二项展开式系数的求法
二项式定理应用常见类型及其解题方法
二项式定理应用常见类型及其解题方法一、知识点回顾： 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数：展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意准确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，按降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，按升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数，包含符号）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
二项式展开式求系数
二项式展开式求系数1. 什么是二项式展开式在代数学中，二项式展开式是指将一个形如(a+b)^n的表达式展开成多个项相加的形式。
其中，a和b是常数，n是非负整数。
二项式展开式的每一项都可由a和b 的幂次幂函数相乘得到。
例如，将(a+b)2展开，得到的结果为a2+2ab+b2。
这里的a2、2ab和b^2就是二项式展开式的三个项。
2. 二项式系数在二项式展开中，每一个展开后的项都有一个对应的系数。
这个系数称为二项式系数。
在(a+b)^n中，每一项的系数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数量。
3. 求解二项式系数的方法3.1. 直接计算法根据上述公式直接计算每一项的系数。
例如，在(a+b)^3中，我们可以计算出：C(3, 0) = 3! / (0! * (3-0)!) = 1C(3, 1) = 3! / (1! * (3-1)!) = 3C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3C(3, 3) = 3! / (3! * (3-3)!) = 1所以，展开式(a+b)^3的系数分别为1、3、3和1。
3.2. 杨辉三角形法杨辉三角形是一种特殊的数字排列形式，其中每个数字等于它上方两个数字之和。
利用杨辉三角形，我们可以更快地求解二项式系数。
首先，我们构建一个n行的杨辉三角形。
在第i行的第j个位置，存储着C(i, j)的值。
例如，在构建一个4行的杨辉三角形时，得到：11 11 2 11 3 3 1然后，我们可以直接读取杨辉三角形中对应位置的值作为二项式展开式中每一项的系数。
4. 示例让我们以(a+b)^4为例来演示如何求解二项式展开式中的系数。
首先使用直接计算法：C(4,0) = 4! / (0! * (4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1所以，展开式(a+b)^4的系数分别为1、4、6、4和1。
人教课标版高中数学选修2-3：《二项式定理(第1课时)》教案-新版
1.3 二项式定理 第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（ ； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。
；(2)错误！未找到引用源。
(3)错误！未找到引用源。
2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。
二项展开式
二项展开式数学是一门神秘而美妙的学科，它隐藏着无数的谜团和奥秘，而二项展开式就是其中之一。
在数学中，二项展开式是一种用来展开和简化二项式的方法，它在代数、概率和统计等领域都有着广泛的应用。
本文将带领读者一起揭开二项展开式的神秘面纱，探索其背后的奥秘和美妙。
首先，让我们来了解一下什么是二项式。
在代数中，二项式是由两个项相加或相减而成的代数式，通常表示为(a + b)^n，其中a和b是任意实数，n是一个非负整数。
而二项展开式就是将这样的二项式进行展开，得到一个多项式的过程。
例如，对于(a + b)^2，它的二项展开式为a^2 + 2ab + b^2。
这个过程就是通过二项式定理来完成的，即(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... +C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中取出k个元素的组合方式数。
二项展开式在代数中有着广泛的应用，它可以用来简化复杂的代数式，求解多项式的系数，以及展开和化简多项式等。
在实际问题中，二项展开式也有着重要的应用，比如在概率和统计中，它可以用来计算二项分布的概率，从而解决各种实际问题。
因此，掌握二项展开式的方法和技巧对于理解和应用数学来说是非常重要的。
接下来，让我们来探索一下二项展开式背后的数学奥秘。
在数学中，二项展开式与组合数学和排列组合有着密切的联系。
组合数学是研究集合中元素的组合方式和排列顺序的一门学科，而组合数就是用来计算从n个元素中取出k个元素的组合方式数的数学工具。
而二项式定理中的组合数C(n,k)就是用来表示这样的组合方式数的。
因此，二项展开式不仅是一种代数运算的工具，更是与组合数学和排列组合有着紧密联系的数学概念。
此外，二项展开式还与数学中的数列和级数有着密切的关系。
数列和级数是数学中研究无穷序列和无穷级数的一门学科，而二项展开式可以用来表示一些特殊的数列和级数。
二项式定理
二项式定理二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。
公式为：（a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1）b^1+……+Cnna^0b^n此定理指出：1、（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。
等号右边的多项式叫做二项展开式。
2、二项展开式的通项公式（简称通项）为Cnr(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项（如下图），即n取i的组合数目。
因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b)n在n为正整数时的展开式。
（a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）发现历程在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。
它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。
在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。
但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。
无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。
杨辉三角1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。
1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。
应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
二次项定理展开式常数项
二次项定理展开式常数项二次项定理是一个常见的数学定理，用于展开二次项式的式子。
它的应用十分广泛，不仅在高中数学课上经常出现，而且在工程、物理、经济等领域中也有着重要作用。
本文将从二次项定理的定义、应用和相关例题等几个方面进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学知识。
