二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广及应用

曲靖市麒麟高级中学 车保勇

[摘 要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围．

[关键词] 二项式定理 推广 方幂 应用

1 引言

二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：()

,(,,0)n n

r n r r

n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．

2 问题的提出

虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围．

3 二项式定理的推广

二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为：

011

r n r

r

n n

()n

n

n n

n

n

n

a b C a C a b C a

b C b --+=++

++

+0

,(,,0)n

r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑

其中r n r r

r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!!

r n n C r n r =-叫做二项式系数．

若令 -n r q =，

则

!

!!

r n n C r q =

，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一

在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广．

先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式:

()[()]n n

a b c a b c ++=++

()n r r

r n C a b c -=+++

(

)r

q n r q q

r

n n r C C a

b c

---=

++++

r q

n r q q r n n r C C a b c ---=

++

若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：

(,,p q r n)r q

p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=， 其中()()!(r)!!

!!q!q !!q!p!

r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2]

类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为

!

(,,,)!!!s!

p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ， 其中

!

!!!s!

n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为： 定理１12()n m a a a +++12

121212!!!

!m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．

在证明之前，先分析一下上述定理的结构．如果像二项、三项那样展开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证明．

证明 设1

2

121212

()(,,,)m

r r r

n m m m

a a a f r r r a a a +++=∑，它的一般项可以这样得到，从n 个式子12()m a a a ++

+，，12()m a a a +++中由1r 个式子里取1a 有

1r n C 种方法，再由剩下的1n r -个式子中选2r 个式子取2a 有2

1r n

r C -种方法，依次类

推，从最后的121m m n r r r r -----=个式子中选m a 有1

2

1

m m r n r r r C ----

-种方法．于是选

取这m 个元素总共有1

2

1

121

m m r r r n n r

n r r r C C C -----

-种方法，将所得元素相乘即为

12

12m r r r m a a a ，因此一般项系数为

12

1

121

12(,,

,)m m r r r m n n r n r r r f r r r C C C -----

-=

()()()()112111212!!

!

!!!!

!

m m n r n r r r n r n r r n r r r -----

-=---

12!!!!

m n r r r =． 于是定理得到证明．

这个结论结构优美，记忆简便，体现出数学美．[3]

3.2 推广二

由数式二项式定理可得0(1),(,,0)n

n r r n r x C x n r N r n =+=∈≤≤∑．这里的n 是正数，当指数为负整数时，又是什么 情形呢？

定理

2 当11x -≤≤,n 为正整数时{}{}212(1)1n n n

x x x --+++={}33n x ++

{}n

r

r

x

+

{}0

n r r r x ∞==∑．其中{}(1)(2)

(1)

!

n r n n n n r r +++-=．

证明 (1)当1n =时，左边111(1)x

x --=-=，

右边2311

111lim

n

n x

x

x

x x x →∞

---=++++

==

，

左边＝右边，即上式成立． (2) 假设当n k =时，有

{}{}{}{}2

3

1

2

3

1lim()k k k k r

r

r x x x

x →∞

+++++

{}0

lim k r

r r r x

∞

→∞

==∑成立，

则当1n k =+时，考虑