二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用

一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数

1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)(

1

x2-1)5的展开式的常数项是（）

(A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D

【解析】第一个因式取x2，第二个因式取

1

x2得：1⨯C1(-1)4=5

5

第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2⨯(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3.

2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2-

1

x

)5的二项展开式中，x的系数为（）

（A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40

点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．

3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是

解：ΘT

r+1

=C r x11-r(-1)r

11

∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的

11

系数为C5(-1)5=-462

11

二、利用二项式定理求展开式的系数和

1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a

0122013

x2013(x∈R)，

则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a

010********

)=_______。(用数字作答)

解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a

0122013

x2013中，令x=0，则a=1，

令x=1，则a+a+a+a+Λ+a

01232004

=(-1)2013=1

故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a

0102030

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2013

)

x

)4的展开式；

+a

=2013a+a+a+a+a+Λ+a

001232013

=2013。

点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．

三、利用二项式定理求幂指数n

1

1.(2012年高考全国卷理科15)若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，

x

则该展开式中

1

x2的系数为.

点评：利用二项式定理求幂指数n，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n的方程，即可获解．

四．求展开式

1．求(3x-

1

11

分析：解决此题，只需要把(3x-)4改写成[3x+(-)]4的形式然后按照二项

x x

展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

五、利用二项式定理证明整除问题

(2012年高考湖北卷理科5)设a∈Z，且0≤a≤13，若512012能被13整除，则a=() A.0 B.1 C.11 D.12

点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式．

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n !n ! n n

六、利用二项式定理求近似值

例 求 0.9986 的近似值，使误差小于 0．001．

策略：因为 0.9986 = (1- 0.002)6 ，所以可以用二项式定理来计算．

解： 0.9986 = (1- 0.002)6 = 1 + 6 ⨯ (-0.002) + 15 ⨯ (-0.002)2 + L + (-0.002)6 ，

∵ T = 15 ⨯ (-0.002)2 = 0.00006 < 0.001 ．

3

即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项可以忽略不计，

即 0.9986 = (1- 0.002)6 ≈ 1 + 6 ⨯ (-0.002) = 0.988 ．

点评：由 (1+ x)n = 1 + C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 + L + C n x n 知，当 x 的绝对值与 1 相比很小且 n

n

n n n

足够大时， x 2 ， x 3 ，…， x n 等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽

略不计．因此可以使用近似计算公式 (1+ x)n ≈ 1 + nx ．在使用这个公式时，要注意按问题对

精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍．

七、利用二项式定理证明组合数问题

例 6 求证： (C 0 )2 + (C 1 )2 + (C 2 )2 + L + (C n )2 = (2n !)

．

n n n n

策略：观察等式 (2n )!

n !n !

= C n 的特点，想到构造等式 (1+ x) ·(1+ x)n = (1+ x)2n ，利用同一

2n

项的系数相等进行证明．

证明：已知

(1+ x)2n = (1+ x) ·(1+ x)n = (C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n )(C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n ) ，

n

n

n

n

n

n

n

n

由于 x n 的系数为第一个因式中 x r 的系数与第二个因式中 x n -r 的系数的乘积的和，

即 (C 0 )2 + (C 1 )2 + (C 2 )2 + L + (C n )2 （这是因为 x r 的系数 C r 与 x n -r 的系数 C n -r 相等）

n

n

n

n

n

n

而在 (1+ x)2n 的展开式中 x n 的系数为 C n ，因此原等式恒成立．

2n

点评：对于本题的解决，基于对等式的认真观察分析基础之上，充分利用展开式系数的

特点，进行合理构造．

八、利用二项式定理证明不等式

求证： 2n +1 ≥ n 2 + n + 2 （ n ∈ N * ）

分析：本题是一边指数式，另一边是多项式的不等式的证明问题，用二项式定理证明.

证明：当 n = 1 时， 21+1 =4，12 + 1 + 2 =4，

∴ 2n +1 = n 2 + n + 2 ；

当 n ≥2 时，

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