待定系数法分解因式(附答案)
待定系数法分解因式
学科：奥数教学内容：待定系数法分解因式经验谈：待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。
∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
★★例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。
∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
专题45 待定系数法(解析版)
专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。
待定系数法分解因式(附答案)
待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
例1分解因式思路1因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。
解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。
∴思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
例2分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。
∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
因式分解的待定系数法
因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种求多项式表达式的因式分解式的一种方法。
这种方法可以将一个多项式表达式分解成一系列较简单的因式的乘积。
待定系数法可以用于分解一次、二次、三次以及更高次的多项式表达式。
以下是关于因式分解的待定系数法的相关参考内容（不含链接）：1. 原理和基本步骤：因式分解的待定系数法是利用多项式表达式的特定形式，假设待定系数，然后通过代入真实数值，解方程组，得到具体的系数值。
基本步骤包括：确定多项式表达式的最高次数、假设待定系数、代入已知数值求解方程组、得到具体的系数值、将多项式进行因式分解。
2. 一次多项式的因式分解：一次多项式是指最高次数为1的多项式。
一次多项式的因式分解非常简单，根据一次多项式的特定形式可以直接写出因式分解式。
3. 二次多项式的因式分解：二次多项式是指最高次数为2的多项式。
对于二次多项式的因式分解，可以假设二次多项式的因式为(ax+b)(cx+d)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。
4. 三次多项式的因式分解：三次多项式是指最高次数为3的多项式。
对于三次多项式的因式分解，可以假设三次多项式的因式为(ax+b)(cx^2+dx+e)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。
5. 更高次多项式的因式分解：对于更高次数的多项式，可以采用类似的方法进行因式分解。
假设多项式的因式为(ax^m+bx^n+...+zx^k)，然后代入真实数值，解方程组得到具体的系数值，进而得到因式分解式。
6. 实例分析：通过具体实例分析，可以更好地理解和应用因式分解的待定系数法。
例如，对于多项式x^3+2x^2-3x-6，假设其因式分解为(x+a)(x^2+bx+c)，然后代入已知的x取值，可以得到方程组，通过求解方程组，可以得到a、b、c的值，进而得到因式分解式。
通过因式分解的待定系数法，我们可以将复杂的多项式表达式分解成简单的因式的乘积，从而更好地理解和处理多项式的性质和计算。
因式分解的待定系数法
因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。
这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。
在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。
具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。
例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。
2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。
已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。
方程组的个数应当与待定系数的个数相等。
3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。
4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。
下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。
已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。
现在利用待定系数法分解P(x)。
根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。
假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。
将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。
通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。
这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。
待定系数法分解因式附答案
待定系数法分解因式(附答案) 待定系数法是一种常用的分解因式的方法，适用于多项式的因式中有一个二次项和一个一次项的情况。
下面我将详细介绍待定系数法的步骤，并给出一个具体的例子。
假设我们要分解因式的多项式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待定系数。
步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)，其中m和n是待定系数。
步骤二：将待分解的多项式用分解因式展开：(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn。
步骤三：将展开后的多项式与原多项式进行比较，得到以下关系式：
a = 1（因为x^2的系数为1）；
b = m + n；
c = mn。
步骤四：根据关系式解出m和n的值。
步骤五：将得到的m和n代入分解因式中，即可得到最终的分解因式。
下面以一个具体的例子来说明待定系数法的使用：
例子：分解因式x^2 + 5x + 6。
步骤一：设分解因式为(x + m)(x + n)。
步骤二：展开(x + m)(x + n)得到x^2 + (m + n)x + mn。
步骤三：根据关系式得到以下方程组：
1 = a；
5 = m + n；
6 = mn。
步骤四：解方程组，得到m = 2，n = 3。
步骤五：将m和n代入分解因式中，得到(x + 2)(x + 3)。
所以，x^2 + 5x + 6可以分解为(x + 2)(x + 3)。
以上就是待定系数法分解因式的详细步骤和一个具体例子。
通过使用待定系数法，我们可以将一个多项式分解为两个一次项的乘积，从而更好地理解和运用多项式的因式分解。
因式分解待定系数法
用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。
待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。
使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
初中数学待定系数法分解因式
初中数学待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
【内容综述】将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。
同学们要仔细体会解题的技巧。
【要点讲解】这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
★★例1 分解因式2x^2+3xy-y^2+x+14y-15.? ? 思路1 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n),后展开，利用多项式的恒等,求出m、n的值。
? ?解法1因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以可设2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+m)(2x+3y+n)=2x^2+3xy-y^2+(2m+n)x+(3m-n)y+mn? ?比较系数得2m+n=1...(1) 3m-n=14...(2) mn=-15...(3) ?由(1)(2)得m=3,n=-5,带入(3)成立。
(想想，如果不成立说明什么?)所以2x^2+3xy-y^2+x+14y-15=(x-y+3)(2x+3y-5).? ?思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
? ? 解法2 因为2x^2+3xy-y^2=(x-y)(2x+3y),所以设原式的分解式是(x-y+m)(2x+3y+n), 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令x=0,y=0,得mn=-15...(1),令x=0,y=1得mn+3m-n+1=0...(2)解①、②得m=3,n=-5或m=5/3,n=-9,带入恒等式验证知m=3,n=-5.? ?说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
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B级
★★★5、多项式 整除，则 _______.
★★7、若多项式 当 2时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
★★★8、求证： 不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
待定系数法分解因式（附答案）
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。
内容综述
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为 把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知 时，其值0这一条件可设二次三项式为 然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当 时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
由①、②解得 把 代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n的值。
解法2因为 所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令 得
令 得
解①、②得 或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴
7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式 且 展开后比较系数，得
由④、⑤得 代入③，再由①、③得 将上述 入②得 .而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。
要点解析
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。
例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是 然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为 所以可设
比较系数，得
比较系数，得
因为 是奇数，则 与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令 ，得 ②
由 是奇数，得 是奇数。而m为奇数，故 是偶数，所以 是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将 代入③式成立。
∴原式
2、-4。
提示：设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被 整除。
5.-2
提示：设原式
.
比较系数，得
解得
6.-7
例5已知 能被 整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明：设 展开，比较系数，得
由①、②，得 ，
代入③、④得： ，
∴
例6若a是自然数，且 的值是一个质数，求这个质数。
思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。
例2分解因式
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有：
由①、③解得 代入②中，②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
例3在关于x的二次三项式中，当 时，其值为0；当 时，其值为0；当 时，其值为10，求这个二次三项式。
解：由待定系数法可解得
由于a是自然数，且 是一个质数，
∴
解得
当 时， 不是质数。
当 时， 是质数。
∴ =11 .
培优训练
A级
★★★1、分解因式 _______.
★★★2、若多项式 能被 整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为2，当 时其值为5，这个二次三项式是_______.
把 代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为 即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
例4已知多项式 的系数都是整数。若 是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明：设 （m,n,r都是整数）。