122-=-∈r rZ ，所以0,2,4,6r =， 故所有有理项的系数为0246666611515132+++=+++=C C C C ；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有3434144A A =种. 【典例6】（2019·全国高三月考）5(12)x -的展开式的各个二项式系数的和为________，含x x 的项的系数是________.【答案】32 80-【解析】根据题意，(512x -的展开式的各个二项式系数的和为52=32，当=3r 时，3533451(2)T C x -=⋅⋅- ，所以含x x 80-.【典例7】（2020·浙江省高考真题）设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．【答案】80；122 .【解析】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122【总结提升】1.赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．3．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．【变式探究】1.（2019·内蒙古高二期中（理））已知2012(1)n nn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，01216n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则自然数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C由题意，令1x =，则01212(1)nn n a a a a +=++⋅⋅+=+⋅，因为01216n a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以216n =，解得4n =. 故选：C.2. (2019·石家庄模拟)在(1－2x )n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为 .【答案】1120x 4【解析】由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1120x 4. 3.（2020·湖南师大附中高三月考）若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=______.【答案】1721-由题意，由1717(2)[1(1)]x x +=++，17171(1)T x +=+，17令0x =，则17012172a a a a ++++=⋯，所以1701231621a a a a a ++++⋯+=－.故答案为：1721-. 【特别提醒】1.对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；[来源:学_科_网]③证明不等式时，应注意运用放缩法.2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.3.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.考点三：二项式定理的应用【典例8】（2012·湖北高考真题（理））设，且，若能被13整除，则（）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本题考察二项展开式的系数.由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））71.95的计算结果精确到个位的近似值为（）A.106B.107C.108D.109【答案】B【解析】∵()77716252771.9520.05220.0520.05C C =-=-⨯⨯+⨯⨯-⋅⋅⋅107.28≈， ∴71.95107≈. 故选：B【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -= B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r rn n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122n n n n n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确；550514*******555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）7(ax的展开式中，3x 项的系数为14，则a =_____，展开式各项系数之和为______．【答案】2 1【解析】由题，7a x⎛ ⎝的展开式通项为()72577331771rrr r r r rr a T C x a C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令57363r r -=∴=，此时67142C a a =∴=所以原式为72x ⎛- ⎝，令1x =，得各项系数之和为()7211-=故答案为2、1【总结提升】二项式定理应用的常见题型及求解策略1．逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．2．利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．3. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.【特别提醒】用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【变式探究】1．（多选题）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，下列结论正确的是（ ）A ．6012563a a a a a -+-+= B ．23100a a += C ．1236,,,,a a a a 中最大的是2a D ．当999x =时，6(21)x +除以2000的余数是1【答案】ABD【解析】将原二项展开式转化为()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，再逐一判断.详解：由()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，得40123562356666666601234564,2,2,2,2,2,2a a a a a a a C C C C C C C =======， 所以6012563a a a a a -+-+=，故A 正确；223323662+2=100a a C C +=，故B 正确；1236,,,,a a a a 中最大的是4a ，故C 错误；当999x =时，11000x +=，1256,,,a a a a 能被2000整除，所以6(21)x +除以2000的余数是1，故D 正确；故选：ABD2.（2019·浙江高考模拟）已知7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++，则128...a a a +++=_____，3a =_____．【答案】5- 476-【解析】因为7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++，令1x =得0128...(21)(121)3a a a a ++++=+-⨯=-，令0x =得02a =，所以128...5a a a +++=-，由7(12)x -展开式的通项为17(2)r r r r T C x +=-，则33223772(2)(2)476a C C =⨯-+-=-，故答案为：5- ，476-.3.若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n－1n 除以9的余数是 .【答案】0或7【解析】根据二项式定理可知，7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －1＝8n －1，又因为8n －1＝(9－1)n －1＝9n ＋C 1n 9n －1·(－1)＋C 2n 9n －2·(－1)2＋…＋C n －1n 9·(－1)n －1＋(－1)n －1，所以当n 为偶数时，除以9的余数为0，当n 为奇数时，除以9的余数为7. 4.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______.【答案】36【解析】由题意，第0行的数为1，第1行的数为0111,C C ，第2行的数为012222,,C C C ，第3行的数为01233333,,,C C C C ，第4行的数为0123444444,,,,C C C C C ，因此，第n 行第m 个数为：1m n C -， 所以第9行第8个数是817299998362C C C -⨯====. 故答案为：36.。
二项式定理的应用--求系数
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
§251 二项式定理的应用——求系数
一、求指定项的系数(等价于求指定项)：
1. (a b)n 型： 2.(a b)m ○* (c d)n 型： 3. (a b c)n 型：
4.导பைடு நூலகம்型：
二、求系数和(差) ：
1.赋值法： 2.其他法：
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
x
为－20，则自然数n＝_______
法2：由多项式乘法法则，结合组合的知识可得
(x 1 2)n x
的通项为
Cnk
Cnrk
x
k
(
1 x
)r
(2)nk
r
Cnk
Cr nk
x
k
r
(2)
nk
r
由题意得
kr 0
Cnk
Cr nk
(2)
nk
r
20
后续工作等同法1，操作量较大……
(3)(2004年安徽春考)若 (x 1 2)n 的展开式中常数项
lnim[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ] ____
析①:ln因im[(a0 a2 a4 ... a2n )2 (a1 a3 a5 ... a2n1)2 ]
(a0a1a2a3 a2n)(a0a1a2a3 a2n)
二项式定理的应用技巧
二项式定理的应用技巧作者：曹信信邓伟娜来源：《旅游纵览·行业版》2013年第02期摘要：二项式定理是初等数学中的一个重要定理，其形成过程是组合知识的应用，同时也是进一步学习概率统计的准备知识，在微积分、概率论、初等数论等许多数学分支中都可见其踪影，是高等数学中许多重要公式的共同基础。
在有些的数学运算过程中，如果直接计算，则会使計算量增大且容易出错，而利用二项式定理来解则会使计算量降低，提高运算的效率，增加准确率。
关键词：巧用；二项式定理；二项式展开式一、巧解二项式指数问题例（05年重庆卷）若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5，则n等于（）A.4B.6C.8D.10本题是先求二项式的指数，解决此类问题一般地可以分为两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数，第二步是根据所求的指数。
选B。
这是求二项式指数问题，解此题我们要根据所给条件，注意挖掘隐含条件，确定n值，这一般用二项式定理大大减少了计算量，只取其中的几项进行求解即可。
二、二项式系数问题例求的展开式里的系数。
此类问题，看起来运算非常麻烦，并且初看起来无法下手，但它源于二项式定理，下面我们从二项式定理入手揭示它的命题规律和方法。
这是一个关于二次三项式展开式的问题，可以考虑将二次三项式分解因式，每个因式展开，然后求积；或用添加括号的方法，再用二项式定理展开求解.以上问题分析了二项式系数，解题过程中有的需要将式子化简，有的取其中的一项，具体问题具体分析，巧妙的运用二项式定理则会收到意想不到的效果。
三、二项式展开式最大项例已知，n∈N+ 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
分析二项式系数的最大项必是展开式的中间项，展开式中系数绝对值最大的项通常要通过与前后两项的比较（组成不等式组）来求得，但要注意系数绝对值比前后两项都大的项不一定就是系数最大的项。
四、奇偶项系数问题在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择赋值法来加以解决。