中考数学待定系数法解题技巧

中考数学 待定系数法
知识梳理
对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．
使用待定系数法解题的一般步骤是：
(1)确定所求问题含待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
初中数学中，待定系数法主要用途如下：
典型例题
一、在求函数解析式中的运用
这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx ，k y x
=，y=kx+b 的形式(其中k 、b 为待定系数，且k ≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=a x 2+bx+c(a 、b 、c 为待定系数)，y=a (x －h) 2+k(a 、k 、h 为待定系数)，y=a (x －x 1)(x －x 2)( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h 、k 、a 、c 、b 、x 1、x 2等待定系数．
【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．
【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k ≠0)，把A(2，4)代入得4=2k ，∴k=2，∴y=2x ．
【例2】 已知y 与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．
【分析】 y 与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：1k y x =
+ (k ≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k 的值即得函数的解析式．
【解】
y 与x+1成反比例，∴可设1k y x =+(k ≠0)
将x=2，y=4代入1
k y x =
+(k ≠0)，得421k =+，解得k=12 ∴所求的函数的解析式为121y x =+． 【解题反思】 本题中y 与x+1成反比例关系，但y 与x 不是反比例关系，所以当自变量为x 时，121
y x =+不是反比例函数． 【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．
(1)求这个函数的解析式．
(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．
【解】 (1)设这个函数的解析式为y=a x 2+bx+c ．依题意得：
0093142a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪-=++⎩
解这个方程组得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴这个函数的解析式是：y=x 2－4x+3
(2)2431
y x x y x ⎧=-+⎨=-+⎩ 解这个方程组得：1110x y =⎧⎨=⎩，2221x y =⎧⎨=-⎩ ∴函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)
【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a 、b 、c 的值代入解析式时要注意符号．
二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．
例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(x －x 1)(x －x 2)=0，即x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应相同项的系数得m=－(x 1+x 2)，n=x 1x 2，所以所求方程为：x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
【例4】 已知三次方程x 3－6x 2+11x －6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．
【解】设方程的三根分别为a 、2a 、b ，则有x 3－6x 2+11x －6=(x －a )(x －2a )(x －b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a －b=－6，2a 2+3a b=11，－2a 2b=－6．解得a =1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3．
三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．
分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．
【例5】 把分式
21172x x x
-+-化为部分分式． 【解】设2117221x A B x x x x -+=+--，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A －B)x －B ．由各项系数相同得：－11x=A －B ，7=－B ，解得A=3，B=－7．所以211737221x x x x x
-+-=+-- 四、待定系数法在因式分解中的应用
【例6】 分解因式：2x 2－xy －y 2+13x+8y －7
【解】 因为2x 2－xy －y 2=(2x+y)(x －y)，所以可设2x 2－xy －y 213x+8y －7=(2x+y+8)(x －y+b)，展开比较相同项系数，可得：a =－1，b=7，所以2x 2－xy －y 2+13x+8y －7=(2x+y －
1)(x －y+7)．
五、待定系数法在多项式除法中的应用
【例7】 当a 、b 为何值时，2x 3－a x 2+bx+1能被2x －1整除?
【解】 设2x 2－a x 2+bx+l=(2x －1)(x 2+mx －1)，右边展开由x 的相同项的系数相同可得a 、b ，m 的方程组，解得：a =3，b=－3．m=－1
综合训练
1．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．
2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．
(1)求此二次函数的关系式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．
3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．
4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)
(1)求点B的坐标．
(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．
参考答案
1．y=－2x+7 2．(1)设y=a x 2
+bx －3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得4233300a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解方程组得12
a b =⎧⎨=-⎩． ∴y=x 2－2x －3．(也可设y=a (x －1) 2+k)． (2)y=x 2－2x －3=(x －1) 2－4，∴函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)5
3．解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a (x －x 1)(x －x 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a (x －8)(x+2)．又由于其图象过(0，
4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是213442
y x x =-++． 4．解：(1)作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ACO=∠ODB=90°． ∴∠AOC+∠OAC=90°．又
∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°．∴∠OAC=
∠BOD ．又
AO=BO ，∴△ACO ≌△ODB ．∴OD=AC=1，DB=OC=3．∴点B 的坐标为(1，3)．
(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=a x 2+bx ．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得56a =，136b =．故所求抛物线的解析式为251366
y x x =+． (3)抛物线的对称轴的方程是1310
x =-． 点B 关于抛物线的对称轴的对称点为11835B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，．在△AB 1B 中，底边B 1B=4．6，高为2．1 4.6S AB B ∴=。