一、二次项定理的定义首先我们来看一下二次项定理的定义。
二次项定理是指对于任意实数a、b和c，二次项式(ax + b)^2的展开式可以表示为：(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2其中，a、b分别为二次项式中x的系数和常数项。
这个展开式可以让我们更方便地计算二次项式的值，而不必每次都进行乘法运算，节省了时间和精力。
二、二次项定理的应用二次项定理在数学中有着广泛的应用。
首先，它可以用来解决一些二次方程的问题。
对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，我们可以利用二次项定理来进行因式分解和求根。
其次，二次项定理也可以应用于一些数学证明和计算中，例如在微积分中的曲线面积计算、空间几何中的体积计算等。
此外，二次项定理还可以在物理学和工程技术中被广泛运用，例如在动力学、热力学等方面的问题中。
三、相关例题下面我们将通过一些具体的例题来演示二次项定理的应用。
例如，如果给定二次项式(3x + 5)^2，我们可以利用二次项定理展开这个式子：(3x + 5)^2 = 3^2x^2 + 2*3*5x + 5^2= 9x^2 + 30x + 25这样我们就得到了展开式9x^2 + 30x + 25。
同样地，对于其他类似的二次项式，我们也可以利用二次项定理来展开计算。
四、总结通过以上的介绍和例题演示，我们可以看到二次项定理在数学中具有重要的作用。
它不仅可以方便地展开二次项式，还可以应用于解决一些数学问题和实际应用中的计算。
因此，对于学习数学的同学和从事相关行业的人士来说，掌握二次项定理是至关重要的。
希望这篇文章能够帮助大家更好地理解和掌握二次项定理的知识，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
二项展开式终极拿分必读
二项展开式是高中数学人教A 版选修2-3重点内容，也是必考内容。
分值稳定在5分，题型稳定在填空题。
难度为简单到中等。
是考生必得分的题目。
下面从基础知识到重点题型为同学们做总结，喜欢的请收藏。
一、基础知识：①n )b a +（展开式共有n+1项。
②n )b a +（展开式的二项式系数和为n 2。
奇偶项二项式系数和各占一半即1-n 2。
含有一个常数及一个变量的二项式求展开式系数和只需设变量为1即可。
③n )b a +（展开式二项式系数有最大值，其排列方式就是杨辉三角，由小到大再小。
具体讲，展开式有奇数项的，中间一项即21n +项最大。
为偶数项的12n 2n +或项最大。
④求展开式系数，都要用赋值法，常用赋值为0，-1，1.⑤展开式通项公式：1r 1r n 1r n r b ac T -+--=（灵魂哦） 二、常见题型：①求某项。
②求某（些）项系数。
三、常用方法：赋值法。
四、重点题型及对策：例一：（2020全国三卷14,5分）62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的常数项是_____________. 分析：考察二项展开式的通项公式，属于简单题，分母有变量，先化简，再求值。
解： 62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()612x 2x -+，由1r 1r n 1r n r b a c T -+--==1r 1r -721r 6)x 2()(x c --- =r 3-151r 61-r r x c 2T -=，常数项指数为0，故令15-3r=0,得r=5,代入得=5T 464c 2=240.记住，先化简再求值永远是王道。
例二：（2019全国三卷4，改编,5分）42)x 1)(x 21++（展开式中4x 的系数是___________. 分析：考察通项公式，指数幂运算性质及乘法分配律。
无需化简。
（原式是两项相乘，由乘法分配律）出现四次幂的情况可能是：①1.4ax 或者②22bx .x 2。
只要求出第二个式子展开式中4次幂和2次幂系数即可。
二项式定理题型及解法
二项式定理题型及解法1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
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二项展开式系数的求法
苏清军
(山东省无棣二中,山东 251913)
中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01
收稿日期:2001-01-05
作者简介:苏清军(1969—
),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师. 对于(a +b )n 展开式中特定项的系数,常常从通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开式,如(a +b )m
(c +d )n 、
(a +b +c )n
等,多有畏难
情绪.这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时
参考.
1 有效展开
对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后部分展开,便可确定系数.
例1 求(1+x )2
(1+2x )5
展开式中x 3
的系数.
解 (1+x )2(1+2x )5=(1+2x +x 2)(1+10x
+40x 2
+80x 3
+…
),所以x 3的系数为80+2×40+10=170.
2 利用通项公式
即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项的系数.
例2 在(1-2x )5(1+3x )4展开式中,若按x 的升幂排列,求展开式中的第三项.
解 展开式中的第三项含x 2.二项式(1-2x )5
的通项公式为
R m +1=C m
5(-2x )
m
,
二项式(1+3x )4
的通项公式为
R n +1=C n
4(3x )n
.
(m =0,1,2,3,4,5;n =0,1,2,3,4.)
T m +1·R n +1=C m 5(-2x )m ·C n
4(3x )
n
=C m 5C n 4(-2)m ·3n ·x m +n
,
令m +n =2,解得
m =0,
n =2,或
m =1,
n =1,或
m =2,
n =0.
所以(1-2x )5(1+3x )4
展开式中第三项的系
数为
C 05C 24(-2)0·32+C 15C 14(-2)·3+C 25C 04(-2)2
·
30=54-120+40=-26.3 利用求组合数的方法
这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式各异的题目都可以实施.
例3 (1996年上海高考题)在(1+x )6(1-x )4
的展开式中,x 3的系数是
.
解 利用组合知识.
展开式中含x 3项有x 3·x 0,x 2·x ,x ·x 2,x 0·x 3
四种情况.
所以x 3的系数是
C 3
6+C 2
6·C 1
4·(-1)+C 1
6·C 2
4(-1)2
+C 0
6·C 3
4(-1)3
=20-60+36-4=-8.
例4 (1992年全国高考题)在(x 2+3x +2)5
的展开式中x 的系数为
( )
(A )160. (B )240. (C )360. (D )800.
分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.
若借用组合知识解决可省却很多麻烦.
解 根据三项的特点,展开式中x 项只能源于
3x ·2·2·2·2,
所以x 的系数为C 15·3·24=240,选(B ).例5 求(2x -3y -4z )6的展开式中x 3y 2z 的系数.
解 利用组合知识,x 3y 2z 的系数为
C 36·23·C 2
3·
(-3)2·(-4)
=-17280.7
2001年第12期 数学通讯。