用待定系数法求数解析式

用待定系数法求数解析式
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用待定系数法求二次函数解析式
二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。

它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。

求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。

一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。

同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。

应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。

即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式．
(1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。

(3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。

例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式．
解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。

因此，只能采用一般式求解。

设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1
解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1
小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。

例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．
分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值．
小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。

试一试，比较一下。

思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。

一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。

例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3
解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233
384
x x -++.
所以，所求二次函数的关系式是y= 233
384
x x -++.
思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。

4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。

思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n
个单位，k的值就加（减）n个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。

5、将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式
为__
检测题：根据下列条件求二次函数解析式
1、已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；
2、已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
3、二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；
3、已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；
4、已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；
5、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点；
6、二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）
7、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点。

8、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3）。

9、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)。

10、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2。

11、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1）。

12、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3。

13、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且对称轴方程为x=1。

14、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。

15、已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；
16、已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；
17、已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．
18、已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．求函数关系式；写出开口方向、对称轴和顶点坐标；
19、已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；
20、已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；
21、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．
22、二次函数对称轴x=8,函数最大值9,且图象过点（0，1）。

2 3、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10）。

24、已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1。

25、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）、二点,且对称轴是x=1．
26．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．
求这条抛物线所对应的函数关系式；
如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
27．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1=1，x2=2，且x=3时y=4．
(1)选择最简便的方法求解析式，并画出图象．
(2)指出图象的对称轴、顶点坐标以及开口方向．
(3)从图象上观察x在什么范围时，y随x的增大而增大；x在什么范围时，y随x的增大而减小．。