第 10 讲 待定系数法(高中版)

第 10 讲 待定系数法(高中版)
（第课时）
D
重点：1．
；2．；3．。

难点
：1．；2．；
3．；。

其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。

使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。

确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。

二次函数解析式有三种表达形式，
1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。

解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。

若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。

1．待定系数法在求数列通项中的应用
例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n =
21
a 1
n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

分析：一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解，只要设 a 1+n +k=p （a n +k ）并与原式比较系数可得出 k ，从而得等比数列{a n +k }。

解：令 a n +k =
21(a 1-n +k ) ，即 a n =21a 1-n -21
k ，与原式比较系数可得 k=-2 ， 则由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得 a n －2=2
1
（a 1-n －2），而 a 1－2=1－2=－1 ，
∴ 数列{ a n －2}是以21
为公比，－1为首项的等比数列，
∴ a n －2=－（21）1-n ，∴ a n =2－（2
1）1
-n 。

点评：本题使用待定系数法求数列通项。

例.（高三）数列{a n }满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。

分析：对于 n n n qa pa a +=++12 型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列
}{1--n n a a ，这只要设 )(112n n n n ka a h ka a -=-+++ ，再比较系数得 q hk p k h =-=+，
q hk =- 可解得h 、k 。

本题递推式 02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。

解：由 02312=+-++n n n a a a 得 0)(2112=---+++n n n n a a a a ， 即 ）n n n n a a a a -=-+++112(2 ，且 32512=-=-a a ，
∴ }{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列，∴ 1123-+⋅=-n n n a a ， 利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++
=223232
3021
+⋅++⋅+⋅-- n n
=2)1222(32
1+++++⋅-- n n
=221213+--⋅
n
=123-⋅n
∴ 1231-⨯=-n n a 。

2．待定系数法在求复数中的应用
3．待定系数法在三角中的应用
4．待定系数法在立几中的应用
5．待定系数法在求曲线方程中的应用
解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设曲线方程→条件转换成关于待定系数的方程（组）→求出系数→把系数代入所设的曲线方程。

例.（高三）一个圆经过 )1,2(-p 点，和直线 1=-y x 相切，并且圆心在直线 x y 2-=上，求它的方程。

解：设圆的方程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-，
则 ⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧-==+-=-+--a b r
b a r b a 221)1()2(222 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==214189r b a 或 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==2221r b a
故所求方程为 392)18()9(22=++-y x 或 8)2()1(22=++-y x 。

1 2 3 4 5 6 7 8 求数列通项
√ √ 复数 求复数 三角 立几
解几
求曲线方程
√
1.（高三）数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ，求数列{a n }的通项公式。

解：由 0731=-++n n a a 得 3
7
3
11+
-=+n n a a ， 设 a )(311k a k n n +-=++ ，比较系数得 373=--k k ，解之得 47
-=k ，
∴ {47-n a }是以31-为公比，以 43
471471-=-=-a 为首项的等比数列，
∴ 1
)31(4347--⨯-=-n n a ，
∴ 1
)3
1(4347--⨯-=n n a 。

点评：本题使用待定系数法求数列通项。

2.（高三）数列{a n }中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{a n }的通项公式。

解：由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得3132=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31
=-=h k 若取31,1-==h k ，则有)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴1
1)3
1(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=11)3
1
()31()31()
3
1(232
++-+-++-+--- n n
=13
11)31
(11
++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n
点评：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3131112+=++++即得}3
1
{1n n a a ++为常
数列，故3
73123131311211=+=+==+=+
-+a a a a a a n n n n 。

3.（高三）设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。

【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a 、b 、c 之值，问题就全部解决了。

设a 、b 、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程。

【解】 设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c ，则|BF ’|＝a ∴ a b c a a b a c 222
222
2105
=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪() 解得：a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105
∴ 所求椭圆方程是：x 210＋y 2
5
＝1
点评：本题使用待定系数法求曲线方程。

本题也可由垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后，由
其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’，再解 b c a c a b c
=-=-=+⎧⎨⎪
⎩⎪105222 ，更容易求出a 、b 的值。